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1、-1-,知识梳理,考点自诊,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是. (2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有在a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则有在a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内.,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,-2-,知识梳理,考点自诊,2.函数的极值 一般地,当函数f(x)的图象在点x0处
2、连续时, (1)如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,-3-,知识梳理,考点自诊,3.函数的最值 (1)图象在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. (3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在a,b上连续,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的; 将f(x)的各极值与
3、进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),-4-,知识梳理,考点自诊,1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.() (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. () (
4、3)导数为零的点不一定是极值点. () (4)函数的极大值不一定比极小值大. () (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. (),-6-,知识梳理,考点自诊,2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是 () A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数 D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数,C,3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=() A.-4B.-2C.4D.2,D,解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=
5、0,得x=-2或x=2, 易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.,-7-,知识梳理,考点自诊,4.(2018山东师大附中一模,11)若f(x)=- x2+mln x在(1,+)是减函数,则m的取值范围是() A.1,+)B.(1,+) C.(-,1D.(-,1),C,x|x1或x-1,-8-,考点1,考点2,考点3,考点4,利用导数研究函数的单调性 例1(2018福建龙岩4月质检,21改编)已知函数 , mR,求函数f(x)的单调增区间. 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?,设函数g(
6、x)=x2-2x-m,x(0,+), 当=4+4m0,即m-1时,g(x)0,f(x)0, f(x)在(0,+)上单调递增.当=4+4m0,即m-1时, 令g(x)=0,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,即00,f(x)0; 在(x1,x2)上,g(x)0,f(x)0.所以函数f(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增.综上,当m-1时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求f(x)的单调区间,要先确定函数的定义域.再判断f(x)的正负.若f(x)不含参数,但又不好判断正负,将f(x)中正负不定的部分设为g(x),对
7、g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负. 2.在求函数f(x)的单调区间时,若f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(2018衡水中学金卷一模,21改编)已知函数f(x)=ax2ex (aR,e为自然对数的底数).当a0时,讨论函数f(x)的单调性.,解 由题知,f(x)=2axex+ax2ex=aex(x2+2x)=aexx(
8、x+2).当a0时,令f(x)0,得x0.令f(x)0,得-20.函数f(x)的单调递减区间为(-,-2), (0,+),单调递增区间为(-2,0).,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数单调性的应用(多考向) 考向1利用函数单调性比较大小,思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?,A,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2利用函数单调性求参数的范围 例3(1)(2018衡水中学押题二,11改编)若函数f(x)=mln x+x2-mx在区间(0,+)内单调递增,则正实数m的取值范围为() A.0,8B.(0,8 C.8,+)D.(8
9、,+) (2)(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.,B,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何利用函数的单调性求参数的范围? 解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较. 2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可
10、以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,求函数的极值、最值 例4(1)(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为() A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1 (2)(2018江苏,11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)
11、在-1,1上的最大值与最小值的和为. 思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系?,A,-3,解析: (1)由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1, 故选A.,
12、-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程:,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,4.求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(
13、a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,ln a,D,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,已知极值或最值求参数范围 例5若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2 (0 x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是(),C,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考已知极值或最值如何求参数的范围? 解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,D,-
14、28-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)内为减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求定义域及f(x); (2)求f(x)=0的根; (3)判定定义域内的根两侧导数的符号; (4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,
