6 第六章 点的运动

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1、1（ 2） 刚 体刚 体（ 1） 动动 点点p 运 动 学 的 研 究 内 容运 动 学运 动 学p 运 动 学 的 研 究 对 象（ ）包 括 ：包 括 ：（ 1） 建 立 物 体 的 运 动 方 程（ 2） 分 析 物 体 运 动 的 速 度 、 加 速 度 、 角 速 度 、 角 加 速 度 等（ 3） 研 究 物 体 运 动 的 分 解 与 合 成 规 律p 参 考 体 与 参 考 系参 考 体参 考 体描 述 运 动描 述 运 动参 考 系参 考 系并 不 仅 仅 取 决 于 物 体 的 大 小绪 论绪 论精 确精 确（ ）（ ）（ ）（ ）a接 触 轨 道 之 前 ，保 龄 球 可

2、 以 看 作一 个 动 点 ；a接 触 轨 道 之 后 ，保 龄 球 在 摩 擦 力作 用 下 发 生 滚 动 ，这 时 保 龄 球 不 能再 视 为 一 点 ， 而必 须 看 作 刚 体 。p动 点 和 刚 体 的 实 例最 一 般 的 情 形 为 三 维 变 速 曲 线 运 动p 运 动 形 式a直 线 运 动 a曲 线 运 动动 点动 点及 其 描 述包 括 ： (轨 迹 )刚 体刚 体a平 行 移 动移 动 a定 轴 转 动转 动a平 面 运 动平 面 运 动第 六 章 点 的 运 动p 运 动 方 程 、 速 度 和 加 速 度rAB1.矢 量 法矢 量 法 ：运 动 方 程 ：速

3、度 ：加 速 度 ：轨 迹轨 迹点 运 动 时 ， 已 经 和 将 要 经 过 的 路 线 动 点 M的 位 置 坐 标 时 间称 为 以 矢 径 表 示 的 点 的 运 动 方 程点 的 运 动 方 程MrMrt / tr 称 为 动 点 M在 t时 间 间 隔 内 的 平 均 速 度= v*lim r / t 称 为 动 点 M在 瞬 时 t的 (瞬 时瞬 时 )速 度类 似 地/ tv 称 为 动 点 M在 t时 间 间 隔 内 的 平 均 加 速 度= a*称 为 动 点 M在 瞬 时 t的 (瞬 时瞬 时 )加 速 度rv =tdd)(trr =va =tddO表 示 方 法矢 径点

4、点 M小 结 ：动 点 速 度 矢 矢 径 对 时 间 的 一 阶 导 数动 点 加 速 度 矢 速 度 矢 对 时 间 的 一 阶 导 数定 义定 义,rtrv &rrr= ddrtva &rrr= dd 矢 径 对 时 间 的 两 阶 导 数矢 径导 数导 数积 分积 分关 系关 系速 度 和 加 速 度（ 矢 量 法 ）（ 矢 量 法 ）（ 运 动 方 程 ）（ 运 动 方 程 ） vr ar,r&r2（ 、 、 在 直 角 坐 标 系 中 的 表 示 包 括 相 互 关 系 ）vr ar,r&rtrv rr =dd2.直 角 坐 标 法直 角 坐 标 法 ：x = f1(t)kijz

5、= f3(t) y = f2(t) rzry;rx = coscoscos ；222 zyxr +=2z2y2x vvvv += vvcosvvcos;vvcos zyx = ;zyxO xyzkjir zyx +=kji tztytx += dddddd kji zyx vvv +=Mr时 间称 为 以 直 角 坐 标 表 示的 点 的 运 动 方 程点 的 运 动 方 程tx=ddixvtva rr =ddaaaa;aa zyx cos;coscos = ；22 aaaaz2yx +=kji tvtvtv += dddddd zyx kji zyx aaa +=v = kji zyx vv

6、v +讨 论 ： 若 动 点 M始 终 在 同 一 平 面 （ xy） 内 ，则 运 动 方 程 有 些 问 题由 轨 迹 方 程轨 迹 方 程 描 述（ 一 般 地 ： 从 运 动 方 程运 动 方 程 中 消 去 t）x f1(t)y f2(t)（ z 0）而 且 要 了 解 动 点 的 运 动 轨 迹运 动 轨 迹 。tv=dd xxa不 仅 要 了 解 动 点 的 运 动 方 程 ，（ x、 y、 z三 者 之 间 关 系三 者 之 间 关 系 ）小 结两 类 问 题 ： 运 动 方 程运 动 方 程积 分 问 题直 角 坐 标 法 ：转 换 为投 影计 算 方 便 ： 一 种 投 影

7、微 分 问 题tx=ddixvtv=dd xxa矢 量 矢 量 投 影 投 影其 它 投 影大 小 、 方 向速 度速 度 加 速 度加 速 度投 影p 弧 坐 标2)在 轨 迹 上 任 选 一 点 作 为 坐 标 原 点 ；3)一 般 以 点 的 运 动 方 向 作 为 正 向 。3.自 然自 然 (坐 标坐 标 )法法 ：)(tss = 称 为 以 弧 坐 标 表 示 的 点 的 运 动 方 程点 的 运 动 方 程或定 义动 点 M的 位 置 弧 长 s( )： 用 动 点 沿 已 知 轨 迹 的 运 动 方 程已 知 点 的 运 动 轨 迹s(t)Os+或 称 为 点点 沿 已 知 轨

8、 迹 的 运 动 方 程运 动 方 程1)以 运 动 轨 迹 为 坐 标 ；的 方 法 称 为 自 然 法来 确 定 动 点 位 置运 动 轨 迹关 于 密 切 面密 切 面 的 两 个 概 念 ：两 个 概 念 ： 曲 线 上 的 曲 线 在 密 切 面 内 的 弯 曲 程 度 ， 称 为 曲 线 的 曲 率 。当 P点 无 限 接 近 于PP=limb密 切 面p自 然 轴 系用 1/ 表 示 称 为 曲 率 半 径P点 时 ， 过 这 两 点 的 切线 所 组 成 的 平 面组 成 的 平 面 ，P点 的 密 切 面 。位 于 密 切 面 内 的 平 面 曲 线 。在 动 点 附 近 的

9、 无 穷 小 邻 域 内 一 段 弧 长 ， 可 以 看 作 是(P 空 间 曲 线 上 的 动 点空 间 曲 线 上 的 动 点 )nbP称 为： 通 过 P点s+s- T(切 线切 线 )b法 线 法 面 内 的b副 法 线 法 面 内b主 法 线 法 面 构 成 了 自 然 坐 标 系 的 单 位 矢 量b法 面(无 数 条 )自 然 轴 系自 然 轴 系 P点点 为 坐 标 原 点 bn直 线与 密 切 面 的 交 线与 主 法 线 垂 直 的 法 线密 切 面法面 N(主 法 线主 法 线 )B(副 法 线副 法 线 )PP 空 间 曲 线 上 的 动 点空 间 曲 线 上 的 动

10、点与 T垂 直 的 平 面的 直 角 坐 标 系直 角 坐 标 系nb法 线3自 然 轴 系 的 特 点 ：自 然 轴 系 的 特 点 ：跟 随 动 点 在n 正 向 指 向 曲 线 内 凹 的 一边 ， 曲 率 中 心 在 主 法 线上 ；轨 迹 上 运 动 。s-s+P(切 线切 线 )(主 法 线主 法 线 )(副 法 线副 法 线 )nb bn、 、 为 变 矢 量 正 向 指 向 弧 坐 标 正 向 ；b 正 向 由 确 定 。nb =p 点 的 速 度 和 加 速 度 在 自 然 轴 系 上 的 投 影点 的 速 度 和 加 速 度 在 自 然 轴 系 上 的 投 影b速 度 ：b

11、加 速 度 ：其 中 ： = tss ddddrtst )dd(dd =ttstdddddd +=tt =0limddt =2sin12 =v=v = tsddvr rABMrMOrsddsrtdd=ar= tddr = tsdd )1lim(0= srsPPb加 速 度 ：其 中 ：当 很 小 时 ， 22sin 所 以 ：得 到 ：= t0limt= 0limttt =0limddt =2sin12 = = tt 0limddtna 2dd +=t 在 密 切 面 内 ， 且 垂 直 于 ， s tsa = a + ann曲 率 1/ttsttst dddddd)dd(dd +=tva r

12、r =ddvr即 主 法 线 方 向主 法 线 方 向 。vrr=vra dd t= =an 2a an PP 0limt例 1 车 床 在 车 削 园 柱 时 的 匀 角 速 度 为 ， 螺 距 为 h。 求 ：车 刀 端 部 P在 动 坐 标 系 中 的 速 度 v、 加 速 度 a大 小 。在 动 坐 标 系 中解 ：Ra 2=hx = Rcosy = Rsinvx = Rsintvy = Rcostax = R2costay = R2sintyRxxyz P( )222 2pi hRv +=P点 沿 z轴 直 线 运 动P点 的 x、 y坐 标= Rcost= RsintP螺 距0z

13、=a；z 。2h=h 。；2( 。2hz =v (例 2 汽 车 以 匀 速 度 v = 10m/s 过 拱 桥 ， 桥 面 曲 线解解 ：xL=32mfy ddtva =fL82=22 810Lf特 别 提 醒特 别 提 醒 ：an= 0P19 习 题习 题 ： 1P20 习 题习 题 ： 42van =。2780 s/m.=y =4f x(Lx)/L2, f =1m求 ： 车 到 桥 最 高 点 时 的 加 速 度 。;Lf82=dx2yd2。02/=Lxdxtyd；x)2(LLf42 =yddx;tdyd)y1(22232+=x2正 压 力 及 摩 擦 力 。如 车 辆 快 速 下 隧

14、道 会 产 生 怎 样 情 况 ?a = an =a=an 法 向 加 速 度 会 产 生 “离 心 力 ”，因 此 ， 驾 驶 员 要 特 别 注 意 车 速 。(曲 线 平 坦曲 线 平 坦 )= yd 22dx21fL8即 减 少 轮 子 的4例 3 半 径 为 R的 车 轮 在 地 面 上 纯 滚 动 ， 轮 心 速 度 的 大小 为 u（ 常 量 ） 。 求 ： 车 轮 与 地 面 接 触 点 的 加 速 度 。xvx = & &xax =解 ：Ruaayx2,0, =0vRu &=),1,0(2 L= kkpi当因：因：MxyxO = Ryvy = & &yay =)cos1(u

15、= sin&u=sinu= cos&u=建 立 M点 的 运 动 方 程a纯 滚 动纯 滚 动u2RRuu2RRu(= R (R )cos(R= (R )sin接 触 点接 触 点点点几 何 关 系用 建 立 运 动 方 程 的 方 法1.分 析 点 的 运 动 轨 迹 ， 建 立 适 当 的 坐 标 系 ；2.根 据 已 知 的 运 动 学 条 件 和 约 束 几 何 关 系 ，3.应 用 所 选 择 的 坐 标 类 型 的 相 应 公 式 ，运 动 方 程求 解 点 的 运 动 学 问 题点 的 运 动 学 问 题 的 解 题 步 骤解 题 步 骤 ：在 任 意 时 刻 的 坐 标 表 示 为 时 间 的 函 数 ；速 度 和 加 速 度 。将 动 点计 算 动 点 的方 法nxyana动 点 M作 平 面 曲 线 运 动 ， 其 速 度 在 x轴 上 的 投 影 始 终 为 一 常 数 c。 证 明 在 此 情况 下 ， 其 加 速 度 大 小 为 。 其 中v为 M点 的 速 度