最新2020届中考数学专题复习-数学思想方法

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1、1 2020 届中考数学专题复习：数学思想方法（一） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本 策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学 知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学 知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因 此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用 数学思想方法解决问题的意识 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升

2、华，在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程 思想、 数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法， 掌握了它的实质， 就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出 整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根 据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决

3、。 例 1 10 （2019?德州）已知，则 a+b 等于（） A3 BC2D1 考点：解二元一次方程组。810360 专题：计算题。 分析：+得出 4a+4b=12，方程的两边都除以4 即可得出答案 解答：解：， +得： 4a+4b=12， a+b=3 2 故选 A 点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答 案，题目比较典型，是一道比较好的题目 运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形 式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整 体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易

4、的效果。 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是 将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具 体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、 图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例 2 （2019? 内江）已知A（1，5） ，B（3， 1）两点，在x 轴上取一点M，使 AM BM 取得最大值时，则M 的坐标为 考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x 轴、 y 轴对称的点的坐标。810360 分析：作点 B 关于 x 轴的对称点B ， 连接 AB 并延

5、长与x 轴的交点， 即为所求的M 点利 用待定系数法求出直线AB 的解析式，然后求出其与x 轴交点的坐标，即M 点的坐标 解答：解：如图，作点B 关于 x 轴的对称点B ，连接 AB 并延长与x 轴的交点，即为所 求的 M 点此时AM BM=AM BM=AB 不妨在 x 轴上任取一个另一点M ，连接 M A 、M B、M B 则 M A M B=M A M BAB （三角形两边之差小于第三边） M A M BAM BM ，即此时AM BM 最大 B 是 B（3， 1）关于 x 轴的对称点，B （3，1） 设直线 AB 解析式为y=kx+b ，把 A（1， 5）和 B （3， 1）代入得： ，解

6、得， 直线 AB 解析式为y=2x+7 令 y=0，解得 x=， M 点坐标为（，0） 故答案为：（， 0） 3 点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线 段之差最大的问题感觉一筹莫展其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“ 两 点之间线段最短” 问题，而后者（本题）是通过对称转化为“ 三角形两边之差小于第三边” 问 题可见学习知识要活学活用，灵活变通 考点三：分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求 解，然后综合得解， 这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想， 同时也是一种

7、重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分 类的原则：（ 1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论 应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏 例 3 （2019? 黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习， 预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120 元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是35 人（含 35 人）以内的按标准收费，超过35 人的，超出部分按九折收费；乙家是45 人（含 45 人）以内的按标准收费，超过45 人的， 超出部分按八折收费如果你是这

8、个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 考点：一次函数的应用。810360 分析：当 x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜， 当 x35 时，两个宾馆的收费可以表示成人数x 的函数，比较两个函数值的大小即可 解答：解：设总人数是x， 当 x35时，选择两个，宾馆是一样的； 当 35x45时，选择甲宾馆比较便宜； 4 当 x45 时，甲宾馆的收费是：y甲=35 120+0.9 120 （x35） ，即 y甲=108x+420； y 乙=45 120+0.8 120（ x45） =96x+1080， 当 y甲=y乙时， 108x+420=96x+1080 ，解得：

9、 x=55； 当 y甲y乙时，即 108x+42096x+1080，解得： x55； 当 y甲y乙时，即 108x+42096x+1080，解得： x55； 总之，当x35或 x=55 时，选择两个，宾馆是一样的； 当 35x55 时，选择甲宾馆比较便宜； 当 x55 时，选乙宾馆比较便宜 点评：此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决 此类问题常用的方法 例 4 （2019?丽水）在 ABC 中， ABC=45 ，tanACB=如图，把 ABC 的一 边 BC 放置在 x 轴上，有OB=14，OC=，AC 与 y 轴交于点E （1）求 AC 所在直线的函数解析

10、式； （2）过点 O 作 OGAC ，垂足为G，求 OEG 的面积； （3）已知点F（ 10，0） ，在 ABC 的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q 为顶点的三 角形与 OFP 全等， 且这两个三角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P 的 坐标；若不存在，请说明理由 考点：一次函数综合题。810360 分析：（1）根据三角函数求E 点坐标，运用待定系数法求解； （2）在 RtOGE 中，运用三角函数和勾股定理求EG， OG 的长度，再计算面积； （3）分两种情况讨论求解：点Q 在 AC 上；点Q 在 AB 上求直线OP 与直线 AC 的 交点坐标即可 5 解答：解：（1）

11、在 RtOCE 中， OE=OCtanOCE=， 点 E （0， 2） 设直线 AC 的函数解析式为y=kx+，有，解得： k= 直线 AC 的函数解析式为y= （2）在 RtOGE 中， tanEOG=tan OCE=， 设 EG=3t，OG=5t，OE=t，得 t=2， 故 EG=6， OG=10， SOEG= （3）存在 当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G， 如图 1，作 FOQ 的角平分线交CE 于点 P1， 由 OP1F OP1Q，则有 P1F x 轴，由于点 P1在直线 AC 上，当 x=10 时， y=， 点 P1（10， ） 当点 Q 在 AB 上时， 如图 2，有

12、OQ=OF ，作 FOQ 的角平分线交CE 于点 P2， 6 过点 Q 作 QHOB 于点 H，设 OH=a， 则 BH=QH=14 a， 在 RtOQH 中， a2+（14a） 2=100， 解得： a1=6，a2=8， Q（ 6，8）或 Q（ 8，6） 连接 QF 交 OP2于点 M 当 Q（ 6， 8）时，则点M（2，4） 当 Q（ 8， 6）时，则点M（1，3） 设直线 OP2的解析式为 y=kx，则 2k=4，k=2 y=2x 解方程组，得 P2（ ） ； 当 Q（ 8， 6）时，则点M（1，3） ， 同理可求 P2 （） ，P3（） ； 如图，有 QP4OF，QP4=OF=10，点

13、 P4在 E 点， 设 P4的横坐标为 x，则点 Q 的横坐标为x10， yQ=yP，直线 AB 的函数解析式为 y=x+14 ， （ x10） +14=x+2， 解得： x=，可得： y=， 点 P4（ ，） ， 7 当 Q 在 BC 边上时，如图，OQ=OF=10 ，点 P5在 E 点， P5（ 0，2 ） ， 综上所述，满足条件的P 点坐标为（ 10，）或（）或 （）或（，）或（ 0，2） 点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强， 难度 大 四、中考真题演练 一、选择题 1 （ 2019? 东营）若3x=4， 9y=7，则 3x 2y 的值为（） ABC

14、3 D 考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。810360 分析：由 3x=4， 9y=7 与 3x 2y=3x 32y=3x （32）y，代入即可求得答案 解答：解： 3x=4，9y=7， 3x 2y=3x 32y=3x （32）y=4 7=4 7= 故选 A 点评：此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用此题难度适中，注意将3x 2y 变形 为 3x （32） y是解此题的关键 2 （ 2019? 南京）计算（a2） 3 （a2）2 的结果是（） Aa Ba2 Ca 3 Da4 考点：整式的除法。 810360 8 分析：根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直

15、接选取答 案 解答：解： （a2） 3 （a2）2 =a6 a4 =a2 故选： B 点评：本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键 3 （ 2019? 南昌）已知（mn）2=8， （m+n） 2=2，则 m2+n2=（ ） A10 B6C5D3 考点：完全平方公式。810360 专题：计算题。 分析：根据完全平方公式由（mn） 2=8 得到 m22mn+n2=8，由（ m+n）2=2 得到 m2+2mn+n 2=2，然后 +得， 2m2+2n2=10，变形即可得到 m2+n 2的值 解答：解：（ m n）2=8， m22mn+n 2=8， （ m+n） 2=2， m2

16、+2mn+n 2=2， +得， 2m2+2n 2=10， m2+n2=5 故选 C 点评：本题考查了完全平方公式：（a b） 2=a2 2ab+b2 4 （ 2019?本溪）已知一元二次方程x28x+15=0 的两个解恰好分别是等腰 ABC 的底边长 和腰长，则 ABC 的周长为（） A13 B11 或 13 C11 D12 考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质。810360 分析：由一元二次方程x 28x+15=0 的两个解恰好分别是等腰 ABC 的底边长和腰长， 利用因式分解法求解即可求得等腰ABC 的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分 别为 3 和 5 时与当底边长和腰长分别为5 和 3 时去分析，即可求得答案 解答：解： x28x+15=0 ， 9 （ x3） （ x5）=0， x3=0 或 x5=0， 即 x1=3，x2=5， 一元二次方程x28x+15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长， 当底边长和腰长分别为