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1、1,第四章 数学中的公理化方法与结构方法,公理化方法在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即“新数学”运动。 两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。 本章将概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。,2,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法的基本思想 数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个
2、大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。,3,4.1公理化方法的历史概述,因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。,4,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法的
3、历史考察 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。,亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作几何原本。,5,4.1公理化方法的历史概述,欧几里德几何原本是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的
4、典范。几何原本在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的，其公理体系还是不完备的。所以，称这一阶段为公理化方法的初期阶段。,6,4.1公理化方法的历史概述,欧几里德几何原本孕育了一种理性精神，成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。 欧几里德的原本所表述的数学观是： 几何理论是封闭的演绎体系。原本成功地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论的整体结构。从逻辑结构来看，原本是一个最早形成的演绎体系，除所用的逻辑规则外，具备了其理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个
5、封闭的理论演绎体系。,7,4.1公理化方法的历史概述,抽象化的内容。原本中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些显示原型。如在原本中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大小；原本中研究了自然数的若干性质，但却一点也不涉及具体的自然数的计算及应用。,8,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法。原本的基本结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，
6、定义出该体系中的所有其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。原本就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其后所有数学的范本。 在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。,9,4.1公理化方法的历史概述,特别是原本中第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。 对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设
7、。,10,4.1公理化方法的历史概述,通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。,11,4.1公理化方法的历史概述,萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他在一本名叫欧几里得无懈可击（1733年）的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明平行公设。,萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中 且为直角。,萨克利
8、指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为：,12,1、直角假设： 和 是直角；,3、锐角假设： 和 是锐角；,2、钝角假设： 和 是钝角；,可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立。这样就证明了第五公设。,萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。,13
9、,4.1公理化方法的历史概述,数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于180）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。,虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。,14,4.1公理化方法的历史概述,一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形内角和小于180）的罗巴切夫斯基几何系统就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一种
10、几何。,15,4.1公理化方法的历史概述,在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和大于180）也成立的黎曼几何系统，后来人们称这两种几何为非欧几何。 非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看，非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没有得到具体的解释。,16,4.1公理化方法的历史概述,到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条件。 意大利的贝特拉米于1869年在其论文非欧几何的实际解释中提出了用欧氏球面作为黎曼几何的一个解释（欧
11、氏球面的部分大圆被解释成黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。,17,4.1公理化方法的历史概述,德国数学家克莱因于1870年在欧氏平面上用不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上的直线，欧氏几何的点解释成罗氏平面上的点。 由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾。,18,4.1公理化方法的历史概述,随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几何的每条公理在罗氏空间的极限
12、球上得以全部成立。于是，反过来欧氏几何的相容性可借助非欧几何协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调的，第五公设的独立性问题得到解决。 非欧几何的确立促进了公理化方法及几何基础研究的进展。,19,4.1公理化方法的历史概述,在创立非欧几何的过程中，公理化方法得到了如下发展： 非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公设不能在其他九条公设和公理的基础上证明。它是独立的命题，所以可以采用一个与之相反的公理并发展成为全新的几何。这就是说，在一个公理系统中，我们可以把一个具有独立性的公理换成另外的公理而得到一个全新的公理系统，这种方法是现代的一个重要的公理化方法。 非欧几何的创立深刻地启示人们，可
13、以证明“在一个给定的公理系统中某些命题不可能证明”。,20,4.1公理化方法的历史概述,非欧几何系统已经不是像原本那样依赖于感性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法的过渡，这表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。 非欧几何的创立，为公理化方法可以推广和建立新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法。 非欧几何的创立，还产生了如下重大影响： 非欧几何的诞生标志着欧氏几何统治的终结，欧氏几何统治的终结则标志着所有绝对真理的终结。,21,4.1公理化方法的历史概述,非欧几何的创立，使人们开始认识到数学空间与物理空间之间有着本质的区别。数学确实是人的思想产物，
14、而不是独立于人的永恒世界的东西。 非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理系统，只要这种研究具有一定的意义。 非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧摒弃感觉经验的范例。,22,4.1公理化方法的历史概述,当然，非欧几何并非毫无实用性。例如，1916年爱因斯坦发现的广义相对论的研究中，必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基非欧
15、几何来描述。这些事实说明：数学对人类文明发展的作用是何等重大。,非欧几何的创立，标志着公理化方法进入到其完善阶段。,23,4.1公理化方法的历史概述,在非欧几何创立之后，以希尔伯特为代表的数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了“分析算术化”方向的出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统形式结构的科学。,24,4.1公理化方法的历史概述,由
16、于形式公理化方法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化方法的研究推向一个新的阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特在1899年出版的名著几何基础就是这个时期研究成果的突出代表。 所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的涵义、特征和范围不是先于公理而确定，而是由公理组隐含确定。,25,4.1公理化方法的历史概述,希尔伯特在他的几何基础中，放弃了欧几里德几何原本中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统。从此公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已被其他学科领域所采用。所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。,26,4.1公理化方法的历史概述,虽然希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化的公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何所研究的内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖的模型更多，就必须使形式化公理系统来自具体模型而又要摆脱具体模型过多的条条框框的束缚，于是人
