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1、数学分析专题研究学习辅导（四）第一章 集合与映射（四） 有关二元关系部分 典型例题解析 例1 设集合A= 1, 2, 3, 4上的二元关系R= (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)，S= (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)，用定义求. 思路 求复合关系，就是要分别将R中有序对(a, b)的第2个元素b与S中的每个有序对(c, d)的第1个元素进行比较，若它们相同（即b=c），则可组成中的1个元素(a, d)，否则不能. 幂关系的求法与复合关系类似. 求关系R的逆关系，只要把R中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到中的所有有序
2、对. 解 = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) = (1, 3), (1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2) =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4) = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)
3、=(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3) =(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2) =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) = (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) =(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)注：由例1可
4、知，关系的复合运算不满足交换率，即. 例2 对于以下给定的集合A、B和关系f，判断是否构成映射f：. 如果是，试说明f：是否为单射、满射或双射的. （1）A=1, 2, 3, 4, 5，B=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 8), (3, 9), (4, 10), (2, 6), (5, 9)； （2）A=1, 2, 3, 4, 5，B=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 7), (2, 6), (4, 5), (1, 9), (5, 10)； （3）A=1, 2, 3, 4, 5，B=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 8), (3, 10), (2, 6), (4
5、, 9) （4）A=B=R，f (x) = x3，（R）； （5）A=B=R，（ R）； 思路 首先按照1.2节的定义2.5，判断A、B和f是否构成映射，即判断f是否具有单值性以及Dom(f )是否等于A. 然后再按照定义2.6，说明f：具有的性质. 解 （1）因为Dom(f ) = A，且对任意（i=1, 2, 3, 4, 5），都有唯一的，使(i, j ). 所以A、B和f能构成函数f：. 因为存在3, 5A，且35，但映射f (3)= f (5) = 9，所以f：不是单射的； 又因为集合B中的元素7不属于f的值域，即f (A)B，所以f：不是满射的. xf (x)123-1-3-2123
6、-2-1-3图1-1 （2）因为对1A，存在7, 9B，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f不满足映射定义的单值性条件. 所以A、B和f不能构成映射f：. （3）因为Domf =1, 2, 3, 4A，所以A、B和f不能构成映射f：. （4）因为对R，都有唯一的R，使(x, ). 所以A、B和f能构成映射f：. 由图1-12可知，f：，f (x)= x3是双射的. （5）因为对R，都有唯一的R，使. 所以A、B和f能构成映射f：. 因为该映射在x 0处，f (-x)= f (x)，且f (R) R，所以映射f：不是单射的，也不是满射的. 例3 证明：若f：XY，A，BY，则(A- B)
7、=(A)-(B) 证明 x(A- B)，y(A- B)，即yA但yB，使得y = f (x)，从而有 x(A)但x(B)，故x(A)-(B) (A-B)(A) -(B) 又 x(A)-(B)，由于x(A)但x(B)，从而f (x)A但f (x)B，即f (x)(A-B)，故x(A- B) (A) -(B)(A-B) 因此，(A- B) =(A)-(B) 例4 设有映射f:AA. 若aA, f(a)=a, 则称映射f是恒等映射，表示为. 设有两个映射f:AB, g:BA. 若gf =, 则f是单射，g是满射. 证明 (1) 证明映射f是单射. 对任意的bB，如果存在a1，a2A，使f (a1)
8、= b，f (a2) = b，即f (a1) = b = f (a2). 因为 a1=(a1)=(gf )(a1)= g(f (a1) = g(f (a2) =(gf )(a2) =(a2)= a2 . 所以f是单射的. (2) 证明映射g是满射. 因为(gf )(A)=(A)= A，所以gf是满射的. 又对任意的cA，由gf是满射的可知，存在aA，使(gf )(a) = c. 那么存在bB，使f (a) = b，g(b) = c. 所以存在bB，使g(b) = c，即g是满射的. 例5 设函数f：AB，g：BC，且gf：AC，证明：若f 和g都是单射的，则gf 也是单射的. 证明 因为对任意
9、的a1，a2A，如果a1a2，那么由f 是单射的可知，f (a1) f (a2). 而由g是单射的可知，g (f (a1)g( f (a2). 所以，由a1a2可得 (gf) (a1)( gf ) (a2) ，即gf是单射的. 例6 设f：RR，；g：RR，. 求gf ，f g. 如果f 和g存在逆映射，求它们的逆映射. 解：（1）求gf和f g (gf )(a)= g(f (a)+2 =； (f g)(a)= f(g(a) = f (a+2) = （2）求逆映射. 因为映射f：RR， 不是满射的. 所以f：RR不是双射，由1.2节注2.1可知，f不存在逆映射. 又因为g：RR，g(a) =
10、a +2即是满射的，又是单射的. 所以g：RR是双射，因此g存在逆映射，其逆映射为：RR，. 例7 设R1和R2是集合A上的任意关系，试证明或用反例推翻下列论断： （1）若R1和R2都是反身的，则也是反身的； （2）若R1和R2都是对称的，则也是对称的； （3）若R1和R2都是传递的，则也是传递的. 思路 做这类题目时，必须深入理解相关的概念，这样才能做出正确的判断；在此基础上进行证明或举出反例. 证 （1）因为对任意，若R1和R2都是A上的反身关系，则 (a, a)，(a, a)所以，(a, a)，即也是反身的. 故该论断正确. （2）例如，设A=a, b, c，当R1=(a, b), (b
11、, a), (c, c)，R2=(b, c), (c, b)，R1与R2都是对称的，但是=(a, c), (c, b)已不是对称的，故该论断不正确. （3）例如，设集合A=a, b, c，当R1=(a, b), (b, c), (a, c)，R2=(b, c), (c, a), (b, a)，R1和R2都是传递的. 但是，由= (a, a), (a, c), (b, a) 得 (b, a)，(a, c) ，且(b, c)，故不是传递的，即该论断不正确. 例8 设集合A=a, b, c, d, e，A上的关于等价关系R的等价类为： a = a, b, c， d = d, e求：（1）等价关系R；
12、 （2）画出关系图. 思路 由等价关系的定义可知，等价关系R同时是反身的、对称的和传递的. 又由定义3.2知道，等价类中的任意两个元素都有关系. 因此，写A上的等价关系R的步骤为： 写出A上的恒同关系IA，使R是反身的； 分别写出等价类a、d中各元素两两之间的关系，使R具有对称性和传递性； 求、结果的并集，得到所求的等价关系. 解 （1）因为等价关系R是反身的，所以，IA=(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e). 又因为a，b，c在同一个等价类中，所以(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 同样，因为d
13、，e在同一个类中，所以(d, e), (e, d) 由此可得R = IA(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (d, e), (e, d) （2）R的关系图如图1-13所示.abc图1-2de 例9 设R为集合A中的对称的、传递的关系，证明R为等价关系Dom(R)=A. 证明 先证“”. 因为R为等价关系，即R为反身的，I(A)R. 所以，Dom(R)=A. 再证“”. 因为Dom(R)=A，那么，对aA，有(a, a)R，或bA，使(a, b)R，由R为对称的和传递的，得(a, b)R, (a, a)R，即R为反身的. 所以，R为等价关系. 例10 设集合A=2, 3, 4, 6, 8, 12, 24，DA为A上的整除关系. （1）写出集合A中的最大元，最小元，极大元，极小元； （2）写出A的子集B=2, 3, 6, 12的上界，下界，最小上界，最大下界. 思路 最大元与极大元是不一样的. A的最大元应该大于等于A中其它各元素. A的极大元应该
