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1、第 1 页 共 59 页 中考数学压轴题运动变化类 与运动变化类有关的压轴题，题目展示涉及： 单一（双）动点在三角形、 四边形上运动； 在直线、抛物线上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质； 特殊四边形形的判定和性质；圆的相关性质； 解直角三角形， 勾股定理， 相似三角形的性质. 数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想. 解答这类问题的关键是正确分类画出直观 图形 .现选取部分省市的2014 年中考题展示，以飨读者. 一、单动点问题 【题 1】(2014 年江苏徐州第28 题 )如图，矩形ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从 点 A 出发，沿射线
2、AD 移动，以 CE 为直径作圆O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EGEF，EG 与圆 O 相交于点G，连接 CG （1）试说明四边形EFCG 是矩形； （2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点E 停止移动，在点E 移动的过程中， 矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不 存在，说明理由； 求点 G 移动路线的长 【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆 周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】：压轴题；运动变化型 【分析】：（1）只要证到三个内角等于90
3、即可 （2）易证点D 在 O 上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFE DAB， 根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2SCFE= 然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE =定值，从而得到点G 的移动的路线是线段，只需找到点G 的起点与终点，求出该线段的长度即可 【解答】：解： （1）证明：如图1， 第 2 页 共 59 页 CE 为 O 的直径， CFE= CGE=90 EGEF， FEG=90 CFE= CGE=FEG=90 四边形 EFCG 是矩形 （2）存在 连接 OD，如图 2， 四边形 ABCD 是矩形
4、， A=ADC=90 点 O 是 CE 的中点， OD=OC 点 D 在 O 上 FCE= FDE， A= CFE=90 ， CFE DAB =（）2 AD=4，AB=3， BD=5， SCFE=（） 2?SDAB = 3 4 = S矩形ABCD=2SCFE = 四边形 EFCG 是矩形， FC EG FCE= CEG GDC=CEG， FCE =FDE ， 第 3 页 共 59 页 GDC=FDE FDE +CDB=90 ， GDC+CDB=90 GDB=90 当点 E 在点 A（ E ）处时，点F 在点 B（F）处，点G 在点 D（G 处，如图 2所示 此时， CF=CB=4 当点 F 在
5、点 D（F ）处时，直径F G BD， 如图 2所示， 此时 O 与射线 BD 相切， CF=CD=3 当 CF BD 时， CF 最小，此时点F 到达 F， 如图 2所示 SBCD=BC? CD=BD?CF 4 3=5 CF CF = CF4 S矩形ABCD=， （） 2 S 矩形ABCD 42 S矩形ABCD12 矩形 EFCG 的面积最大值为12，最小值为 GDC=FDE=定值，点G 的起点为D，终点为 G ， 点 G 的移动路线是线段DG GDC=FDE ， DCG=A=90 ， DCG DAB = = DG= 第 4 页 共 59 页 点 G 移动路线的长为 【点评】：本题考查了矩形
6、的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、 直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综 合性较强而发现CDG=ADB 及 FCE= ADB 是解决本题的关键 【题 2】 （2014?湖州第 24 题）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P（ 1， 1）为圆心的P 与 x 轴， y 轴分别相切于点M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间 是 t 秒（ t0） （1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证：
7、PE=PF； （2）在点 F 运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示b； （3）作点 F 关于点 M 的对称点F ，经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， 连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与 以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值； 若不 存在，请说明理由 【分析】： （1）连接 PM，PN，运用 PMF PNE 证明， （2）分两种情况当t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1时，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， 第 5 页 共 59 页 （3）
8、分两种情况，当1t2 时，当 t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式 求出时间t 【解答】： 证明： （1）如图，连接PM，PN， P 与 x 轴， y 轴分别相切于点M 和点 N， PMMF ，PNON 且 PM=PN， PMF=PNE=90 且 NPM =90 ， PEPF， NPE=MPF =90 MPE， 在 PMF 和 PNE 中， PMF PNE（ASA） ， PE=PF， （2）解：当t 1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（ 1）得 PMF PNE， NE=MF=t， PM=PN=1， b=OF=OM+MF =1+t，a=NEON=t1， ba=1+t（
9、t1）=2， b=2+a， 0t1时，如图2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上， 同理可证 PMF PNE， b=OF=OM+MF =1+t，a=ONNE=1t， b+a=1+t+1t=2， b=2a， （3）如图 3， （）当1 t2 时， F（1+t，0） ，F 和 F 关于点 M 对称， F（ 1t，0） 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， Q（1t，0） OQ=1t， 由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t， OE=t1 当 OEQ MPF =， 第 6 页 共 59 页 解得， t=，当 OEQ MFP 时，=， =，解得， t=， （）如图4，当
10、t2 时， F（1+t，0） ，F 和 F 关于点 M 对称， F（ 1t，0） 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， Q（1t，0） OQ=t1， 由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t， OE=t 1 当 OEQ MPF =，无解， 当 OEQ MFP 时，=，=，解得， t=2， 所以当 t=，t=，t=2时，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系 【题 3】 (2014 年四川省绵阳市第24 题)如图 1，矩形 ABCD
11、中， AB=4，AD=3，把矩 形沿直线 AC 折叠，使点B 落在点 E 处， AE 交 CD 于点 F，连接 DE （1）求证： DEC EDA ； （2）求 DF 的值； （3）如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点P 作 AEC 的内接矩形，使其定点Q 落在线 段 AE 上，定点 M、 N 落在线段AC 上，当线段 PE 的长为何值时， 矩形 PQMN 的面积最大？ 并求出其最大值 第 7 页 共 59 页 【考点】：四边形综合题 【分析】：（1）由矩形的性质可知ADC CEA，得出 AD=CE， DC=EA， ACD = CAE，从而求得DEC EDA； （2）根据勾股定理即可
12、求得 （3） ） 有矩形 PQMN 的性质得 PQ CA， 所以， 从而求得 PQ， 由 PNEG， 得出=， 求得 PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得 【解答】：（1）证明：由矩形的性质可知ADC CEA， AD=CE，DC=EA， ACD=CAE， 在 ADE 与 CED 中 DEC EDA（SSS ） ； （2）解：如图1， ACD=CAE， AF=CF ， 设 DF=x，则 AF=CF=4x， 在 RTADF 中， AD 2+DF2=AF2， 即 32+x2=（4x） 2， 解得； x=， 即 DF= （3）解：如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ CA 又 CE=3，A
13、C=5 设 PE=x（0 x3） ，则，即 PQ= 过 E 作 EGAC 于 G，则 PNEG， = 又在 RtAEC 中， EG?AC=AE?CE，解得 EG= 第 8 页 共 59 页 =，即 PN=（3x） 设矩形 PQMN 的面积为 S 则 S=PQ?PN=x2+4x= +3（0 x3） 所以当 x=，即 PE=时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3 【点评】：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例 定理 【题 4】(2014 年浙江绍兴第25 题 )如图，在平面直角坐标系中，直线l 平行 x轴，交 y 轴于点 A，第一象限内的点B 在 l 上，连结
14、OB，动点 P 满足 APQ=90 ，PQ 交 x 轴于点 C （1）当动点P 与点 B 重合时，若点B 的坐标是（ 2，1） ，求 PA 的长 （2）当动点P 在线段 OB 的延长线上时，若点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等，求PA： PC 的值 （3）当动点P 在直线 OB 上时，点D 是直线 OB 与直线 CA 的交点，点E 是直线 CP 与 y 轴的交点，若ACE=AEC， PD=2OD，求 P A：PC 的值 【考点】：相似形综合题； 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判 定与性质； 勾股定理； 矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质 【专题】
15、：压轴题 【分析】：（1）易得点P 的坐标是（ 2，1） ，即可得到PA 的长 （2）易证 AOB=45 ，由角平分线的性质可得PA=PC，然后通过证明ANP CMP 即可 求出 PA：PC 的值 （3） 可分点 P 在线段 OB 的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论易证 P A： PC=PN： PM，设 OA=x，只需用含x 的代数式表示出PN、PM 的长，即可求出PA： PC 的值 【解答】：解： （1）点 P 与点 B 重合，点B 的坐标是（ 2，1） ， 点 P 的坐标是（ 2，1） 第 9 页 共 59 页 PA 的长为 2 （2）过点 P 作 PMx 轴，垂足为M，过点 P
16、作 PNy 轴，垂足为N，如图 1 所示 点 A 的纵坐标与点B 的横坐标相等， OA=AB OAB=90 ， AOB=ABO=45 AOC=90 ， POC=45 PMx 轴， PNy 轴， PM=PN， ANP=CMP=90 NPM=90 APC=90 APN=90 APM =CPM 在 ANP 和 CMP 中， APN= CPM，PN=PM， ANP=CMP， ANP CMP PA=PC PA：PC 的值为 1：1 （3）若点P 在线段 OB 的延长线上， 过点 P 作 PMx 轴，垂足为M，过点 P 作 PN y 轴，垂足为N， PM 与直线 AC 的交点为F，如图 2 所示 APN= CPM， ANP=CMP， ANP CMP ACE= AEC， AC=AE APPC， EP=CP PMy 轴， 第 10 页 共 59 页 AF=CF ，OM=CM FM =OA 设 OA=x， PFOA， PDF ODA
