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1、. 整理范本 高中数学常用公式 目录 第一部分集合 1.理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还 是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2 .数形结合 是解集合问题的常用方法： 解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方 法解决 （3）集合 12 , n a aaL的子集个数共有2 n 个；真子集有2 n 1 个；非空子集有2 n 1 个； 非空真子集有2 n 2 个. 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分函数与导数 1映射： 注意 : 第一个集合中的元素必须有象；一对
2、一或多对一. 2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元 法 ； 利用均值不等式 22 22 baba ab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距 离、 绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ x a、xsin、xcos等） ；平方法；导数法 3复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于x a,b时，求g(x)的值域 . （2）复合函数单调性的判定： 首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(
3、ufy . 整理范本 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5函数的奇偶性: 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 )(xf是奇函数)()(xfxf；)(xf是偶函数)()(xfxf . 奇函数)(xf在 0 处有定义，则0)0(f 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6函数的单调性: 单调性的定义： )(xf在区间M上是增函数, 21 Mxx当 21
4、xx时有 12 ()()f xf x； )(xf在区间M上是减函数, 21 Mxx当 21 xx时有 12 ()()f xf x； 单调性的判定： 定义法： 一般要将式子)()( 21 xfxf化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性： (1)周期性的定义： 对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数）， 则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的 最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期：2:sinTxy；
5、2:cosTxy； Txy:tan； | 2 :)cos(),sin(TxAyxAy； | :tanTxy (3)与周期有关的结论： )()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2 8基本初等函数的图像与性质： .指数函数：)1,0(aaay x ；对数函数 :)1,0(logaaxy a ； 幂函数：xy（)R；正弦函数:xysin；余弦函数：xycos； （ 6）正切函数：xytan；一元二次函数：0 2 cbxax（a 0） ；其它常用函 . 整理范本 数： 正比例函数：)0(kkxy； 反比例函数：)0(k x k y； 函数)0(a x a xy .分数指数幂：
6、 m nm n aa； 1 m n m n a a （以上0,am nN，且1n）. .bNNa a b log；NMMN aaa logloglog； NM N M aaa logloglog；loglog m n a a n bb m . .对数的换底公式: log log log m a m N N a .对数恒等式 : logaN aN. 9二次函数： 解析式：一般式：cbxaxxf 2 )(；顶点式：khxaxf 2 )()(，),(kh为 顶点； 零点式：)()( 21 xxxxaxf（a0）. 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符
7、号。 二 次 函 数cbxaxy 2 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 a b x 2 ， 顶 点 坐 标 是 a bac a b 4 4 2 2 ，。 10函数图象： 图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换： 平移变换： )()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“”； )0(,)()(kkxfyxfy上“+”下“”； 对称变换： )(xfy )0,0( )(xfy； )(xfy 0y )(xfy； ) )(xfy 0 x )( xfy； )(xfy xy ( )xf y； 翻折变换： )|)(|)(xfyxfy（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)
8、(xf在y左侧图 象去掉）； )|)(|)(xfyxfy（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(xf| 在x下面 无图象）； 11函数图象（曲线）对称性的证明： . 整理范本 (1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的 对称点仍在图像上； （2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关 于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然。 注*：曲线C1:f(x,y)=0 关于原点（ 0,0）的对称曲线C2方程为： f(x,y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线C2方程为： f(x
9、, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线C2方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(bx) （ x R）y=f(x)图像关于直线x= 2 ba 对称； 特别地： f(a+x)=f(a x) （ x R）y=f(x) 图像关于直线x=a 对称 . ( )yf x的图象关于点( , )a b对称bxafxaf2. 特别地：( )yf x的图象关于点( ,0)a对称xafxaf. 函数()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称 ; 函数)(xafy与函
10、数()yf ax的图象关于直线0 x对称。 12函数零点的求法： 直接法（求0)(xf的根） ；图象法；二分法. (4)零点定理：若y=f(x)在 a,b上满足 f(a)f(b)0 7圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） 点与圆的位置关系： （d表示点到圆心的距离） Rd点在圆上；Rd点在圆内；Rd点在圆外。 直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离） . 整理范本 Rd相切；Rd相交；Rd相离。 圆与圆的位置关系： （d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR） rRd相离；rRd外切；rRdrR相交； rRd内切；rRd0内含。 9直线与圆相
11、交所得弦长 22 | 2ABrd 第六部分圆锥曲线 1定义： 椭圆：|)|2( ,2| 2121 FFaaMFMF； 双曲线：|)|2( ,2| 2121FFaaMFMF ； 抛物线： |MF|=d 2结论：直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A),(),( 2211 yxByx,则 22 1212 ()()ABxxyy,或 2 21 1kxxAB, 或 2 21 1 1 k yyAB. 注：抛物线：ABx1+x2+p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线： a b 2 2 ；） 抛物线： 2p. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：1 22 nymx（nm,同时大于0 时表示 椭圆； 0mn
12、时表示双曲线） ；当点P与椭圆短轴顶点重合时 21PF F最大； 双曲线中的结论： 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）的渐近线： 0 2 2 2 2 b y a x ； 共渐进线 x a b y 的双曲线标准方程可设为 ( 2 2 2 2 b y a x 为参数， 0） ； 双曲线为等轴双曲线2e渐近线互相垂直； 焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： 联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不 存在时 考虑了吗？判别式验证了吗？
13、 设而不求（点差法-代点作差法） ：- 处理弦中点问题 步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得 21 21 xx yy kAB；解决问题。 . 整理范本 4求轨迹的常用方法： （1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ； （3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法； （5）消参法；（6）交轨 法； （7）几何法。 第七部分平面向量 1.平面上两点间的距离公式: ,A B d 22 2121 ()()xxyy，其中 A 11 (,)x y，B 22 (,)xy. 2.向量的平行与垂直：设a= 11 (,)x y,b= 22 (,)xy，且b0，则： a
14、bb=a 1221 0 x yx y； ab(a0)ab= 0 1212 0 x xy y. 3.ab =| a| b|cos=x 1x2+y 1y2； 双曲线：|)|2( ,2| 2121 FFaaMFMF； 抛物线： |MF|=d 2结论：直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A),(),( 2211 yxByx,则 22 1212 ()()ABxxyy,或 2 21 1kxxAB, 或 2 21 1 1 k yyAB. 注：抛物线：ABx1+x2+p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线： a b 2 2 ；） 抛物线： 2p. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：1 22 nymx（nm
15、,同时大于0 时表示 椭圆； 0mn时表示双曲线） ；当点P与椭圆短轴顶点重合时 21PF F最大； 双曲线中的结论： 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）的渐近线： 0 2 2 2 2 b y a x ； 共渐进线x a b y的双曲线标准方程可设为( 2 2 2 2 b y a x 为参数， 0） ； 双曲线为等轴双曲线2e渐近线互相垂直； 焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： 联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不 存在
16、时 考虑了吗？判别式验证了吗？ 设而不求（点差法-代点作差法） ：- 处理弦中点问题 . 整理范本 步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得 21 21 xx yy kAB；解决问题。 4求轨迹的常用方法： （1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ； （3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法； （5）消参法；（6）交轨 法； （7）几何法。 5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线xy1OPxOAyOB uuu ru uu ruuu r 且。 第八部分数列 1定义： BnAnSbknaNnnaaa ndaaNnddaaa nnnnn nnn 2 11 1n1n *), 2(2 )2(,() 1(）为常数等差数列 等比数列)Nn2,(n)0( 1n1-n 2 n 1n n aaaqq a a a n 2等差、等比数列性质： 等差数列等比数列 通项公式dnaan)1( 1 1 1
