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1、第 1 页 共 7 页 高中数学必修5 解三角形 知识点： 1、 正弦定理：在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆的半 径，则有2 sinsinsinC abc R 2、 正弦定理的变形公式： 2sinaR，2sinbR，2 sinCcR； sin 2 a R ，sin 2 b R ，sinC 2 c R ； :sin:sin:sinCa b c； sinsinsinCsinsinsinC abcabc 3、 三角形面积公式： 111 sinsinCsin 222 ABC Sbcabac 4、 余弦定理 :在C中， 有 222 2cosabcbc， 222 2cos
2、bacac， 222 2cosCcabab 5、 余弦定理的推论： 222 cos 2 bca bc ， 222 cos 2 acb ac ， 222 cosC 2 abc ab 6、 设a、b、c是C的角、C的对边，则： 若 222 abc，则90C；若 222 abc，则90C； 若 222 abc，则90C 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中 的边、角关系转化为角的关系或边的关系主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角 平分线、中线)及周长
3、等基本问题 例 1 ABC中， 3 A，BC3，则ABC的周长为 ( ) A3 3 sin34BB3 6 sin34B C3 3 sin6BD3 6 sin6B 第 2 页 共 7 页 例 2在 ABC 中，已知 6 6 cos, 3 64 BAB，AC 边上的中线BD=5，求 sinA 的值 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 例 3 在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是 ( ) A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 例 4 在 ABC中，若1
4、20A ， 5AB ， 7BC ，则 ABC的面积 S_ 四、求值问题 例 5 在 ABC中,CBA、 所对的边长分别为cba、,设cba、满足条件 222 abccb 和3 2 1 b c ，求A和Btan的值 第 3 页 共 7 页 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际生活中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要 用到解三角形的知识。 【基础训练】 一、选择题 1在 ABC 中，若 00 30,6,90BaC，则bc等于 ( ) A1B1C32D32 2若A为 ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( ) AAsinBAcosCAtanD Atan
5、1 3在 ABC 中，角,A B均为锐角，且,sincosBA则 ABC 的形状是 ( ) A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 4等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 0 60，则底边长为( ) A2B 2 3 C3D32 5在ABC中，若Babsin2，则A等于 ( ) A 00 6030 或B 00 6045 或C 00 60120 或D 00 15030 或 6边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A 0 90B 0 120C 0 135D 0 150 二、填空题 1在RtABC 中， 0 90C，则BAsinsin的最大值是 _ 2在 ABC 中
6、，若Acbcba则, 222 _ 3在 ABC 中，若aCBb则,135,30,2 00 _ 4在 ABC 中，若sin Asin BsinC7813，则C_ 三、解答题 第 4 页 共 7 页 1在 ABC 中，若,coscoscosCcBbAa则ABC 的形状是什么 ? 2在 ABC 中，求证：) coscos ( a A b B c a b b a 3在锐角 ABC 中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin 4在 ABC 中，设, 3 ,2CAbca求Bsin的值 第 5 页 共 7 页 【综合训练】 一、选择题 1在 ABC 中，:1: 2:3A B C，则:a b
7、c等于 ( ) A1: 2:3B3: 2:1C1:3 :2D2:3 :1 2在 ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值 ( ) A大于零B小于零C等于零D不能确定 3在 ABC 中，若BA2，则a等于 ( ) AAbsin2BAbcos2CBbsin2DBbcos2 4在 ABC 中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则 ABC 的形状是 ( ) A直角三角形B等边三角形C不能确定D等腰三角形 5在 ABC 中，若,3)(bcacbcba则A( ) A 0 90B 0 60C 0 135D 0 150 6在 ABC 中，若 14 13 cos, 8, 7Cba，则最大角的
8、余弦是( ) A 5 1 B 6 1 C 7 1 D 8 1 7在 ABC 中，若tan 2 ABab ab ，则 ABC 的形状是 ( ) A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形 二、填空题 1若在 ABC 中， 0 60 ,1,3, ABC AbS则 CBA cba sinsinsin =_ 2若,A B是锐角三角形的两内角，则BAtantan_1(填 或) 3在 ABC 中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_ 4 在ABC 中，若,12,10,9cba则 ABC 的形状是 _ 5在 ABC 中，若Acba则 2 26 ,2,3_ 6在锐角 ABC 中，若2,3ab，则边长c的取值范围是_ 三、解答题 第 6 页 共 7 页 1 在ABC 中， 0 120 ,21,3 ABC Acb aS，求cb, 2 在锐角 ABC 中，求证：1tantantanCBA 3 在ABC 中，求证： 2 cos 2 cos 2 cos4sinsinsin CBA CBA 第 7 页 共 7 页 4在 ABC 中，若 0 120BA，则求证：1 ca b cb a 5在 ABC 中，若 22 3 coscos 222 CAb ac，则求证：2acb
