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1、1) 数学期望,4. 随机变量的数字特征,例 12：,（2）旅客8：20分到达,X的分布率为,数学期望的性质,c) 若x , y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y),2) 随机变量函数的数学期望,定义：设X是一个随机变量，若EX-E(X)2，,EX-E(X)2 ,为X的方差.,则称,3）方差,D(X)=,称 为X标准差.,X为离散型， PX=xk=pk,X为连续型， Xf(x),简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2),=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,-2E(X)2,+E(X)2,证：,例14.要
2、在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会，,送谁去参加奥运会更合理呢？,已知两人的射击成绩的分布律分别为：,首先评选的指标是平均成绩,评选的第二个指标是方差,送甲去参加奥运会更合理。,D(X)=EX-E(X)2,a) 设C是常数,则D(C)=0,b) 若C是常数,则D(CX)=,c) 若X1与X2 独立，则,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立,则,D(X1+X2)=,D(X1)+D(X2);,C2 D(X);,方差的性质,两点分布,二项分布,泊松分布,离散型,4 ) 常见分布的数学期望和方差,若X服从,若X服从参数为,连续型,若XUa,b,即X服从a,b上的均匀分布,则,四 数理统计的基本概念
3、,(1) 总体和样本,总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 容量：总体中所包含的个体的个数。 按此分为有限总体和无限总体。,例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。,1、基本概念,(2 ) 统计量,定义：设为来自总体X的一个样本，g 是的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；,常用的统计量,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,它反映了总体k 阶矩 的信息,它们的观察值分别为：,分别称为样本均值、样本方差、样本k阶矩、样本标准差、样本k阶中心矩。,定义
4、：统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。,(3) 抽样分布,2）常用统计量的分布,3) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：,定理,这类问题称为参数估计.,五、参数估计,X1,X2,Xn,现从该总体抽样，得样本,设有一个统计总体，总体的分布函数,为 F(x, )，,其中 为未知参数.,1、点估计,(1) 矩估计法,这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。,例 15 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从,(2) 极大似然估计法,似然函数为：,(3)估计量的评选标准,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000
5、条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.,2、区间估计,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等.,(1) 置信区间与置信度,通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%,(2) 单个正态总体均值和方差的区间估计,已知方差，估计均值,1） 均值的区间估
6、计,例17. 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,未知方差，估计均值,则随机变量t服从n-1个自由度的t分布,置信区间为:,2） 方差的区间估计,这就是说，随机区间：,例18. 设某机床加工的零件长度,今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。,
