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1、专题 8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例 1.( )fx是 3 1 ( )21 3 f xxx的导函数，则( 1)f的值是。 解析：2 2 xxf，所以3211 f 答案： 3 考点二：导数的几何意义。 例2.已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是 1 2 2 yx， 则 (1)(1)ff。 解析：因为 2 1 k，所以 2 1 1 f，由切线过点(1(1)Mf，可得点 M 的纵坐标为 2 5 ，所以 2 5 1f，所以311ff 答案： 3 例 3.曲线 32 242yxxx在点(13)，处的切线方程是。 解析：443 2
2、xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切 线方程为bxy5， 将点(13)，带入切线方程可得 2b ， 所以，过曲线上点(13)， 处的切线方程为：025yx 答案：025yx 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C：xxxy23 23 ，直线kxyl :，且直线l与曲线C 相切于点 00, y x0 0 x，求直线l的方程及切点坐标。 解 析 ：直 线 过 原 点 ， 则0 0 0 0 x x y k。 由 点 00, y x在 曲 线C上 ， 则 0 2 0 3 00 23xxxy，23 0 2 0 0 0 xx x y
3、 。又263 2 xxy，在 00, y x处曲线C的切线斜率为263 0 2 00 xxxfk， 26323 0 2 00 2 0 xxxx， 整理得：032 00 xx， 解得： 2 3 0 x或0 0 x （舍），此时， 8 3 0 y， 4 1 k。所以，直线l的方程为xy 4 1 ，切点坐标是 8 3 , 2 3 。 答案：直线l的方程为xy 4 1 ，切点坐标是 8 3 , 2 3 点评： 本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上” 这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不 是必要条件。 考点四：函数的单调性。
4、例 5.已知13 23 xxaxxf在 R 上是减函数，求a的取值范围。 解析：函数xf的导数为163 2 xaxxf。对于Rx都有0 xf时，xf 为减函数。由Rxxax0163 2 可得 01236 0 a a ，解得3a。所以， 当3a时，函数xf对Rx为减函数。 （1）当3a时， 9 8 3 1 3133 3 23 xxxxxf。 由函数 3 xy在 R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。 （2）当3a时， 函数xf在 R上存在增区间。 所以， 当3a时，函数xf在 R上不是单调递减函数。 综合（ 1）（ 2）（ 3）可知3a。 答案：3a 点评：本题考查导数在函数单调性
5、中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。 例 6. 设函数 32 ( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值。 （1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的0 3x，都有 2 ( )f xc成立，求c 的取值范围。 解析： （ 1） 2 ( )663fxxaxb，因为函数( )f x在1x及2x取得极值，则有 (1)0f，(2)0f即 6630 24 1230 ab ab ， ，解得 3a ， 4b 。 （2） 由 （）可知， 32 ( )29128f xxxxc， 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx。 当(01)x，时，( )0fx；当(
6、12)x，时，( )0fx；当(2 3)x，时，( )0fx。所以， 当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc。则当0 3x， 时，( )f x的最大值为(3)98fc。因为对于任意的0 3x，有 2 ( )f xc恒成立， 所以 2 98cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)U，。 答案：（ 1）3a，4b；（ 2）(1)(9)U，。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤： 求导数xf ； 求0 xf的根；将0 xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。 考点六：函
7、数的最值。 例 7. 已知a为实数，axxxf4 2 。求导数xf ； （2）若01f，求xf 在区间2,2上的最大值和最小值。 解析： （1）axaxxxf44 23 ，423 2 axxxf。 （2）04231af， 2 1 a。14343 2 xxxxxf 令0 xf， 即0143xx， 解得1x或 3 4 x， 则xf和xf 在区间2,2 上随x的变化情况如下表： x 2 1,2 1 3 4 , 1 3 4 2, 3 4 2 xf 0 0 xf 0 增函数极大值减函数极小值增函数0 2 9 1f， 27 50 3 4 f。所以，xf在区间2 ,2上的最大值为 27 50 3 4 f，最
8、 小值为 2 9 1f。 答案： （1）423 2 axxxf； （2） 最大值为 27 50 3 4 f， 最小值为 2 9 1f。 点评： 本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值， 要先求 出函数xf在区间ba,上的极值， 然后与af和bf进行比较， 从而得出函数的最大最 小值。 考点七：导数的综合性问题。 例 8. 设函数 3 ( )f xaxbxc (0)a为奇函数，其图象在点(1, (1)f处的切线与直线 670 xy垂直，导函数( )fx的最小值为12。（ 1）求a，b，c的值； （2）求函数( )f x的单调递增区间，并求函数( )f x在1,3上的最大值
9、和最小值。 解析：（1）( )f x为奇函数，()( )fxfx，即 33 axbxcaxbxc 0c， 2 ( )3fxaxb的最小值为12，12b，又直线670 xy 的斜率为 1 6 ，因此，(1)36fab，2a，12b，0c （2） 3 ( )212f xxx。 2 ( )6126(2)(2)fxxxx ，列表如下： x (,2) 2 (2,2) 2 ( 2,) ( )fx 00 ( )f x 增函数极大减函数极小增函数 所 以 函 数( )f x的 单 调 增 区 间 是(,2)和(2,)， ( 1)10f， (2)82f， (3)18f， ( )fx在 1,3上 的 最 大 值
10、是(3)18f， 最 小 值 是 (2)82f。 答案：（1）2a，12b，0c； （2）最大值是(3)18f，最小值是( 2)8 2f。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。 导数强化训练 （一）选择题 1. 已知曲线 2 4 x y的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为（A ） A1 B2 C 3 D4 2. 曲线13 23 xxy在点（ 1， 1）处的切线方程为（B ） A43xyB23xyC34xyD54xy 3. 函数) 1()1( 2 xxy在1x处的导数等于（ D ） A1 B2 C3 D4 4. 已知函数)
11、(,31)(xfxxf则处的导数为在的解析式可能为（A ） A)1(3)1()( 2 xxxfB)1(2)(xxf C 2 )1(2)(xxfD1)(xxf 5. 函数93)( 23 xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（ D ） （A）2 （B）3 （C） 4 （D）5 6. 函数 32 ( )31f xxx是减函数的区间为( D ) （）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2) 7. 若函数cbxxxf 2 的图象的顶点在第四象限，则函数xf 的图象是（A ） 8. 函数 23 1 ( )2 3 f xxx在区间0 , 6上的最大值是（A） A 32 3 B 16 3
12、C12D9 9. 函数xxy3 3 的极大值为m，极小值为n，则nm为（A ） A0 B1 C 2 D4 10. 三次函数xaxxf 3 在,x内是增函数，则（A ） A0aB0aC1aD 3 1 a 11. 在函数xxy8 3 的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐标为整数的点的个数 是（D ） A3 B2 C1 D 0 12. 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数 )(xf在开区间),(ba内有极小值点（A ） A1 个B2 个 C3 个D 4 个 （二）填空题 13. 曲 线 3 xy在 点1 , 1处 的 切 线 与x轴 、
13、直 线2x所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 _。 14. 已 知 曲 线 3 14 33 yx， 则 过 点(2,4)P“ 改 为 在 点(2, 4)P” 的 切 线 方 程 是 _ x y o A x y o D x y o C x y o B x? a b x y )(fy O 15. 已知 () ( ) n fx是对函数( )f x连续进行n 次求导，若 65 ( )fxxx，对于任意xR， 都有 ( ) ( ) n fx=0，则 n 的最少值为。 16. 某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x吨，运费为4 万元次，一年的总存储 费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储
14、费用之和最小，则x吨 （三）解答题 17. 已知函数cbxaxxxf 23 ，当1x时，取得极大值7；当3x时，取得极 小值求这个极小值及cba,的值 18. 已知函数.93)( 23 axxxxf （1）求)(xf的单调减区间； （2）若)(xf在区间 2，2. 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 19. 设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf 23 )()(与的图象的一个公共点， 两函数的图象在点P处有相同的切线。 （1）用t表示cba,； （2）若函数)()(xgxfy在（ 1，3）上单调递减，求 t的取值范围。 20. 设函数 32 ()fxxbxcx xR，已知(
15、 )( )( )g xf xfx是奇函数。 （1）求b、c的值。 （2）求( )g x的单调区间与极值。 21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问 该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 22. 已知函数 3211 ( ) 32 f xxaxbx在区间 11)，(13，内各有一个极值点 （1）求 2 4ab的最大值； （1）当 2 48ab时，设函数( )yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，若l在点A处穿 过函数( )yf x的图象（即动点在点A附近沿曲线( )yf x运动，经过点A时， 从l的一侧进入另一侧），
16、求函数( )f x的表达式 强化训练答案： 1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A （四）填空题 13. 3 8 14. 044xy15. 7 16. 20 （五）解答题 17. 解：baxxxf23 2 。 据题意， 1，3 是方程023 2 baxx的两个根，由韦达定理得 3 31 3 2 31 b a 9,3 ba cxxxxf93 23 71f， 2c 极小值252393333 23 f 极小值为 25， 9,3 ba ， 2c 。 18. 解：（ 1）.963)( 2 xxxf令0)(xf，解得, 31xx或 所以函数)(xf的单调递减区间为)., 3(),1,( （2）因为 ,218128)2(aaf,2218128)2(aaf 所以 ).2()2(ff 因为在（ 1，3）上 0)(xf ，所以 )(xf 在1，2 上单调递增，又由 于)(xf在 2， 1 上单调递
