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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第卷 一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数i(2i)z（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若集合 A=xR| 2 10axax其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或 4 3. 3 sincos 23 若，则（） A. 2 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 2
2、 3 4. 集合 A=2,3,B=1,2,3,从 A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4 的概率是 A 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 6 5. 总体编号为01，02， 19，20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取5 个个体，选取方法是 从随机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5 个个体的 编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 6. 下列选项中，使
3、不等式x 1 x 2 x成立的 x 的取值范围是（） A.（， 1） B. （ 1，0） C.（ 0，1） D.（ 1，+） 7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是 A.S 8 B. S9 C. S10 D. S 11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 是 否是 否 开始1,0is1ii22si 21si 输出i结束 i 是奇数 A.200+9 B. 200+18 C. 140+9 D. 140+18 9. 已知点 A（2，0） ，抛物线C：x 2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交 于点 N，则 |FM|：|
4、MN|= A.2:B.1:2 C. 1: D. 1:3 10.如图。已知l1l2，圆心在 l1上、半径为1m的圆 O 在 t=0 时与 l2相切于点A，圆 O 沿 l1以 1m/s的 速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令 y=cosx，则 y 与时间 t（0 x1，单位： s）的函数y=f （t）的图像大致为 二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。 11.若曲线1yx（R）在点（ 1，2）处的切线经过坐标原点，则=。 12. 某住宅小区计划植树不少于100 棵，若第一天植2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的2 倍，则 需要的最少天数n（nN*）等于。 13
5、设 f（ x）=sin3x+cos3x ，若对任意实数x 都有 |f （x）| a，则实数a的取值范围是。 14. 若圆 C经过坐标原点和点（4，0） ，且与直线y=1 相切，则圆C的方程是。 15. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB/CD, 则直线 EF与正方体的六个面 所在的平面相交的平面个数为。 三解答题本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12 分）正项数列 n a满足 2 (21)20 nn anan。 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）令 1 (1) n n b na ，求数列 n b的前 n
6、 项和 Tn。 17.（本小题满分12 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b， c，已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. （1）求证：a，b， c 成等差数列； （2） 若 C= 2 3 ，求 a b 的值。 18 （本小题满分12 分） 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O 为起点，再从A1,A2,A 3,A4,A5,A6 （如图）这6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若 X0 就 去打球，若X=0 就去唱歌，若Xb0) 的离心率，a+b=3 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 如图， A,B
7、,D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线DP交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP于点 M，设 BP的斜率为 k，MN 的斜率为m，证明 2m-k 为定值。 21 （本小题满分14 分） 设函数 1 ,0 ( ) 1 (1),1 1 xxa a f x x ax a ,a为 常数且a（ 0，1） . （1）当a= 1 2 时，求 f （ f（ 1 3 ）； （2）若 x0满足 f （f （x0） = x0,但 f （x0） x0，则称 x0为 f （x）的二阶周期点，证明函数( )f x 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2； （3）对于（ 2）中 x
8、1， x2，设 A（x1,f （f （ x1）， B（x2,f （f （x2） ,C( 2 a,0) ，记 ABC 的面积为s（a），求 s（a）在区间 1 3 , 1 2 上的最大值和最小值。 参考答案 一、选择题 1D 解： Z-2i-i 2 =1-2i 对应点这（ 1，-2 ）在第四象限 2A 01 0a当时， 不合，当 a0时，0，则 a=4 3C 2 11 cos12sin12 233 4C 解：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（ 3，1）故只能选C 5D 解：从第5 列和第 6 列选出的两位数依次为65，72，08， 02，63，14，07，02，43，69，97， 28
9、，01，98，但编号必须不大于20 的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选 D 6A 解：令 x=-2, 不等式成立，只能选A。 7B 解：依次运行i=1,2,3,4,时 s=0，5，8，9 若输出i=4, 则表示s=8 时运行是， s=9 运行否，故 选 B 8A 解：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5 的长方体上面是半径为3 高为 2 的半个圆 柱。 9C 解：依题意可得AF 所在直线方程为1 2 x y代入x 2=4y 得35 2 y，又 |FM| ： |MN|=（1- y） ： （1+y） 1: 10B 解：法 1：取特值x=0 时 t=0, 则 y=1
10、排除 A，D，取 2 x时 2 10.30.5 2 t, 选 B 法 2：依题意可知cos1 2 x t，则 22 cos2cos12(1)1(01) 2 x yxtt选 B 112 解： 1 yx，则k，故切线方程yx过点（ 1，2）解得2 126 解：直接计算2+4+8+16+32+64128 得 n=6, 或解 231 222.222100 nn 得 n 为 6. 132a解： ( )3sin3cos32sin(3)f xxxx 得|( ) | 2f x故2a 14 22325 (2)() 24 xy解：设圆心坐标为（x，y）, 半径为r ，则x=2, 又 222 2(1)rr 故 r=
11、 5 2 ，则 3 2 y。 154 解：设 CD的中点为M ，连结EM ，FM易证平面EFM平面 ，则 EF 与平面 平行，不会相交， 故 EF 只与其余四个面相交。 16解：(21)20nn 2 nnnn 解：（1）由aa得（a -2n)(a+1）=0 由于 an是正项数列，则2n n a。 （2）由（ 1）知2n n a，故 111 11 () (1)(1)(2 )2(1) n n b nannnn 11111111 (1.)(1) 222312122 n T nnnn n 17解：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1. 故 sinAsinB+sinB
12、sinC=2sin2B 因为 sinB 不为 0，所以 sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b, 所以 a，b，c 成等差数列 （2）由余弦定理知 222 2coscabacC得 2222 (2)2cos 3 baabac化简得 3 5 a b 18解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1 。 （2）数量积为 -2 的只有 25 OAOA一种 数量积为 -1 的有 15 OAOA， 1624263435 ,OAOA OAOA OAOA OAOA OAOA六种 数量积为0 的有 13143646 ,OAOA OAOA OAOA OAOA四种 数量积为1 的有 1
13、2234556 ,OAOA OAOA OAOA OAOA四种 故所有可能的情况共有15 种。 所以小波去下棋的概率为 1 7 15 p 因为去唱歌的概率为 2 4 15 p，所以小波不去唱歌的概率 2 411 11 1515 pp 19解 . （1）证明：过B作 CD的垂线交 CD于 F，则 2,1,2BFADEFABDEFC 在36Rt BFEBERt BFCBC中，中， . 在 222 9BCEBEBCEC中，因为 ，故BEBC 由 1111 BBABCDBEBBBEBBC C平面，得，所以平面 （2） 1 11 1111 1 2 3 A B C EA B CVAAS三棱锥的体积 22 1
14、11111111 2Rt A D CACA DD C在中，=3， 同理， 22 11 2ECECCC=3， 222 11 3EAADEDAA=2 因此 11 5 AC E S3。设点 B1 到平面 11 EAC的距离为 d，则 111 BEAC三棱锥的体积 11 1 5 3 AEC VdSd，从而 10 52, 5 dd 20解： 2222 222 33 1 24 ccabb aaaa (1 ）因为 e=故所以2ab再由 a+b=3 得 a=2,b=1, 2 2 1 4 x Cy椭圆的方程为： 1) 2 （2）因为 B（2，0）， P不为椭圆顶点，则BP 方程为 y=k(x-2)(k0且k 将
15、代入 2 2 1 4 x y，解得 2 22 824 (,) 4141 kk P kk 又直线 AD的方程为 1 1 2 yx 与联立解得 424 (,) 21 21 kk M kk 由 2 22 824 (0,1),(,),( ,0) 4141 kk DPN x kk 三点共线可角得 42 (,0) 21 k N k 所以 MN的分斜率为m=2 1 4 k ，则 211 2 22 k mkk（定值） 21解：（1）当 1 2 a=时， 121222 ( ),( )( )2(1) 333333 ffff （ 2 2 2 2 2 2 1 ,0 1 (), (1) 2) ( ) 1 (),1 (1
16、) 1 (1),11 (1) xxa a axaxa aa ff x xa axaa a x aax aa 当 2 0 xa时，由 2 1 xx a 解得 x=0, 由于 f （0）=0, 故 x=0 不是 f （x）的二阶周期点； 当 2 axa时由 1 () (1) axx aa 解得 2 1 a x aa 2 (, ),aa 因 2222 11 () 1111 aaa f aaaaaaaaa 故 2 1 a x aa 是 f （x）的二阶周期点； 当 2 1axaa时，由 2 1 () (1) xax a 解得 1 2 x a 2 ( ,1)a aa 因 1111 ()(1) 2122 f aaaa 故 1 2 x a 不是 f （x）的二阶周期点； 当 2 11aa
