《2021届新高考数学一轮（新高考版）第28讲-向量的分解与向量的坐标运算（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届新高考数学一轮（新高考版）第28讲-向量的分解与向量的坐标运算（解析版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第28讲向量的分解与向量的坐标运算 一、 考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、 知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的
2、坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.微点提醒1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，则x1x2且y1y2.2.若a与b不共线，ab0，则0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在
3、什么位置，它们的坐标都是相同的.三、 经典例题考点一平面向量基本定理及其应用【例1-1】 （2020天津一中高三月考）已知菱形的边长为，点分别在边上，.若，则的值为 .【答案】.【解析】BC3BE，DCDF，菱形ABCD的边长为2，BAD120，|2，22cos1202，1，（）（）（1）1，即442（1）1，整理得，解得2，【例1-2】（2020江苏省高三一模）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，若（1，2为实数），则1+2_【答案】【解析】由题,因为,所以,所以,则,故答案为:【例1-3】（2020全国高三（文）在平行四边形ABCD中，若，则_.【答案】21【解析】如图所示：因为，所
4、以，又，又，所以，所以，代入数据可得.【例1-4】（2020辽宁省高三其他（文）已知，若点满足，且，则_【答案】【解析】由，可得，所以，即，所以，故【例1-5】（2020天津高三二模）在平行四边形中，已知，若，则_.【答案】【解析】由题意，如图所示，设，则，又由，所以为的中点，为的三等分点，则，所以故答案为：规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考点二平面向量的坐标运算【例2-1】 （2020天津市第一
5、百中学高三其他）已知菱形的边长为，点、分别在边，上，若，则的最小值_【答案】【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.【例2-2】（2020陕西省高三其他（理）已知，则_【答案】【解析】因为，所以，则，故答案为：.【例2-3】（2020福建省高三其他（理）已知向量，若，则_.【答案】12【解析】，解得，故答案为：12.【例2-4】（2020安徽省高三三模（文）已知向量，若，则的值是_【答案】【解析】，且，解得.【例2-5】（2020浙江省杭师大附中高三其他）是边长为6的正三角形，点C满足，且，则的取值范围是_【答案】【解析】解：如图，建立平面直角坐标系， ， ， ， ， ， 由二
6、次函数的性质知， 规律方法1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.考点三平面向量共线的坐标表示【例31】（2020河南省高三三模（文）已知向量若与平行，则m_【答案】4【解析】由题意可知若和平行，则，解得： 【例32】（2020辽宁省高三其他（文）设向量，若向量与同向，则x_.【答案】3【解析】若向量与同向,则，解得，又当时，与反向，所以.【例33】（2020四川省阆中中学高三其他（文）已知
7、向量，且，共线，则_；【答案】20【解析】由题知：，共线，所以，解得.所以，.【例34】（2020山东省高三其他）已知，且，则实数_【答案】【解析】由题意，由，得，解得.【例35】（2020广东省高三其他（文）已知向量，若与共线，则实数的值为_【答案】2【解析】根据题意，向量，若与共线，则有，解得；规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.方法技巧1.平面向量
8、基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.4.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10.5.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.四、 课时作业1（2020广西壮族自治区高三一模（文）已知向量，若，则（ ）ABC1D2【答案】B【解析】由，得，解得.2（2020广东省深圳第三高中高三学业考试）已知向量，则（ ）AB
9、CD【答案】A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.3（2020江西省江西师大附中高三三模（文）已知向量，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为向量，所以，所以，4（2020河南省高三其他（文）已知向量，且，则（ ）A4B3CD【答案】A【解析】因为，又因为，所以.5（2020北京八中高三月考）已知向量若与共线，则实数（ ）ABCD【答案】B【解析】因为与共线，所以，解得：6（2020河南省高三其他（文）设，若，则( )ABC1D1或【答案】A【解析】因为，又，所以，解得.7（2020河南省高三其他（理）已知向量，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，
10、所以；因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，解得：，所以实数的取值范围为.8（2020黑龙江省大庆一中高三三模（理）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为，则，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.9（2020四川省眉山市彭山区第二中学高三其他（文）若向量，则等于( )ABCD【答案】C【解析】，所以.10（2020黑龙江省
11、大庆一中高三三模（文）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，则，.设，则，因为，所以，解得，由，得，所以解得，所以.11（2020四川省仁寿第二中学高三三模（理）在矩形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）AB1C-1D【答案】C【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，直线，圆C与直线BD相
12、切，所以圆C的半径，圆C的方程为，设点，即，又，所以.即时，取得最小值故选：C12（2020浙江省高二期末）如图，与的夹角为，若，则（）A1B2C3D4【答案】B【解析】与 的夹角为135，若，则1642+162+8（2），213（2020全国高三其他（文）在直角梯形中，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧中点为(如图所示).若，其中，则的值是（ ）A B C D 【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，解得：，则，故选B.14（2020全国高三其他（文）向量，满足条件，则ABCD【答案】C【解析】向量，则， 故解得.15（2020山西省高三月考（理）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标是（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知可得，把点绕点A逆时针方向旋转后，得，点A（1，2），点P的坐标为16（2020宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理）已知向量，其中，若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，.，则，解得，又，因此，故选：A.17（2020山西省高三月考（理）如图，正方形的边长为1，分别为边，上的动点（，不取端点），且设，则的范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】分别以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示， 设，则
