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1、第十讲抛物线 一般地说来,我们称函数cbxaxy 2 (a、b、c为常数,0a)为x的二次函数, 其图象为一条抛物线,与抛物线相关的知识有: 1a、 b、c的符号决定抛物线的大致位置; 2抛物线关于 a b x 2 对称,抛物线开口方向、开口大小仅与a相关,抛物线在顶点 ( a b 2 , a bac 4 4 2 )处取得最值; 3抛物线的解析式有下列三种形式: 一般式:cbxaxy 2 ; 顶点式:khxay 2 )(; 交点式:)( 21 xxxxay,这里 1 x 、 2 x 是方程0 2 cbxax的两个实根 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出抛物线的
2、解析式是解与抛物线相关问题的关键 注:对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应 积极捕捉、创造对称关系,以便从整体上把握问题,由抛物线捕捉对称信息的方式有: (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息; (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息 【例题求解】 【例1】二次函数cbxxy 2 的图象如图所示,则函数值0y时,对应x的取值范围 是 思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一 1,一4),可求出b,c值,先求出0y时,对 应x的值 【例 2】 已知抛物线cbxxy 2 (a0,其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上) 5已知
3、1a,点 (1a, 1 y ),(a, 2 y ),(1a, 3 y )都在函数 2 xy的图象上,则( ) A321yyyB231yyyC123yyyD312yyy 6把抛物线cbxxy 2 的图象向右平移3 个单位,再向下平移2 个单位,所得图象的解 析式为53 2 xxy,则有 ( ) A3b,7cB9b,15cC3b,c3 D9b,21c 7二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示,则点(ba,ac)所在的直角坐标系是( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 8周长是4m 的矩形,它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是( ) 9阅读下面的文字后,回答问题: “已知:
4、二次函数cbxaxy 2 的图象经过点A(0,a),B(1,-2) ,求证: 这个二次函数图象的对称轴是直线2x 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 (1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式?若能,写出求解过程;若不 能,说明理由 (2)请你根据已有信息,在原题中的横线上,填加一个适当的条件,把原题补充完整 10如图, 一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平 距离为 2.5 米时,达到最大高度3.5 米,然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米 (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式; (2)该运动员身高1
5、. 8 米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 米处出手, 问: 球出手时, 他跳离地面的高度是多少? 11如图,抛物线和直线kkxy4(0k)与x轴、 y 轴都相交于A、B 两点,已知抛物线 的对称轴1x与x轴相交于C 点,且 ABC 90,求抛物线的解析式 12抛物线cbxaxy 2 与x轴交于 A、B 两点,与y 轴交于点C,若 ABC 是直角三角 形,则ac 13如图,已知直线32xy与抛物线 2 xy相交于A、 B 两点, O 为坐标原点,那么 OAB 的面积等于 14已知二次函数cbxaxy 2 ,一次函数 4 ) 1( 2 k xky若它们的图象对于任意的实 数是都只有一个公共点
6、,则二次函数的解析式为 15如图,抛物线cbxaxy 2 与两坐标轴的交点分别是A,B,E,且 ABE 是等腰直角 三角形, AEBE,则下列关系式中不能总成立的是( ) Ab=0 BSADCc2Cac一 1 Da+c0 16由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数cbxxy 2 的图象过 点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线2x对称 根据现有信息,题中的二次函数不具有的性质是( ) A过点 (3, 0) B顶点是 (2,一 2) C在x轴上截得的线段长为2 D与 y 轴的交点是 (0,3) 17已知 A(x1,2002),B(x2,2002)是二次函数5 2 bxax
7、y(0a)的图象上两 21 xxx 时,二次函数的值是( ) A5 2 2 a b B5 4 2 a b C 2002 D5 18某种产品的年产量不超过1000 吨,该产品的年产量(单位:吨 )与费用 (单位:万元 )之间 函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图 1 所示 );该产品的年销售量(单位:吨 )与 销售单价 (单位:万元吨)之间函数的图象是线段(如图 2 所示 )若生产出的产品都能在当 年销售完,问年产量是多少吨时,所获毛利润最大?(毛利润销售额一费用) 19如图,已知二次函数22 2 xy的图象与x轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左边 ),与 y轴交于点C,直线
8、: xm(m1) 与x轴交于点D (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)在直线 xm (m1)上有一点P (点 P 在第一象限 ),使得以 P、D、B 为顶点的三角形与 以 B、C、 O 为顶点的三角形相似,求P点坐标 (用含 m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线22 2 xy上是否存在一点Q,使得四边形ABPQ 为平行四边形 ?如果存在这样的点Q,请求出m 的值;如果不存在,请简要说明理由 20已知二次函数2 2 xxy及实数2a,求 (1)函数在一2xa 的最小值; (2)函数在 axa+2 的最小值 21如图,在直角坐标:xO y 中,二次函数图象的顶点坐标
9、为C(4,3),且在x轴上截 得的线段 AB 的长为 6 (1)求二次函数的解析式; (2)在 y 轴上求作一点P (不写作法 )使 PA+PC 最小,并求P点坐标; (3)在x轴的上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B 三点为顶点的三角形与 ABC 相似 ?如果存在,求出Q 点的坐标;如果不存在,请说明理由 22某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要结 论一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a 0),当实数a 变化时,它的顶点都在某条直线上;二是 发现当实数a 变化时,若把抛物线y=ax 2+2x+3 的顶点的横坐标减少 a 1 ,纵坐标增加,得到 A 点的坐标;若把顶点的横坐标增加 a 1 ,纵坐标增加 a 1 ,得到 B 点的坐标,则A、B 两点 一定仍在抛物线y=ax2+2x+3 上 (1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax 2+2x+3 的顶点 所在直线的解析式; (2)问题 (1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由; (3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般特殊一般”的思想,你还能发现什么? 你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由 参考答案