高等代数最重要地基本概念汇总情况

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1、实用标准文案 文档 第一章基本概念 1.5 数环和数域 定义 1 设 S是复数集C的一个非空子集, 如果对于S中任意两个数a、b 来说， a+b,a-b,ab 都在 S内，那么称S是一个数环。 定义 2 设 F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果 a、bF, ，并且 b0， a F b ，那么就称F 是一个数域。 定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义 1 数环 R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 1 2 012 n n aa xa xa x， 是非负整数而 012 , n a a

2、aa都是 R中的数。 项式1中， 0 a叫作零次项或常数项， i i a x叫作一次项，一般， i a叫作i次项的系数。 定义 2 若是数环R 上两个一元多项式fx和g x有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说 fx 和g x就说是相等 fxg x 定义 3 n n a x叫作多项式 2 012 n n aa xa xa x，0 n a的最高次项， 非负整数 n 叫作 多项式 2 012 n n aa xa xa x，0 n a的次数。 定理 2.1.1 设fx和g x是数环 R上两个多项式，并且0fx，0g x，那么 i 当 0fxg x 时， 000 max,;fxg xfx

3、g x ii 000 fx g xfxg x。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1）加法交换律： fxg xg xfx； 实用标准文案 文档 2） 加法结合律： fxg xh xfxg xh x； 3）乘法交换律： fx g xg x fx ； 4） 乘法结合律： fx g xh xfxg x h x； 5） 乘法对加法的分配律： fxg xh xfx g xfx h x。 推论 2.1.1 0fx g x当且仅当fx和g x中至少有一个是零多项式 推论 2.1.2 若f x g xfx h x ，且 0fx ，那么 g xh x 2.2 多项式的整除性 设 F 是一个数域。f x是 F

4、 上一元多项式环 定义令fx和g x是数域 F 上多项式环f x的两个多项式。 如果存在fx的多项式 h x，使g xfx h x，我们说，fx整除（能除尽）g x。 多项式整除的一些基本性质： 1） 如果fxg x，g xh x，那么fxh x 2） 如果h xfx，h xg x，那么h x fxg x 3） 如果h x fx ，那么对于 fx 中的任意多项式 g x 来说， h xfx g x 4） 果,1,2,3, , i h xfxit那么对于f x中任意1,2,3, , i gxit 12 12 i i h xfxgxfxgxfxgx 5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任

5、意多项式。 6） 每一个多项式fx都能被cfx整除，这里c 是 F 中任意一个不等于零的数。 7） 如果fxg x，g xfx，那么fxcg x，这里 c 是 F 中的一个不等于 零的数 设fx，g x是两个任意的多项式，并且0g x。那么fx可以写成以下形式 fxg x q xr x，这里0r x，或者r x的次数小于g x的次数。 实用标准文案 文档 定理 2.2.1 设fx和g x是fx的任意两个多项式，并且0g x。那么在f x中 可以找到多项式q x和r x，使 （3） fxg x q xrx 这里或者0r x，或者r x的次数小于g x的次数，满足以上条件的多项式 q xr x和只

6、有一对。 设数域F含有数域F而fx和g x是fx的两个多项式， 如果在fx里g x不能 整除fx，那么在F x里g x也不能整除fx。 1）定义 1 假定h x是fx和g x的任一公因式，那么由 3211 21 11 , , kkkk kkkk kk rxrx qxrx rxrx qxrx rxr x qx 中的第一个等式，h x也一定能整除 1 rx。同理，由第二个等式，h x也一定能整 除 2 rx。如此逐步推下去，最后得出h x能整除 k rx，这样， k rx的确是fx 和g x的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 定 义2 设 以g xxa除 1 110 nn n

7、n fxa xaxa xa时 ， 所得 的 商 12 1210 nn nn q xbxbxb xb及余式 0 rxc，比较 fxg x q xrx 两 端 同次 幂的 系数 得 1nn ba， 211nnn baab， 011 baab， 000 caab，这种计算可以排成以下格式 1201 1201 12300 ) nnn nn nnnn aaaaa a abababab babbbc 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。 2.3 多项式的最大公因式 设 F 是一个数域。fx是 F 上一元多项式环 实用标准文案 文档 定义 1 令设fx和g x是fx的任意两个多项式， 若是fx的一个

8、多项式h x 同时整除fx和g x，那么h x叫作fx与g x的一个公因式。 定义 2 设d x是多项式 fx 与g x的一个公因式。 若是d x能被 fx 与g x 的每一个公因式整除，那么d x叫作fx与g x的一个最大公因式。 定理 2.3.1 f x的任意两个多项式fx与g x一定有最大公因式。 除一个零次因 式外，fx与g x的最大公因式是唯一确定的，这就说，若d x是fx与g x 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c 与d x的乘积 cd x也是 fx与g x的一个最大公因式；而且当fx与g x不完全为零时， 只有这样的乘 积才是fx与g x的最大公因式。 从数域 F

9、 过度渡到数域F时，fx与g x的最大公因式本质上没有改变。 定理2.3.2 若d x是fx的多项式fx与g x的最大公因式，那么在f x里 可以求得多项式u xx和v，使以下等式成立： （2） fx u xg xxd xv= 。 注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令,fxx g xx= +1，那么以下等式成 立： 2 2221x xxxxx+1-1但 2 221xx显然不是fx与g x的最 大公因。 定义 3 如果f x的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这 两个多项式互素。 定理2.3.3 fx 的两个多项式 fx 与g x互素的充要条件是：在 f x 中可以

10、求得多项式u xx和v，使 （4）1fx u xg xxv= 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实： 若多项式fx与g x都与多项式h x互素，那么乘积fx g x也与h x互素。 若多项式h x整除多项式fx与g x的乘积， 而h x与fx互素，那么h x一 实用标准文案 文档 定整除g x。 2）若 多 项 式g x与h x都 整 除 多 项式fx， 而g x与h x互 素 ， 那 么 乘积 g x h x也整除fx 最大公因式的定义可以推广到2n n个多项式的情形： 若是多项式h x整除多多项式 12 , n fxfxfx中的每一个，那么h x叫作这 n 个多项式的一个公因

11、式。若是 12 , n fxfxfx的公因式d x能被这 n 个多项式的 每一个公因式整除，那么d x叫作 12 , n fxfxfx的一个最大公因式。 若 0 dx是多项式 121 , n fxfxfx 的一个最大公因式，那么 0 dx是多项式 n fx的最大公因式也是多项式 121 , n fxfxfx的最大公因式。 若多项式 12 , n fxfxfx除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多 项式互素。 2.4 多项式的分解 定义 1 f x的任何一个多项式fx，那么 F的任何不为零的元素c 都是fx的因式， 另一方面， c 与fx的乘积 cfx也总是fx的因式。 我们把fx这样

12、的因式 叫作它的平凡因式， 定义 2 令fx是f x的一个次数大于零的多项式。若是fx在f x只有平凡因式， fx说是在数域F上（或在f x中）不可约。 若fx除平凡因式外， 在fx中 还有其他因式，fx就说是在F 上（或在fx中）可约。 如果 f x 的一个 n（n0）次多项式能够分解成 f x 中两个次数小于n 的多项式 g xh x与的乘积： （1）fxg x h x， 那么fx在 F 上可约。 若是fx在fx中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么fx在 F 实用标准文案 文档 上不可约。 不可约多项式的一些重要性质： 1） 如果多项式p x不可约， 那么 F 中任一不为零

13、的元素c 与p x的乘积 cp x也不可 约。 2）设p x是一个不可约多项式而fx是一个任意多项式，那么或者p x与fx互 素，或者p x整除fx。 3） 如果多项式 fx 与g x的乘积能被不可约多项式 p x 整除，那么至少有一个因式 被 整除。 4） 如果多项式 12 ,2 s fxfxfxs的乘积能被不可约多项式p x整除，那么 至少有一个因式被 p x 整除。 定理2.4.1 f x的每一个n(n0) 次多项式fx都可以分解成f x的不可约多项式的 乘积。 定理 2.4.2 令f x 是f x 的一个次数大于零的多项式，并且 1212rs fxpx pxpxqx qxqx 此处 i

14、 c与1,2, ,1,2, j qxir js都是fx的不可约多项式， 那么 rs，并且适当调换 j qx的次序后可使,1,2, , jii qxcx pxir 此处 i cx是 F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多 项式 fx 分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。 形如 12 12 kkkt t fxapxpxpx的多项式叫作多项fx的典型分解式，每一个 典型分解式都是唯一确定的。 2.5 重因式 定义f x的多项式 0122 n n fxaa xa xa x 的导数或一阶导数指的是f x的多项式 1 12 2 n n fxaa xna x 一阶导数fx的导数叫作fx

15、的二阶导数， 记作fx，fx的导数叫作fx的 实用标准文案 文档 三阶导数，记作fx，等等。fx的 k 阶导数也记作 k fx。 关于和与积的导数公式仍然成立： （1）fxg xfxg x （2） fx g xfx g xg x fx （3） 1kk fxkfxfx 定理 2.5.1 设p x是多项式 fx 的一个 1k k 重因式。 那么 p x 是f x 的导数的 一个 k-1 重因式。 定理 2.5.2 多项式fx没有重因式的充要条件是fx与它的导数fx互素。 2.6 多项式函数多项式的根 设给定了1R的一个多项式 2 012 n n fxaa xa xa x 和一个数cR,那么在 fx

16、 的表示式里，把x用 c 来代替，就得到R的一个数 2 012 n n aa ca ca c 这个数叫作当xc时，fx的值，并且用fc来表示。对于R上的每一个数c，就有 R中唯一确定的数f c与它对应。就得到R与 R的一个影射。这个影射是由多项式fx 所确定的，叫作R上的一个多项式函数。 定理2.6.1 设,fxR xcR，用xc除fx所得的余式等于当xc时fx的 值f c 定义令fx是R x的一个多项式而c 是 R 中的一个数，若是当xc时fx的值 0fc，那么 c 叫作fx在数环 R中的一个根。 定理 2.6.2 数 c 是fx的根的充要条件是fx能被xc整除。 定理 2.6.3 设xc是R x中一个0n次多项式。那么fx在 R 中至多有n 个不同的 根。 定理 2.6.4 设fxg x与是R x的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中 n+1 个或更多不同的数来代替x时，每次所得fxg x与的值都相等， 那么 实用标准文案 文档 fxg x=。 定理 2.6.5 R x的两个多项式fxg x与相等，当且