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1、第十讲抛物线 一般地说来，我们称函数cbxaxy 2 (a、b、c为常数，0a)为x的二次函数， 其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1a、 b、c的符号决定抛物线的大致位置； 2抛物线关于 a b x 2 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a相关，抛物线在顶点 ( a b 2 ， a bac 4 4 2 )处取得最值； 3抛物线的解析式有下列三种形式： 一般式：cbxaxy 2 ； 顶点式：khxay 2 )(； 交点式：)( 21 xxxxay，这里 1 x 、 2 x 是方程0 2 cbxax的两个实根 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的
2、解析式是解与抛物线相关问题的关键 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应 积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息 【例题求解】 【例1】二次函数cbxxy 2 的图象如图所示，则函数值0y时，对应x的取值范围 是 思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一 1，一4)，可求出b，c值，先求出0y时，对 应x的值 【例 2】 已知抛物线cbxxy 2 (a0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上) 5已知
3、1a，点 (1a， 1 y )，(a， 2 y )，(1a， 3 y )都在函数 2 xy的图象上，则( ) A321yyyB231yyyC123yyyD312yyy 6把抛物线cbxxy 2 的图象向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解 析式为53 2 xxy，则有 ( ) A3b，7cB9b，15cC3b，c3 D9b，21c 7二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示，则点(ba，ac)所在的直角坐标系是( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 8周长是4m 的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是( ) 9阅读下面的文字后，回答问题： “已知：
4、二次函数cbxaxy 2 的图象经过点A(0，a)，B(1，-2) ，求证： 这个二次函数图象的对称轴是直线2x 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 (1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不 能，说明理由 (2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整 10如图， 一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平 距离为 2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米 (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高1
5、. 8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手， 问： 球出手时， 他跳离地面的高度是多少? 11如图，抛物线和直线kkxy4(0k)与x轴、 y 轴都相交于A、B 两点，已知抛物线 的对称轴1x与x轴相交于C 点，且 ABC 90，求抛物线的解析式 12抛物线cbxaxy 2 与x轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，若 ABC 是直角三角 形，则ac 13如图，已知直线32xy与抛物线 2 xy相交于A、 B 两点， O 为坐标原点，那么 OAB 的面积等于 14已知二次函数cbxaxy 2 ，一次函数 4 ) 1( 2 k xky若它们的图象对于任意的实 数是都只有一个公共点
6、，则二次函数的解析式为 15如图，抛物线cbxaxy 2 与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且 ABE 是等腰直角 三角形， AEBE，则下列关系式中不能总成立的是( ) Ab=0 BSADCc2Cac一 1 Da+c0 16由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数cbxxy 2 的图象过 点(1，0)求证：这个二次函数的图象关于直线2x对称 根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( ) A过点 (3， 0) B顶点是 (2，一 2) C在x轴上截得的线段长为2 D与 y 轴的交点是 (0，3) 17已知 A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数5 2 bxax
7、y(0a)的图象上两 21 xxx 时，二次函数的值是( ) A5 2 2 a b B5 4 2 a b C 2002 D5 18某种产品的年产量不超过1000 吨，该产品的年产量(单位：吨 )与费用 (单位：万元 )之间 函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图 1 所示 )；该产品的年销售量(单位：吨 )与 销售单价 (单位：万元吨)之间函数的图象是线段(如图 2 所示 )若生产出的产品都能在当 年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润销售额一费用) 19如图，已知二次函数22 2 xy的图象与x轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左边 )，与 y轴交于点C，直线
8、： xm(m1) 与x轴交于点D (1)求 A、B、C 三点的坐标； (2)在直线 xm (m1)上有一点P (点 P 在第一象限 )，使得以 P、D、B 为顶点的三角形与 以 B、C、 O 为顶点的三角形相似，求P点坐标 (用含 m 的代数式表示)； (3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线22 2 xy上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形 ?如果存在这样的点Q，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由 20已知二次函数2 2 xxy及实数2a，求 (1)函数在一2xa 的最小值； (2)函数在 axa+2 的最小值 21如图，在直角坐标：xO y 中，二次函数图象的顶点坐标
9、为C(4，3)，且在x轴上截 得的线段 AB 的长为 6 (1)求二次函数的解析式； (2)在 y 轴上求作一点P (不写作法 )使 PA+PC 最小，并求P点坐标； (3)在x轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B 三点为顶点的三角形与 ABC 相似 ?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由 22某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结 论一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a 0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是 发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3 的顶点的横坐标减少 a 1 ，纵坐标增加，得到 A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加 a 1 ，纵坐标增加 a 1 ，得到 B 点的坐标，则A、B 两点 一定仍在抛物线y=ax2+2x+3 上 (1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax 2+2x+3 的顶点 所在直线的解析式； (2)问题 (1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由； (3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般特殊一般”的思想，你还能发现什么? 你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由 参考答案
