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1、第1页 共 19 页 人教版高中数学选修1-1 教学讲义 年级 ：上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 导数在函数性质中的应用单调性 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 导数在函数性质中的应用单调性 【学习目标】 1. 知识与技能 能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间； 掌握求函数单调区间的方法和步骤. 2. 过程与方法 通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法. 总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用. 3. 情感、
2、态度与价值观 通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值. 【要点梳理】 要点一：函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数( )f x 在某个区间是增函数或减函数，那么就说( )f x 在这一区间具有单调性. 已知函数 2 ( )43f xxx的图象如图所示， 由函数的单调性易知，当2x时，( )f x 是减函数；当2x时，( )f x 是增函数 . 现在我们看看各个单调区间 第2页 共 19 页 内任意一点的切线情况： 考虑到曲线( )yfx 的在某点处切线的斜率就是函数( )f x 在改点的导数值，从图象可以看到： 在区间（，2）内，任意一点的切线
3、的斜率为负，即( )240fxx时，( )f x 为减函数 . 在区间（ 2，+）内，任意一点的切线的斜率为正，即( )240fxx时，( )f x 为增函数 . 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数( )yf x 在某个区间内有导数，则在这个区间上， （ 1）若( )0fx，则( )f x 在这个区间上为增函数； （ 2）若( )0fx，则( )f x 在这个区间上为减函数； （ 3）若恒有( )0fx，则( )f x 在这一区间上为常函数. 反之，若( )f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有( )0fx恒成立（但不恒等于0）；若( )f x 在某区间 上单调递减，则在该区间上有
4、( )0fx恒成立（但不恒等于0） 要点诠释： 因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上( )0fx，即切线斜率为正时，函数( )f x 在这 个区间上为增函数；当在某区间上( )0fx，即切线斜率为负时，函数( )f x 在这个区间上为减函数；即导函数 的正负决定了原函数的增减； 若在某区间上有有限个点使( )0fx，在其余点恒有( )0fx，则( )f x 仍为增函数（减函数的情形完全 类似 . 即在某区间上，( )0fx( )f x 在这个区间上为增函数； ( )0fx( )f x 在这个区间上为减函数，但反之不成立. ( )f x 在某区间上为增函数在该区间( )0fx； (
5、 )f x 在某区间上为减函数在该区间( )0fx. 在区间 (a,b) 内，( )0fx（或( )0fx）是( )f x 在区间 (a，b) 内单调递增（或减）的充分不必要条件. 例如： 32 ( )( )30(0)0,( )0(0)f xxfxxffxx， 而 f() 在 R上递增 . 只有在某区间内恒有( )0fx，这个函数( )yf x 在这个区间上才为常数函数. 注意导函数图象与原函数图象之间的关系. 第3页 共 19 页 要点二：利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数( )yf x 在区间（a，b）内可导， （ 1）如果恒有( )0fx，则函数( )f
6、 x 在（a，b）内为增函数； （ 2）如果恒有( )0fx，则函数( )f x 在（a，b）内为减函数； （ 3）如果恒有( )0fx，则函数( )f x 在（a，b）内为常数函数. 要点诠释： 若函数( )f x 在区间 （a，b）内单调递增， 则( )0fx，若函数( )f x 在（a，b）内单调递减， 则( )0fx； ( )0fx或( )0fx恒成立，求参数值的范围的方法分离参数法：( )ag x 或( )ag x . 要点三：利用导数求函数单调区间的基本步骤 （ 1）确定函数( )f x 的定义域； （ 2）求导数( )fx ； （ 3）在函数( )f x 的定义域内解不等式( )
7、0fx或( )0fx； （ 4）确定( )f x 的单调区间 . 或者：令( )0fx，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即( )f x 的无定义点） 的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数( )f x 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小 区间内( )fx 的符号 . 要点诠释： 求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确. 【典型例题】 类型一：求函数的单调区间 例 1. 求函数 22 lnyxx 的单调区间 【思路点拨】按照求单调区间的步骤一步步进行，注意求函数的定
8、义域. 【解析】第一步：确定函数的定义域： 函数 22 lnyxx 的定义域为 (- ， 0)(0 ，+ )； 第二步：求导： 2 22(1)2(1)(1) ( )2 xxx fxx xxx ； 第三步： 方法一 ：解不等式( )0fx确定单调增区间： 令 2(1)(1) 0 xx x ，利用穿线法解不等式，得10 x或1x. 第4页 共 19 页 方法二 ：令( )=0fx得，=1x. 当x变化时，( )fx 、( )f x 的变化状态如下表： x(- ， -1) -1 (-1 ，0) (0，1) 1 (1 ，+) ( )fx- 0 + - 0 + ( )f x1 1 第四步：确定单调区间：
9、 函数( )f x 的单调增区间是（-1 ，0) 和（ 1，+) ，减区间是 (- ， -1) 和(0 ，1) 【总结升华】 （1）在方法一求函数的减区间的过程中，无需通过解不等式( )0fx求解，因为我们已经获得了函数的单调增 区间，而在定义域内将增区间排除自然是减区间. 只需在最后加以说明即可. （2）在方法二的表格判断( )fx 正负的过程中，采用合适的方法将减少失误，常用方法有三个： 不等式法：根据给定的各个x的区间，判断 ( )fx 中各项因式的符号，从而确定 ( )fx 的符号； 特殊值法：由于函数( )fx 的零点已经确定，故在各个区间的符号是一致的，只需要取区间内一合适的值 严
10、重( )fx 的正负即可； 图象法：画出导函数= ( )y fx 的图象，x轴上方的图象为正，下方图象为负. （3） 注意写单调区间时， 不是连续的区间一般不能用并集符号“U” ， 并且在定义域内的区间端点可“开”可 “闭”. 比如，在本题中，两个增区间“（-1 ，0) ”，“（ 1，+) ”之间是用“和”连接的，而增区间（-1 ，0) 也可写 为-1 ，0). 举一反三： 【变式 1】确定函数 32 ( )267f xxx的单调区间 . 【答案】函数( )f x 的定义域为R， 由于 2 ( )6126 (2)fxxxx x， 令( )0fx，得x0 或x2， 因此，函数( )f x 的单调
11、增区间为（，0）和（ 2，+），单调递减区间为（0，2）. 【变式 2】求下列函数的单调区间： （1） 32 ( )2f xxxx ； 第5页 共 19 页 （2） 2 ( )32ln(0)f xxx x； （3）( )sin(1cos ) (02 )f xxxx. 【答案】 （1）该函数的定义域为R. 令 2 ( )341=0fxxx，解得 =1 或 1 = 3 x， 当x变化时，( )fx 、( )f x 的变化状态如下表： 因此，该函数的单调递增区间为 1 3 ，和（ 1， +），单调递减区间为 1 1 3 ， . （2）函数的定义域为（0，+）， 令 2 231 ( )62=0 x f
12、xx xx ，解得 3 = 3 x. 当x变化时，( )fx 、( )f x 的变化状态如下表： x (0 ， 3 3 ) 3 3 ( 3 3 ，+) ( )fx- 0 + ( )f x ( )f x 的单调递增区间为 3 , 3 ，单调递减区间为 3 0, 3 . （3）令 2 ( )cos (1cos )sin (sin )2coscos1fxxxxxxx(2cos1)(cos1)=0 xx. 解得 1 cos = 2 x或 cos1x， 0 x2，解得 1 x， 2 3 x ， 3 5 3 x. 则区间 0 ，2 被分成三个子区间，( )fx 、( )f x 的变化状态如下表所示： x
13、0 0 3 ， 3 3 ， 5 3 ， 5 3 5 2 3 ， 2 ( )fx+ 0 0 0 + ( )f x x(- ， 1 3 ) 1 3 ( 1 3 ，1) 1 (1 ，+) ( )fx+ 0 0 + ( )f x 第6页 共 19 页 所以该函数的单调递增区间为0 3 ，和 5 2 3 ， ，单调递减区间为 5 33 ， . 例 2. 已知函数 2 2 ( )(1) (1) xb f xx x ，求导函数( )fx ，并确定( )f x 的单调区间 . 【思路点拨】利用导数将求函数的单调区间转化为解二次不等式的问题，由于函数含参，注意讨论. 【解析】第一步：确定函数的定义域： ( )f
14、 x 的定义域为(,1)(1,)U； 第二步：求导： 2 43 2(1)(2) 2(1)2(1) ( ) (1)(1) xxbxxb fx xx ； 第三步：解不等式( )0fx，求单调增区间： 令( )0fx，得 3 2(1) 0 (1) xb x ， 同解于 (1)( 1)0 xbx. 当11b，即2b，不等式的解为11xb； 当11b，即2b，不等式的解为空集； 当11b，即2b，不等式的解为11bx. 综上，当2b时，( )f x 的单调增区间为(1,1)b，单调减区间为(,1)(1,)b和； 当2b时，( )f x 的单调减区间为(,1)(1,)和，无增区间； 当2b时，( )f x
15、 的单调增区间为(1,1)b，单调减区间为(,1)(1,)b和. 【总结升华】 求解析式含参数的函数的单调区间时，需解含参数不等式，本题需注意分式不等式化为同解的整式 不等式，利用函数零点的性质解不等式. 举一反三： 【变式 1】已知函数1ln) 1()( 2 axxaxf ，求函数( )fx 的单调区间并说明其单调性. 【答案】该函数的定义域为0 +， 2 121 ( )2 aaxa fxax xx ， 令( )0fx，即 2 21 0 axa x ，等价于 2 210axa，讨论如下： 当1a时，解不等式得 21 2 a x a ，由于 1 0 2 a a ，故x无解； 当 10a 时，解
16、得 11 22 aa x aa ，结合函数的定义域，可得 1 0 2 a x a . 综上所述，当0a时，( )f x 的单调增区间是0 +，无减区间； 当1a时，( )f x 的单调减区间是0 +，无增区间； 第7页 共 19 页 当10a时，( )f x 的单调增区间是 1 0 2 a a ，减区间为 1 + 2 a a ，. 【答案】 22 ( )2(2) axaxax fxxeax exaxe. （）当a=0 时， 若x0，则( )0fx；若x0，则( )0fx. （）当a0 时， 由 2x+a x 20，解得2 x a 或x0；由 2x+a x 2 0，解得 2 0 x a . （）当a0 时， 由 2x+a x 20，解得2 0 x a ；由 2x+a x 2 0，解得x0 或 2 x a . 综上所述，当a=0 时，函数( )f x在区间（， 0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；当a 0 时，函数( )f x在区间 2
