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1、2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷（2013.07 ） 满分 100 分考试时间： 120 分 第一部分选择题（每小题3分，共 60 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合0,1A， 2 |1 Bx x，那么集合AB等于（） A. 1 B. 0,1 C. 1,1 D. 1,0,1 2.不等式 2 2xx的解集为（） A. |2x x B. |0 x x C. |02xx D. |0 x x或2x 3.已知向量 ( 2,3)OA uu r ， ( 1, 2)OB uu u r ，那么 AB uu u r 等于（） A. (3,5) B. （3， 5
2、）C. （1， 1） D. （3,5 ） 4.口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球2 个、黑色小球1 个，现从口袋中随机摸出 两个小球，那么恰好摸到1 个红色小球和1个黑色小球的概率是（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 5.如果0 x，那么 1 4x x 的最小值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.如果直线20 xy与直线5ykx平行，那么实数k的值为（） A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 7.在等差数列 n a中，已知 1 8a， 5 0a，那么 4 S等于（） A. 44 B. 40 C. 20 D. 12 8.在函数cosyx，y
3、x，e x y，lgyx中，奇函数是（） A. cosyx B. yx C. e x y D. lgyx 9.要得到函数sin() 6 yx的图象，只要将函数sinyx的图象（） A. 向左平移 6 个单位 B. 向右平移 6 个单位 C. 向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3 个单位 10. 如图，在三棱锥D-ABC中，点 E,F,G 分别在侧棱DA,DB,DC上，且平面EFG 平面 ABC. 给出下列三个结论： 1 EF AB;2 BC 平面 EFG;3 EG 平面 ABC,其中成立的结论的个数 是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知函数 ( )log(0,1)
4、a f xx aa在区间1,4上最大值是2，那么a等于（） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 12.一个几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 13.在ABC中，:2:7 :3AC CB AB，那么A等于（） A. 30B. 60 C. 30或 150 D. 60或 120 14. 11 sin 3 的值为（） A. 3 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 3 2 15.函数sincosyxx的一个单调递增区间可以为（） A. 0, 2 B. ,0 2 C. , 44 D. , 22 16.当,x y满足条件 1, 30,
5、 230, x xy xy 时，目标函数zxy的最大值是（） A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 17. 为了解某停车场中车辆停放的状况，在工作日（周一至周五）期间随机选取了一天，对 G F E D C B A 该停车场内的1000 辆汽车的停放时间进行了统计分析，绘制出车辆停放时间的频率分布直 方图（如图所示） ，那么这1000 辆汽车中停放时间不多于 4 小时的汽车有（） A. 700辆 B. 350辆 C. 300辆 D. 70辆 18. 在 2005 年到 2010 年的“十一五”期间，党中央、国务院坚持优先发展教育，深入实施 科教兴国战略，各种形式的高等教育在校学生总规模由230
6、0 万人增加到3150 万人 . 这五年 间平均增长率x应满足的关系式是（） A. 4 2300805x B. 5 2300805x C. 4 2300(1)3105x D. 5 2300(1)3105x 19. 如果函数 1 2, 2 ( ) 1 ln, 2 xa x f x xx 恰有一个零点，那么实数a的取值范围是（） A. a0 B. a 1 C. a 1 D. a0 20. 已知向量(1,1)a，| | 1OM ,2ON a，其中O为坐标原点，那么MN a的最小值 为（） A. 21 B. 2 C. 22 D. 2 第二部分非选择题（共40 分） 一、填空题（共4 小题，每小题3 分
7、，共 12 分） 21. 经过两点A（ 1,1 ） ，B(2，3) 的直线的斜率为 . 22. 已知向量(1,2)a，(2,)kb，且2ab，那么实数k= . 23.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值为 . 频率 组距 O 0.0490 0.0975 0.2525 2 4 6 8 10 12 14 时间（小时） 0.0320 24. 已知数列 n a的通项公式为sin 2 n n an，记前n项和为 n S，那么 2013 S= . 二、解答题（共4 个小题，共28 分） 25. （本小题满分7 分） 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， BB1底面 ABC,且 AB=AC,D是
8、 BC的中点 . (I) 求证： AD 平面 BCC1B1; (II)求证： A1C平面 AB1D. 26. （本小题满分7 分） 已知函数( )3sin 2cos2 ,f xxx xR. （I ）求函数( )f x的最小正周期； （II ）求函数( )f x在区间0, 2 上最大值和最小值. 27. （本小题满分7 分） 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆经过点A （ 1,0 ）. (I) 求圆O的方程； (II)设 M是直线340 xy上的一个动点，ME,MF是圆O的两条切线，切点为E,F. (i) 如果 EMF=60 ，求点M的横坐标； (ii)求四边形 MEOF 面积的最小值
9、. 28. （本小题满分7 分） 是 否 开始 1,S0n S2 n S 1nn 4n 输出 S 结束 C1 B1 A1 D C B A 设函数 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa， 1 110 g( ) mm mm xb xbxbxb，且对 所 有 的实 数x， 等式() (fgxgfx都成 立， 其中 01 , n a aa， 01 ,b ,bnbR,m nN. (I) 如果函数 2 ( )2f xx，g( )xkx，求实数k的值； (II)设函数 32 ( )321f xxx，写出满足( )( )f g xg fx的两个函数( )g x； (II)如果方程( )(
10、)f xg x无实数解，求证：方程( )( )ff xg g x无实数解 . 2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷（2013.07 ）参考答案 选择题： 1. D 2. D 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8.A 9.B 10. D 11. C 12. A 13. B 14. A 15. C 16. D 17. A 18. D 19. B 20. C 一填空题 21. 2 ;22. 4 ;23. 14 ;24. 1007 ; 二 25 （I ）证明：因为AB=AC,D是 BC的中点，所以AD BC. 因为 BB1平面 ABC,AD平面 ABC,所以 AD BB1. 因为
11、 BB1BC=B,所以 AD 平面 BCC1B1. （II ）证明：如图，连接A1B,设 AB1A1B=E,连接 DE. 因为四边形ABB1A1为矩形，所以E为 A1B中点 . 因为在 A1BC中， D是 BC的中点，所以DE A1C. 因为 DE平面 AB1D,A1C平面 AB1D.所以 A1C平面 AB1D. 26. （I ）解：因为 ( )3sin 2cos2f xxx= 31 2(sin 2cos2 ) 22 xx =2(sin 2 coscos2 sin) 66 xx =2(sin 2) 6 x 所以函数( )f x的最小正周期 22 |2 T. E C1 B1 A1 D C B A
12、 （II ）解：由0, 2 x，可得 7 2, 666 x，所以 1 sin(2)1 26 x. 所以12sin(2)2 6 x 所以当 7 2 66 x，即 2 x时，函数( )fx的最小值为1； 当2 62 x，即 6 x时，函数( )f x的最大值为2. 27. （I ）解：因为 |OA|=1 ，所以圆O的方程为 22 1xy. （II ）解： （i ）如图，连接OM, 由题意可知OEM 为直角三角形. 因为 EMF=60 ，所以 OME=30 . 所以 |OM|=2|OE|=2. 因为 M是340 xy直线上的动点， 所以设点 M的坐标为（t, 3t+4 ） . 所以 |OM|= 22
13、 (0)(3t4)0t=2，解得 66 5 t，或 66 5 t. 所以点 M的横坐标为 66 5 或 66 5 . （ii ）因为原点O到直线340 xy的距离 2 | 4|4 10 31 d， 所以 |OM|的最小值是 4 10 . 因为 OEM 为直角三角形，所以|ME| 2=|OM|2-123 5 . 所以 |ME|DE 最小值是 15 5 . 因为 S四边形 MEOF=2SMEO= 1 21 |ME | |ME | 2 , 所以四边形MEOF 面积的最小值是 15 5 . 28 （I ） 解：因为( )( )f g xg f x，所以 22 ()2(2)kxk x，即 222 22k
14、 xkxk. 因为上式对所有的实数x都成立，所以 2 22 kk k 解得1k. （II ）解：如( )( )f xg x 32 321xx，( )g xx，符合题意 .( 答案不唯一 ) （III）证明：设函数F( )( )( )xf xg x，因为方程( )( )f xg x无实数解 . 所以函数F( )x的图象恒在x轴上方，或者恒在x轴下方， 即对任意R,F()0 xx，或者对于任意R,F()0 xx. 1 当F( )0 x时，因为( ) ( )ff xg g x=( )( )g( )( )ff xg g xf xg g x =( )( ) ( )( )ff xg fxf g xg g x=F( )F( )0fxg x 所以此时方程( )( )ff xg g x无实数解 . 2 当F( )0 x时，同理可证( ) ( )0ff xg g x. 所以此时方程( )( )ff xg g x无实数解 . 综上，当方程( )( )f xg x无实数解，求证：方程( )( )ff xg g x无实数解 .
