2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案

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1、河北衡水中学2020 年高考押题试卷 理数试卷（一） 第卷 一、选择题：本题共 12 个小题 , 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 4 |0 2 x AxZ x ， 1 |24 4 x Bx，则ABI=（） A| 12xx B 1,0,1,2 C 2,1,0,1,2 D0,1,2 2. 已知i为虚数单位，若复数 1 1 ti z i 在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（） A 1,1 B( 1,1) C(, 1)D(1,) 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(,0)内单调递增的为（） A. 4 2yxx B | | 2 x y

2、C.22 xx y D 1 2 log| 1yx 4. 已知双曲线 1 C： 2 2 1 2 x y与双曲线 2 C： 2 2 1 2 x y，给出下列说法，其中错误的是（） A.它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等 5. 在等比数列 n a中，“ 4 a， 12 a是方程 2 310 xx的两根”是“ 8 1a”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 执行如图的程序框图，则输出的S值为（） A.1009 B-1009 C.-1007 D1008 7. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体

3、积为（） A 1 63 B1 12 C 1 123 D 1 43 8. 已知函数( )sin()f xAx(0,0,|)A的部分图象如图所示，则函数( )cos()g xAx 图象的一个对称中心可能为（） A 5 (,0) 2 B 1 (,0) 6 C. 1 (,0) 2 D 11 (,0) 6 9. 几何原本卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过 这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明. 现有如图所示图形，点F在 半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（） A.

4、2 ab ab (0,0)abB 22 2abab (0,0)ab C. 2ab ab ab (0,0)abD 22 22 abab (0,0)ab 10. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了 “祖国， 你好” 的诗歌朗诵比赛. 该校高三年级准备从包括甲、 乙、丙在内的7 名学生中选派4 名学生参加，要求甲、乙、丙这3 名同学中至少有1 人参加，且当这3 名同学都 参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4 名学生不同的朗诵顺序的种数为（） A720 B768 C.810 D 816 11. 焦点为 F 的抛物线 C： 2 8yx的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当 | |

5、 MA MF 取得最大值时， 直线MA的方程为（） A2yx或2yxB2yx C.22yx或22yxD22yx 12. 定义在R上的函数( )f x满足(2)2( )f xf x，且当2,4x时， 2 2 4 ,23, ( ) 2 ,34, xxx f x x x x ( )1g xax，对 1 2,0 x， 2 2,1x，使得 21 ()()g xfx，则实数 a的取值范围为（ ） A 11 (,),) 88 UB 11 ,0)(0, 48 U C.(0,8D 11 (,) 48 U 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题和

6、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分. 13. 已知(1, )a r ，(2,1)b r ，若向量2ab rr 与(8,6)c r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为 14. 已知实数x，y满足不等式组 20, 250, 20, xy xy y 且2zxy的最大值为a，则 2 0 cos 2 x adx= 15. 在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tantan2 tanbBbAcB，且8a ， ABC 的面积为4 3，则bc的值为 16. 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） ABCD的外接球，

7、3BC ， 2 3AB，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围 是 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知 23 (1)(1)(1)(1) n xxxxL的展开式中x的系数恰好是数列 n a的前n项和 n S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 1 2 (21)(21) n nn a naa b ，记数列 n b的前n项和为 n T，求证：1 n T. 18. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为AOC的垂心 . （1）求证：平面 OPG 平面PAC； （2）若 22PAA

8、BAC ，求二面角 AOPG的余弦值 . 19.2017 年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600 元（含 600 元），均可抽奖一次， 抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种. 方案一：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7 个）的抽奖盒中，一次性摸出3 个球， 其中奖规则为：若摸到3 个红球，享受免单优惠；若摸出2 个红球则打6 折，若摸出1 个红球，则打7 折；若没 摸出红球，则不打折. 方案二：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7 个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1 球，连摸3 次，每摸到1 次红球，立减200 元.

9、 （1）若两个顾客均分别消费了600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长为6，且椭圆C与圆M： 2240 (2) 9 xy的公共弦长 为 4 10 3 . （1）求椭圆C的方程 . （2）过点(0, 2)P作斜率为(0)k k的直线 l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得 ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 21. 已知函数 2 (

10、)2ln2(0)f xxmxxm. （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2）当 3 2 2 m时，若函数( )f x的导函数( )fx的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为 1 x， 2 x 12 ()xx，线段AB的中点的横坐标为 0 x，且 1 x， 2 x恰为函数 2 ( )lnh xxcxbx的零点，求证： 120 2 ()()ln 2 3 xxh x. 请考生在第22、23 题中任选一题作答. 并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号 进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参

11、数方程 已知直线 l的参数方程为 2 4, 2 2 2 xt yt （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，圆 C的极坐标方程为4cos ，直线l与圆C交于 A，B两点 . （1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长； （2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值. 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 . 已知函数( )| 21|1|f xxx. （1）求函数( )f x的值域 M ； （2）若aM，试比较|1|1|aa， 3 2a ， 7 2 2 a的大小 . 参考答案及解析 理科数学（） 一、选择题 1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11

12、、12：AD 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13. 3 5 5 14. 3 15.4 5 16.2,4 三、解答题 17. 解：（ 1） 23 (1)(1)(1)(1) n xxxxL的展开式中x的系数为 1111 123n CCCCL 2111 223n CCCCL 22 1 11 22 n Cnn， 即 211 22 n Snn， 所以当 2n 时， 1nnn aSSn； 当 1n 时， 1 1a也适合上式， 所以数列 n a的通项公式为 n an. （2）证明： 1 2 (21)(21) n n nn b 1 11 2121 nn ， 所以 1 11111

13、1 3372121 n nn TL 1 1 1 21 n ， 所以1 n T. 18. 解：（ 1）如图，延长 OG交AC于点M . 因为G为 AOC的重心，所以M 为AC的中点 . 因为O为AB的中点，所以 / /OMBC. 因为 AB是圆O的直径，所以BCAC，所以OMAC. 因为PA平面ABC，OM平面ABC，所以PAOM. 又PA平面PAC，AC平面PAC，PAACAI，所以OM平面PAC. 即OG平面PAC，又OG平面OPG， 所以平面OPG平面PAC. （2） 以点C为原点，CB uu u r ，CA uu u r ，AP u uu r 方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标

14、系Cxyz， 则(0,0,0)C， (0,1,0)A，( 3,0,0)B， 3 1 (,0) 22 O，(0,1,2)P， 1 (0,0) 2 M， 则 3 (,0,0) 2 OM uuuu r ， 3 1 (,2) 22 OP uuu r . 平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为( , , )nx y z r ，则 3 0, 2 31 20, 22 n OMx n OPxyz r uuuu r r uu u r 令1z，得(0, 4,1)n r . 过点C作CH AB于点H， 由PA 平面 ABC， 易得CHPA， 又PAABAI ， 所以CH平面PAB， 即CH uuu r

15、 为平面 PAO的一个法向量 . 在Rt ABC中，由 2ABAC，得30ABC ，则 60HCB ， 13 22 CHCB. 所以 3 cos 4 H xCHHCB， 3 sin 4 H yCHHCB. 所以 3 3 (,0) 44 CH uuu r . 设二面角 AOPG的大小为 ，则 | cos | | CH n CHn uuu r r uu urr 22 33 |041 0 | 2 51 44 17 39 41 1616 . 19. 解：（ 1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则 3 3 3 10 1 () 120 C P A C ， 所以两位顾客均享受到免单的概率为 1 ()() 14400 PP AP A. （2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700， 1000. 3 3 3 10 1 (0) 120 C P X C ， 21 37 3 10 7 (600) 40 C C P X C ， 12 37 3 10 21 (700) 40 C C P X C ， 3 7 3 10 7 (1000) 24 C P X C ， 故X的分布列为， 所以 17217 ()06007001000 120404024 E X 1 764 6 （元） . 若选择方案二，设摸到红球的个