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1、开始 1k 1S 5?k 是 1kk SSk 否 输出 S 结束 2020 届衡水中学高三数学试卷 一 填空题 (本大题共14 小题，每题5 分，共 70 分) 1.复数 i i 1 1 的值是 _. 2.已知向量(1 2)a r ，(4)bx r ，若向量 ab vv ，则x_ 3. 盒子中有大小相同的3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的 概率是. 4 设两个等差数列数列, nn ab的前n项和分别为 , nn S T，如果 5 () 24 n n S nN Tn ， 则 2 3 a b _ _ 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两
2、名运动员的得分的平均 数分别为,xx乙 甲 则xx乙 甲= . 甲乙 0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36 944 4 1 5 1 6.设平面区域D是由双曲线1 4 2 2 x y的两条渐近线和抛物线 2 8yx的准线所围成的三 角形（含边界与内部） 若点 Dyx),( ，则目标函数yxz的最大值为 _. 7.在R 上定义运算 ：(1) 1.xyxy若不等式 1xaxa对任意实数x成立，则 a的取值范围 为_ 8.如果执行右面的流程图，那么输出的S_ 9.奇函数fx xR满足：30f， 且在区间0,2与 2,上分别递减和递增，则不等式0 xf x的解集为 _ 10.若a为
3、正整数， 2 ( )(2)1f xaxax在0,1上的最小值为1，则 a 11.已知命题P： “对x R， mR，使 2 2cossin 20 xxm ” ，若命题 P 是假命题， 则实数 m 的取值范围是 12.已知函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x ，则满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的实数 x的取值范围 是_ 13. 已知ABC的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为4 的等差数列， 则ABC的面积 为_. 14. 已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab （0a b）与双曲线 2 2 2 :1 4 y Cx有公共的焦点，2 C 的一条渐近线与以 1 C的
4、长轴为直径的圆相交于,A B两点 .若 1 C恰好将线段 AB三等分，则 2 b =_. 二 解答题（本大题共6 小题，共90 分） 15. (本小题满分14 分) 设三角形ABC的内角 ,A B C 的对边分别为 , , ,a b c 4,13ac ,sin 4sinAB （1）求b边的长； （2）求角C的大小 . （ 3）如果 4 cos()(0) 52 xCx,求sin x. 16(本小题满分14 分) 已知等比数列 n a 中 64 1 a，公比1q，且 2 a ，3 a ，4 a 分别为某等差数列的第5 项，第 3 项，第 2 项 求数列 n a 的通项公式； 设 1 2 log n
5、n ba ，求数列 n b的前 n项和 n T 17(本小题满分14 分) 如 图 的 几 何 体 中 ， AB 平 面ACD， DE 平 面ACD， ACD为 等 边 三 角 形 ， 22ADDEAB，F为CD的中点 （1）求证： /AF 平面BCE； （2）求证：平面BCE平面CDE. B A E D C 18(本小题满分16 分) 如图，在ABC中， 7 | |,| 2 2 ABACBC， 以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点 P. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右顶点 1 A作直线l与圆 22 :(1)2Exy相交于M、N两点，试探 究点M、N能将圆 E分割成弧长比值为1:
6、3的两段弧吗？若能， 求出直线 l的方程； 若不能， 请说明理由 . 19(本小题满分16 分) 设 2 ( ) 1 x e fx ax ，其中a为正实数 . (1)当 4 3 a时，求( )fx 的极值点； (2)若( )f x 为R上的单调函数，求a的取值范围 . 20. （本小题满分16 分）某企业拟建造如图所示的容器 （不计厚度， 长度单位： 米） ， 其中容器的中间为圆柱形， y P A B C O x 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 80 3 立方米，且 2lr 假设该容器的建 造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方 米建造费
7、用为 c（ 3c）千元设该容器的建造费用为 y千元 （1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r 数学 （一）答案 一填空题 (本大题共14 小题，每题5 分，共 70 分) 1.i2.-8 3. 1 2 4. 5 14 5.58 6.37.( 1,1)8.720 9.( 3,0) (0,3)U 10. 1 或 2 11. 12,1212. (,12)(1,)13.15 314 1 2 二解答题（本大题共6 小题，共90 分） 15 解： （1）依正弦定理 sinsin ab AB 有sinsinbAaB 又 4,a sin4sinAB，1b4 分
8、（2）依余弦定理有 222 161 131 cos 224 12 abc C ab 又0C180， 60C9 分 (3)由已知得 334 3 sin(),sin() 510 xCxxCC 14 分 16解：由条件知 2334 2aaaa 即 223 1111 2a qa qa qa q ， 又.0 1 qa 2 1221qqqqq，又1q. 2 1 q 17 11 64 22 nn n a 7 分 1 2 log7. nn ban n b前n项和 13 . 2 n n n S 当 71n 时，0 n b， 2 13 . 2 nn nn TS 当8n时， 0 n b ， 2 127897 (13
9、)1384 242 22 nnn n nnn TbbbbbbSSLL 2 2 13 ,17 2 1384 ,8. 2 n nn nnN T nn nnN 且 且 14 分 17 （ 1）证明：取CE的中点G，连结FGBG、 F为CD的中点，/GFDE且 1 2 GFDE AB平面 ACD，DE 平面ACD， /ABDE，/GFAB 又 1 2 ABDE，GF AB 四边形 GFAB为平行四边形，则/AFBG AF平面BCE，BG平面BCE， /AF平面BCE 7 分 B A E D C F G （2）证明： ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD DE平面ACD，AFACD平面， DEA
10、F /BGAF， ,BGDE BGCD又CD DED， BG平面CDE BG平面BCE， 平面BCE平面CDE 1 4 分 18 解（ 1） 7 | |,| 2 2 ABACBC| | 1,BOOC 22493 5 |1 42 OAACOC 3 5 ( 1,0),(1,0),(0,) 2 BCA 1 3 5 (,) 24 P 依椭圆的定义有： 222213 513 5 2|(1)(0)(1)(0) 2424 aPBPC 97 4 44 2a， 又1c， 222 3bac 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy 7 分 （求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程
11、， 也可以给满分.） 椭圆的右顶点 1(2,0) A ，圆E圆心为 (1,0)E ，半径 2r . 假设点 M 、N能将圆 E分割成弧长比值为1: 3的两段弧， 则 90MEN，圆心 (1,0)E 到直线l的距离 2 1 2 dr 当直线l斜率不存在时， l的方程为2x ， 此时圆心 (1,0)E 到直线 l的距离1d （符合） 当直线l斜率存在时，设 l的方程为 (2)yk x，即20kxyk， 圆心 (1,0)E 到直线l的距离 2 | 1 1 k d k ，无解 综上：点M、N 能将圆 E分割成弧长比值为1: 3的两段弧，此时l方程为2x 16 分 19 解： ()当 4 3 a时， 2
12、 ( ) 4 1 3 x e f x x 2 2 2 483 ( ) 4 3 1 3 x exx fx x 令 ( ) 0fx得 12 13 , 22 xx x 1 , 2 1 2 1 3 , 2 2 3 2 3 , 2 ( )fx 0 0 ( )f x ZZ ( )fx的极大值点是 1 2 ；极小值点是 3 2 () 2 2 2 21 ( ) 1 x eaxax fx ax ( )fx为 R上的单调函数，且 a为正实数 2 240aa即01a 20 解： （1）由题意可知 23 480 () 33 r lrlr2，即 2 804 2 33 lrr r ，则02r. 容器的建造费用为 22 2 804 2346()4 33 yrlrcrrr c r ， 即 22 160 84yrr c r ，定义域为 02rr. 8 分 （2） 2 160 168yrrc r ，令0y，得 3 20 2 r c . 令 3 20 2, 2 r c 即 4.5c ， （1）当34.5c时， 3 20 2, 2c 当02r， 0y ，函数 y为减函数，当 2r 时y 有最小值； （2）当 4.5c 时， 3 20 2, 2c 当 3 20 0 2 r c ，0y；当 3 20 2 r c 时0y， 此时当 3 20 2 r c 时y有最小值 . 16 分
