《初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--避免漏解的奥秘》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--避免漏解的奥秘（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义- 避免漏解的奥秘 “会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高 解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解 决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略 解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发 生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重 复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行 【例题求解】 【例 1】 四条线
2、段的长分别为9，5，x，1( 其中x为正实数 ) ，用它们拼成两个直角三角形， 且 AB与 CD是其中的两条线段( 如图 ) ，则x可取值的个数为 思路点拨AB是四条线段中最长的，故AB=9或 AB=x，又 CD长不定，所以应就AB 、CD的 取值作全面讨论 注：初中数学常见的分类方法有： (1)按定义、性质、法则、公式分类； (2)对参数分类； (3)按图形位置分类； (4)按图形特征分类； (5)按余数分类 注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必 须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用 2 【例 2】 方程1)1(
3、32x xx的所有整数解的个数是( ) A2 B3 C 4 D5 思路点拨这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列 的简单问题求解：(1) 非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)1的偶次幂 等于 1 【例 3】 试确定一切有理数r， 使得关于x的方程023)2( 2 rxrrx 有根且只有整数根 思路点拨根据方程定义，r是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以， 应对 r=0 及r0 两种情况分类求解 【例 4】 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC边的长为10， B 和 C 都为锐角， M为 AB边上的一动点(M与点 A、B
4、不重合 )过点 M作 MN BC ，交 AC于点 N设 MN=x (1) 用x表示 AMN 的面积 SAMN； (2)用 AMN沿 MN折叠，使 AMN 紧贴四边形BCNM( 边 AM 、AN落在四边形BCNM 所在的平 面内 ) ， 设点 A落在平面BCNM 内的点为A， AMN与四边形BCNM 重叠部分的面积为y 试求出 y 关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当x为何值时重叠部分的面 3 积 y 最大，最大为多少? 思路点拨折叠 AMN ，A点位置不确定，可能在ABC内或在 BC边上或在 ABC外，故需按 以上三种情况分别求出y 关于x的函数关系式，进而求出y 的最大值 注：有
5、关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关 系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类， 最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系 【例 5】 已知 Ol与 O2外切， Ol的半径 R=2，设 O2的半径是 r (1)如果 Ol与 O2的圆心距d=4，求 r 的值； (2)如果 Ol、 O2的公切线中有两条互相垂直，并且r R，求 r 的值 思路点拨题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一， 故应分类讨论 注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形： (1)由点的不确定定引起的分类讨论； (2)由图形
6、全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论； (3) 由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论 4 学力训练 1已知m 为实数，如果函数62)4( 2 mmxxmy的图象与x轴只有一个交点，那么m 的取值为 2若实数a、 b 满足058 2 aa，058 2 bb，则 1 1 1 1 b a a b 的值为 3若半径为5 和 4 的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于 4已知 O和不在 O上的一点P ，过 P直线交 O于 A、B点，若 PA PB=4 ，OP=5 ，则 O 的半径为 5和抛物线1108 2 xxy只有一个公共点(-1 ，-1) 的直线解析式为( ) A76x
7、y B 1x C76xy或1x D 1y 6若线段AB两端点到直线l 的距离分别为4 和 8，则 AB的中点到直线l 的距离是 ( ) A2 B 4 C6 D2 或 6 7点 A(-4 ，0)，B(2，0) 是 xoy 坐标平面上两定点，C是2 2 1 xy的图象上的动点，则满 足上述条件的直角ABC可以画出 ( ) A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 8如图，在直角梯形ABCD中， AB=7，AD=2 ，BC=3 ，如果边 AB上的点 P使得以 P、A 、 D为 顶点的三角形和以P 、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有 ( ) A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 9已知关
8、于x的方程022) 13( 22 kkxkx (1) 求证：无论k 是取何实数值，方程总有实数根； (2) 若等腰三角形ABC的一边长6a，另两边长为 b 、 c恰好是这个方程的两个根，求此三 角形的周长 10已知：如图，抛物线C1经过 A， B，C三点，顶点为D，且与 x 轴的另一个交点为E 5 （1）求抛物线C1的解析式； （2）求四边形ABCD 的面积； （3） AOB与 BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由； （4）设抛物线C1的对称轴与x 轴交于点F，另一条抛物线C2经过点 E（抛物线C2与抛物线 C1不重合），且顶点为M （a，b） ，对称轴与x 轴相交于点
9、G，且以 M ，G，E 为顶点的三角形 与以 D， E ，F 为顶点的三角形全等，求a，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过程） 11以 O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和 5cm ， O 与这两个圆都相切，则O 的半径是 12在 ABC中， AB=AC ，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B 的 大小为 13如图，在Rt ABC中， C=90， AC=3 ，BC=4 ，若以 C为圆心， R为半径所作的圆与斜 边 AB只有一个公共点，则R的取值范围是 14已知点A(0，6)， B(3，0) ，C(2， 0)，M(0，m)，其中 m6 ，以 M为圆心， MC为半径作
10、圆，那么当m= 时， M与直线 AB相切 15关于x的方程01) 1( 2 xkkx有有理根，求整数是的值 y x B O A D E C(2,3) 3 -1 -2 6 16华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于200 元，则不予优惠； (2)若一次购物满200 元，但不超过500 元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过500 元，其中500 元的部分给予九折优惠，超过500 元部分给予八 折优惠 小明两次去该超市购物，分别付款198 元与 554 元，现在小亮决定一次去购买小明分两 次购买的同样多的物品，他需付款多少? 17如图，已知：ABC中， AB=5 ，B
11、C=3 ，AC=4，PQ AB ，P点在 AC上( 与点 A、C不重合 ) ， Q点在 BC上 (1) 当 PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP的长； (2) 当 PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP的长； (3) 试问：在 AB上是否存在点M ， 使得 PQM 为等腰直角三角形?若不存在， 请简要说明理由； 若存在，请求出PQ的长 18已知关于x的方程0)1( 2 pxqpx (q 0) 的两个实数根为，且 (1) 试用含有，的代数式表示p和 q ； (2) 求证：1 (3) 若以，为坐标的点M(，) 在 ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别 为 A(
12、1，2) ，B( 2 1 ，1) ，C(1，1) ，问是否存在点M使 p+q= 4 5 ，若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由 19某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场 售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙 7 表示的抛物线段表示 (1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 )(tfP ；写出图乙表示的种植成本与时间 的函数关系式)(tgQ (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?( 注：市场售价 和种植成本的单位：元10 2 ，时间单位：天) 8 参考答案 9
