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1、第1页 共 10 页 人教版高中数学必修一教学案 年级 ：高二上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 函数的奇偶性 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 函数的奇偶性 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数 . 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数 . 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？-具有奇偶性的函
2、数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为： () ( )()0,1( )0) ( ) fx f xfxf x f x ， f(-x)=-f(x)的等价形式为： () ( )()01( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x ，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0 ； （5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2. 奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一 个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数
3、是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这 个函数是偶函数. 3. 用定义判断函数奇偶性的步骤 第2页 共 10 页 （1）求函数( )f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇 函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数( )f x的定义域，化简函数( )f x的解析式； （3）求()fx，可根据()fx与( )f x之间的关系，判断函数( )f x的奇偶性 . 若()fx=-( )f x，则( )fx是奇函数； 若()fx=( )f x，则( )f x是偶函数；
4、 若()fx( )f x，则( )f x既不是奇函数，也不是偶函数； 若()fx( )f x且()fx=-( )f x，则( )f x既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函 数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与( )f x之一是否相等. （2）验证法：在判断()fx与( )f x的关系时，只需验证()fx( )f x=0及 () 1 ( ) fx f x 是否成立即可 . （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称 . （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函
5、数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个 偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断. 在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同 的对应关系， 这样的函数叫做分段函数. 分段函数不是几个函数，而是一个函数 . 因此其判断方法也是先考查函数 的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx与( )f x的关系 .首先要特别注意x与x的范围， 然后将它代入相 应段的函数表达式中，( )f x与()fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 要点三、关于函数奇偶性的常见结论
6、奇函数在其对称区间a,b和 -b ，-a 上具有相同的单调性，即已知( )f x是奇函数，它在区间a,b上是增 函数（减函数），则( )f x在区间 -b ，-a 上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间a,b和-b ，-a 上具 有相反的单调性，即已知( )f x是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数），则( )f x在区间 -b ，-a 上也是 减函数（增函数）. 【典型例题】 第3页 共 10 页 类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性： (1) 1- ( )(1) 1 x f xx x ； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x
7、-3|； (4) 2 1- ( ) |2 |-2 x f x x ； (5) 2 2 -(0) ( ) (0) xx x f x xx x ； (6) 1 ( ) ( ) -()() 2 f xg xgxxR 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断. 【答案】（ 1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（ 4）奇函数；（5）奇函数；（ 6）奇函数 【解析】 (1) f(x) 的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2) 对任意 xR，都有 -x R，且 f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x) ，则 f(x)=x 2-4|x|+3 为偶函数； (3) x
8、R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)， f(x) 为奇函数； (4) 2 -1x1 1-x0 x-1,00,1 x0 x-4x+22 Q 且 22 1-1- ( ) (2)- 2 xx f x xx 2 2 1- (- )1- (- )- ( ) - xx fxf x xx ， f(x)为奇函数； (5) x R，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x)为奇函数； (6) 11 (- )(- ) -(-)(- ) -( )- ( ) 22 fxgxgxgxg xfxQ， f(x)为奇函数
9、. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域. 函数的定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否 则就会做无用功. 如在本例（ 5）中若不研究定义域，在去掉|2 |x的绝对值符号时就十分麻烦. 举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1) 2 3 ( ) 3 x f x x ；(2)( )|1|1|fxxx；(3) 2 22 ( ) 1 xx f x x ； (4) 2 2 x2x1(x0) f (x)0(x0) x2x1 (x0) . 第4页 共 10 页 【答案】（ 1）奇函数
10、；（ 2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数 【解析】 (1)( )f x的定义域是R， 又 22 3()3 ()( ) ()33 xx fxfx xx ，( )f x是奇函数 （2）( )f x的定义域是R， 又()|1|1| |1|1|( )fxxxxxfx，( )f x是偶函数 （3） 22 ()()()11fxxxxx ()( )()( )fxf xfxf x且，( )f x为非奇非偶函数 （4）任取 x0 则 -x0 ， f(-x)=(-x) 2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x2-
11、2x+1=-(x2 +2x-1)=-f(x) x=0 时， f(0)=-f(0) xR时， f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 . 【变式 2】已知 f(x)，g(x) 均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数， f(x) g(x) 为偶函数 . 证明： 设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x) 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数， f(x) g(x) 为偶函数 . 【变式 3】
12、设函数( )f x和 g(x ) 分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是（）. A( )f x+|g(x)|是偶函数 B ( )f x-|g(x)|是奇函数 C|( )f x| +g(x)是偶函数 D |( )f x|- g(x)是奇函数 【答案】 A 例 2. 已知函数( ),f xxR，若对于任意实数,a b都有()( )( )f abf af b，判断( )f x的奇偶性 . 【答案】奇函数 【 解 析 】 因 为 对 于 任 何 实 数,a b， 都 有()( )( )f abf af b， 可 以 令,a b为 某 些 特 殊 值 ， 得 出 ()( )fxf x. 设
13、0,a则( )(0)( )f bff b，(0)0f. 又设,ax bx，则(0)()( )ffxf x， 第5页 共 10 页 ()( )fxf x，( )f x是奇函数 . 【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解. 在这里，由于需要判断()fx与( )f x之 间的关系，因此需要先求出(0)f的值才行 . 举一反三： 【变式 1】 已知函数( ),f xxR，若对于任意实数 12 ,xx，都有 121212 ()()2()()f xxf xxf xf x，判 断函数( )f x的奇偶性 . 【答案】偶函数 【解析】令 12 0,xxx得( )()2(0)( )fxfxff
14、 x，令 21 0,xxx得( )( )2 (0)( )f xfxffx 由上两式得：( )()( )( )f xfxf xf x，即()( )fxf x ( )f x是偶函数 . 类型二、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x) 均为奇函数，( )( )( )2H xafxbg x在0,上的最大值为5，则( )H x在（ -,2） 上的最小值为 【答案】 -1 【解析】考虑到( ),( )f xg x均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求( )H x与()Hx的关系 ( )H x+()Hx=( )( )2()()2af xbg xafxbgx ()(
15、 ),()( )fxf xgxg xQ， ( )()4H xHx 当0 x时，( )4()H xHx， 而0 x，()5Hx，( )1H x ( )H x在(,0)上的最小值为-1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现( )( )afxbg x也是奇函数， 从这个思路出发， 也可以很好地解决本题过程如下：0 xQ时，( )H x的最大值为5，0 x时( )( )af xbg x 的最大值为3，0 x时( )( )af xbg x的最小值为 -3，0 x时，( )H x的最小值为 -3+2=-1 举一反三： 第6页 共 10 页 【变式 1】已知 f(x)=x 5
16、+ax3-bx-8 ，且 f(-2)=10 ，求 f(2). 【答案】 -26 【解析】法一：f(-2)=(-2) 5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证 g(x) 为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而 问题(2)g便能迎刃而解 . 例 4. 已知( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x时， 2 ( )31f xxx，求( )f x的解析式 【答案】 2 2 31,0, ( )0,0, 31,0. xxx f xx xxx 【解析】( )f xQ是定义在
