《人教版高中数学必修一教学讲义-指数函数、对数函数、幂函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修一教学讲义-指数函数、对数函数、幂函数（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页 共 15 页 人教版高中数学必修一教学案 年级：高一上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 指数函数、对数函数、幂函数全章复习 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 指数函数、对数函数、幂函数全章复习 【要点梳理】 知识点一、指数及指数幂的运算 1. 根式的概念 a的n次方根的定义：一般地，如果 n xa，那么x叫做a的n次方根，其中 * 1,nnN 当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为 n a；当n为偶数时，正数的n次方 根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 n a. 负数没有偶次方
2、根，0 的任何次方根都是0. 式子 n a叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1) 当n为奇数时， nn aa；当n为偶数时， ,0, ,0; nn a a aa a a (2) n n aa 3. 分数指数幂的意义： 0,1 m nm n aaam nN n； 1 0,1 m n m n aam nN n a 要点诠释： 0 的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质： 0,0, ,abr sQ 第2页 共 15 页 (1) rsrs a aa (2)() rsrs aa (3) r rr aba b 知识点二、指数函数及其性质
3、 1. 指数函数概念 一般地，函数0,1 x yaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 2. 指数函数函数性质： 函数 名称 指数函数 定义函数(0 x yaa且1)a叫做指数函数 图象 1a01a 定义域 R 值域 (0,) 过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y. 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax a变 化 对 图 象 的 影 响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时
4、 针方向看图象，a逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 0 1 x ay x y (0,1) O 1y 0 1 x ay x y (0,1) O 1y 第3页 共 15 页 1. 对数的定义 (1) 若(0,1) x aN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作log a xN，其中a叫做底数，N叫做真 数. (2) 负数和零没有对数. (3) 对数式与指数式的互化：log(0,1,0) x a xNaN aaN. 2. 几个重要的对数恒等式 log 10 a ，log1 aa ，log b aa b. 3. 常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即 10 logN；自然对数：ln N，即
5、logeN( 其中2.71828e). 4. 对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog () aaa MNMN 减法：logloglog aaa M MN N 数乘：loglog() n aa nMMnR logaN aN loglog(0,) b n a a n MM bnR b 换底公式： log log(0,1) log b a b N Nbb a 且 知识点四：对数函数及其性质 1. 对数函数定义 一般地，函数log0,1 a yx aa且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,. 2. 对数函数性质： 函数 名称 对数函数 定义函数log(0
6、a yx a且1)a叫做对数函数 第4页 共 15 页 图象 1a01a 定义域(0,) 值域 R 过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y. 奇偶性非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx xx xx log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx xx xx a变 化 对 图 象 的 影 响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时 针方向看图象，a逐渐减小 . 知识点五：反函数 1. 反函数的概念 设函数( )yf x的定
7、义域为A， 值域为C， 从式子( )yf x中解出x， 得式子( )xy. 如果对于y在C中 的任何一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy表示x是y的函 数，函数( )xy叫做函数( )yf x的反函数，记作 1( ) xfy，习惯上改写成 1 ( )yfx. 0 1 x y O (1,0) 1x logayx 0 1 x y O (1,0) 1x logayx 第5页 共 15 页 2. 反函数的性质 (1) 原函数( )yfx与反函数 1 ( )yfx的图象关于直线yx对称 . (2) 函数( )yfx的定义域、值域分别是其反函数 1( ) yfx
8、的值域、定义域. (3) 若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则 ( , )P b a在反函数 1( ) yfx的图象上 . (4) 一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1. 幂函数概念 形如()yxR 的函数，叫做幂函数，其中为常数 . 2. 幂函数的性质 (1) 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象. 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限( 图象关于y轴对称 ) ；是奇函 数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时， 图象只分布在第一象限. (2) 过定点： 所有的幂函数在(0,
9、)都有定义， 并且图象都通过点(1,1). (3) 单调性： 如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增 函数 . 如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内， 图象无限接近x轴与y轴. (4) 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数. 当 q p ( 其中,p q互质， p和qZ) ，若p为奇数q为奇数时， 则 q p yx是奇函数， 若p为奇数q为偶数时， 则 q p yx是偶函数， 若p 为偶数q为奇数时，则 q p yx是非奇非偶函数. (5) 图象特征：幂函数,(0,)yxx ，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x， 其图象在直线
10、yx上方， 当1时，若01x，其图象在直线yx上方， 若1x，其图象在直线yx下 方. 【典型例题】 类型一：指数、对数运算 例 1. 化简与计算下列各式 第6页 共 15 页 （1） 1 0 2 20.5 31 222(0.01) 54 ； （2） 2 0.5 3 2 071037 20.123 92748 ； （3） 53 323 3 2 3 2 33 2 3 1 3 4 ) 2 ( 24 8 aa aa a b a aabb baa 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，
11、也不能既有 分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等， 便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的； 【变式一】化简下列各式： (1) 13 3 24 1116 ()()8 () 100481 ； (2) 3 3 1000 32 2 (42 2) . 例 2. （1）化简： 53 323 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 4 ) 2 ( 24 8 aa aa a b a aabb baa ； （2）计算： 25. 0 2 1 2 1 3 2 5.0 3 2 0625.0)32.0()02.0()008.0() 9 4 5(
12、) 8 3 3( （3）已知： 4x ，求： 11 1 24 4 311 422 1 1 1 xxx x xxx 的值 . 第7页 共 15 页 【思路点拨】题目中的式子有根式、分数指数幂，要先化为分数指数幂以便用法则运算。 举一反三： 【变式】已知 11 22 3xx ，求 22 33 22 2 3 xx xx 的值。 例 3. 计算 （ 1） 2 (lg 2)lg 2 lg 50lg 25 ；（ 2） 3948 (log2log 2) (log 3log 3) ； （ 3） 1.0lg 2 1 036.0lg 2 1 600lg )2(lg8000lg5lg 23 类型二：指数函数、对数函
13、数、幂函数的图象与性质 例 4. 已知函数 3 log,0, ( ) 2 ,0, x x x f x x 则 1 ( ) 9 ff( ) A.4 B. 1 4 C.-4 D.- 1 4 举一反三： 【变式一】已知函数 2 21,1, ( ) ,1, x x f x xax x 若(0)4ffa，则实数a等于（） A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 第8页 共 15 页 例 5. 函数 221 ( )ln(3234)f xxxxx x 的定义域 ( ) A., 42,U B.4,00,1U C.4,00,1U D. 4,00,1U 例 6. 设函数 2 1 2 log,0, ( )
14、log (),0 x x f x xx 若( )()f afa，则实数a的取值范围是 ( ) A. 1,00,1U B. , 11,U C.1,01,U D., 10,1U 例 7函数)86(log 2 3 1 xxy的单调递增区间是（） A（ 3，+ ）B（ ，3）C（ 4，+）D（ ，2） 例 8已知函数y=( 1 3 )|x+1|。 （ 1）作出图象； （ 2）由图象指出其单调区间； （ 3）由图象指出当x 取什么值时函数有最值。 第9页 共 15 页 例 9.若函数my x|1 | ) 2 1 (的图象与 x 轴有公共点，则m的取值范围是 ( ) A.m-1 B.-1 m0 C.m 1
15、 D.0m 1 举一反三： 【变式 1】 函数 1 2 x y的图象是（） ABCD 【变式 2】已知函数 |lg|,010, ( ) 1 6,10. 2 xx f x xx 若, ,a b c互不相等，且( )( )( )f af bf c，则abc的取值范围 是（）。 A. （1，10） B.（ 5，6） C.（10，12） D.（20，24） 类型三：综合问题 例 10. 已知函数1, 0)(log)(aaxaxxf a 为常数 ) (1) 求函数 f(x)的定义域； x y O 1 x y O-1-1O y x x y O 1 第10页 共 15 页 (2)若 a=2，试根据单调性定义
16、确定函数f(x)的单调性 . (3) 若函数 y=f(x)是增函数，求a 的取值范围 . 【变式 1】已知( )log (1)(0,1) x a f xaaa （1）求定义域； （2）讨论函数的单调区间； （3）解方程 1 (2 )( )fxfx 例 11设 123 ( ) 3 xx a fx g （其中 a 为实数），如果当(,1x时恒有( )0f x成立，求实数a 的取值范 围 第11页 共 15 页 课后作业 年级 ：上 课 次 数 ：作业上交时间： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ： 数学学 科 教 师： 作业内容作业得分 作业内容 【巩固练习】 1设函数f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() A|f(x)| g(x)是奇函数 B|f(x)| g(x)是偶函数 Cf
