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1、数学（文）学科期末质量调查试卷 第卷（共 40 分） 一、选择题：本大题共8 个小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2 |60Ax xx ，| 31Bxx，则AB等于（） A 2,1)B( 2,1C 3,3)D( 3,3 2. 一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2 个，这 6 个球除颜色外完全相同，从中摸出 2 个球，则这2 个球中至少有1 个是红球的概率是（） A 1 3 B 2 5 C 8 15 D 3 5 3. 如图的三视图所对应的的立体图形可以是（） 4. 若双曲线 2 2 1 3 x y的左焦点在抛物线
2、 2 2ypx的准线上，则p的值为（） A2 B3 C4 D4 2 5. “1x”是“ln(1)0 x”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条 件 6. 已知( )f x和( )g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 32 ( )( )23f xg xxx， 则(2)(2)fg等于（） A9B7C7D9 7. 如图，在平行四边形ABCD中， 3 BAD，2AB，1AD，若M、N分别是边 BC、CD上的点，且满足 BMNC BCDC ， 其中0,1， 则AMAN的取值范围是 （ ） A0,3B1,4C2,5D1,7 8. 设函数( )4cos()sin2cos
3、(2) 6 f xxxx， 则函数( )f x的最大值和最小值分别为 （） A13 和11B8和6C1和3D3和1 第卷（共 110 分） 二、填空题（每题5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9. 若复数12zi，则复数 1 z 的虚部为 10. 已知函数 1 ( )ln x f xx x ，( )fx为( )fx的导函数，则(2)f的值为 11. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为 12. 直线3ykx(0)k与圆 22 (3)(2)4xy相交于A、B两点，若| 2 3AB， 则k的值为 13. 设0ab，则 2 1 () a b ab 的最小值是 14. 已知函数
4、 2 2 ,0, ( ) 2 ,0, x x f x xx x 若关于x的方程 1 ( ) 2 f xxm恰有三个不相等的 实数解，则m的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . ） 15. （本小题满分13 分） 在ABC中，若2a，7bc， 1 cos 4 B （1）求b的值； （2）求ABC的面积 16. （本小题满分13 分） 某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所 需资金和场地的数据如下表所示： 现有资金12 万元，场地400 平方米，生产每吨A种产品可获利润3 万元；生产每吨B种
5、产 品可获利润2 万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数 （1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润 17. （本小题满分13 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，D为BC的中点，3AB， 1 4ACAA，5BC （1）求证： 1 ABAC； （2）求证： 1 / /AB平面 1 ADC； （3）求直三棱柱 111 ABCABC的体积 18. （本小题满分13 分） 设数列 n a满足条件 1 1a， 1 1 3 2 n nn aa （1）求数列 n a的通项公式； （2
6、）若 n n b n a ，求数列 n b的前n项和 n S 19. （本小题满分14 分） 已知椭圆E： 22 22 1 xy ab （ 0ab ）经过点(2,3)A，离心率 1 2 e （1）求椭圆E的方程； （2）若 12 F AF的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一 点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标 20. （本小题满分14 分） 已知函数 322 1 ( )23 3 f xxaxa x（aR且0a） （1）当1a时，求曲线( )yfx在( 2,( 2)f处的切线方程； （2）当0a时，求函数( )yf x的单调区间和极值； （3）当2 ,22xaa时
7、，不等式|( ) | 3fxa恒成立，求a的取值范围 和平区 2016-2017 学年度第一学期高三年级 数学（文）学科期末质量调查试卷答案 一、选择题 1-5:CDACB 6-8:DCD 二、填空题 9. 2 5 10. 1 4 11.120 12. 3 4 13.4 14. 9 (0,) 16 三、解答题 15. 解： （1）由已知条件2a，7cb， 1 cos 4 B， 运用余弦定理， 222 cos 2 acb B ac ， （2）(0,)B， 2 115 sin1cos1 164 BB 而2a，73cb， 由ABC的面积公式 1 sin 2 ABC SacB，得 1153 15 23
8、 244 ABC S 16. 解： （1）由已知，x，y满足的数学关系式为： 2312, 10050400, 0, 0, xy xy x y 即 2312, 28, 0, 0, xy xy x y 该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分： （2）设利润为z万元，则目标函数为32zxy 将其变形为 3 22 z yx，这是斜率为 3 2 ，随z变化的一族平行直线， 2 z 为直线在y轴上的截距，当 2 z 取最大值时，z的值最大 因为x，y满足约束条件， 所以当直线32zxy经过可行域上的点M时，截距 2 z 最大，即z最大， 解方程组 2312, 28, xy xy 得点M的坐标(
9、3,2)， max 3 32213z 答：生产A种产品 3 吨、B种产品 2 吨时，利润最大为13 万元 17. （1）证明：在ABC中，3AB，4AC，5BC， 222 ABACBC， ABAC 三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱， 1 AA平面ABC， AB平面ABC， 1 ABAA， 1 ACAAA， AB平面 1 AAC， 1 AC平面 1 AAC， 1 ABAC （2）证明：设 1 AC与 1 AC交于E点，连接ED 在 1 ABC中，D为BC的中点，E为 1 AC的中点， 1 / /A BED， ED平面 1 ADC， 1 AB平面 1 ADC， 1 / /A B平面 1 AD
10、C （3）解：ABC的面积 1 346 2 S， 直三棱柱 111 ABCABC的高4h， 直三棱柱 111 ABCABC的体积6424VSh 18. 解： 1 1a， 1 1 3 2 n nn aa， 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 012 1323 232 n 1 322 n （2n） 当1n时， 1 1 3221，式子也成立， 数列 n a的通项公式 1 3 22 n n a （2） 1 322 n nn bnann，即 0 1 3 1 22b， 1 2 3 224b， 2 3 3 3 26b，, 123nn Sbbbb 0121 3(1 222322)(2462
11、) n nn 设 0121 1 2223 22 n n Tn， 则 221 2 1 222(1) 22 nn n Tnn， ，得 0121 (2222)2(21)2 nnnn n Tnn， (1) 21 n n Tn， 3(1) 232(1 23) n n Snn3(1) 2(1)3 n nn n 19. 解： （1）由椭圆E经过点(2,3)A，离心率 1 2 e， 可得 22 22 2 49 1, 1 , 4 ab ab a 解得 2 2 16, 12, a b 椭圆E的方程为 22 1 1612 xy （2）由（ 1）可知 1( 2,0) F， 2(2,0) F， 则直线 1 AF的方程为
12、 3 (2) 4 yx，即3460 xy， 直线 2 AF的方程为2x， 由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数 设( , )P x y为直线l上任意一点， 则 22 |346| |2| 3( 4) xy x ，解得210 xy或280 xy（斜率为负数，舍去） 直线l的方程为210 xy 设过C点且平行于l的直线为20 xym， 由 22 1, 1612 20 xy xym， 整理得 22 19164(12)0 xmxm， 由 22 (16 )4 19 4(12)0mm，解得 2 76m， 因为m为直线20 xym在y轴上的截距， 依题意，0m，故2 19m. C点的坐标为 16 19
13、 16 19 (, 1919 ） 20. 解： （1）当1a时， 32 1 ( )23 3 fxxxx， 2 ( )43fxxx， 82 ( 2)86 33 f，( 2)4831f 2 ( 2) 3 yx，即所求切线方程为3380 xy （2） 22 ( )43()(3 )fxxaxaxaxa 当0a时，由( )0fx，得3axa；由( )0fx，得xa或3xa 函数( )yf x的单调递增区间为( ,3 )aa，单调递减区间为(, )a和(3 ,)a， (3 )0fa， 3 4 ( ) 3 f aa， 当0a时，函数( )yf x的极大值为0，极小值为 3 4 3 a （3） 2222 ( )43(2 )fxxaxaxaa， ( )fx在区间2 ,22aa上单调递减， 当2xa时， 2 max ( )fxa，当22xa时， 2 min ( )4fxa 不等式|( ) | 3fxa恒成立， 2 2 0, 3 , 43 , a aa aa 解得13a， 故a的取值范围是1,3
