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1、1 高中数学知识总结归纳 引言 1. 课程内容： 必修课程 由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技 能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初 步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而 不在技巧与难度上做过
2、高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程 有 2 个系列： 系列 1：由 3 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。 选修 44：坐标系与参数方程。 系列 2：由 5 个模块组成。 选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数。 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 选修 44：坐标系与参数方程。 选修 45：不等式选讲。 2重难点及考点： 重点： 函数，数列，三角函数，平面向量，圆
3、锥曲线，立体几何，导数 难点： 函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 直线和圆的方程：直线的方程
4、、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算 2 必修 1第一章集合与函数概念 1、集合的基本概念 (1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）； (2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； (3)集合的三种表示方法：自然语言法
5、、列举法、描述法 2、集合的运算 (1)子集：若集合 A的任意一个元素都是集合B的元素，则 BA； 真子集：若 BA ，且 BA ，则 AB； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 (2) 交集：BABxAxx且 (3) 并集：BABxAxx或 3、集合的常用运算性质 (1)A；AAA； (2)AA；AAA； (3)(ACA U ；)(ACA U U；)(ACC UU A； (4)补集：若U为全集，UA，则ACUAxUxx且,； (5)BABAABAB； (6)(BACU)()(BCAC UU ；)(BACU)()(BCAC UU ； (7)如图所示，用集合 A、B表示图中、四个部分所表示
6、的集合 分别是 BA ；)(BACA ；)(BACB；)(BACU (8)()()()(BAcardBcardAcardBAcard 4、常见数集及其表示符号 N：自然数集；NN： 正整数集；Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集C：复数集 5、已知集合A有(1)n n个元素， 则它有2 n 个子集， 它有21 n 个真子集， 它有21 n 个非空子集， 它有22 n 非空真子集 . 6、函数和映射的概念 7、函数的定义域、值域 （1）定义域： 函数Axxfy),(中， x 叫做自变量，自变量x的取值集合叫做函数的定义域； （2）值域： 所有函数值构成的集合Axxfyy),(叫做这个函数的值域显
7、然，值域是集合B 的子集 函数映射 两集合 A、B 设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合. 对应关系 BAf : 按照某种确定的对应关系f， 使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 定的数)(xf和它对应 按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中 的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 定的数y和它对应 名称 称对应BAf :为从集合A到集合B的 一个函数 称对应BAf :为从集合A到集合B的 一个映射 记法Axxfy),(对应BAf :是一个映射 3 （3）两个函数只有当定义域和对应 法则 都分别相同时，这两个函数才相同 注意： 函数与映射的区别与联系：（1）函数是特
8、殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合 B 只能是非空数集，即 函数是非空数集A 到非空数集B 的映射； （2）映射不一定是函数，只有从A 到 B 的一个映射是数集，则这个映射才是函数 8、函数的三要素：定义域 、值域和对应法则 9、函数的表示方法主要有：列表法 、解析法和图象法 10、分段函数： 若函数在其定义域的不同子集上，因定义域不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为 分段函数 注意： 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个 部分组成，但它表示的是一个函数 11、求函数解析式的方法主要有： 代入法； 换元法； 待定系数法； 图象
9、法 ； 列方程组法； 配凑法等 . 12、求函数值域的方法主要有： 直接 ( 观察 ) 法； 配方法（针对二次函数）；换元法； 分离常数法 ； 反解法； 判别式法等 . 13、函数的单调性 (1) 单调性定义： 给定区间D 上的函数)(xfy，若对任意 21,x xD，当 21 xx时，都有)( 1 xf)( 2 xf，则 )(xf为区间 D 上的增函数；当 21 xx时，都有)( 1 xf)( 2 xf，则)(xf为区间 D 上的减函数 注意： 单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间 (2) 证明函数单调性的步骤： 证明函数的单调性一般从定义入手（以后将会学习用“求导”的方法证明
10、函数单调性），利用定义证明函数单调 性的一般步骤是：设元（取量）：任取Dxx 21, ，且令 21 xx；作差：计算)()( 21 xfxf并化简整理； 判号（判断整理结果的符号）； 结论（利用单调性定义判断. 14、与单调性有关的结论 (1) 若)(),(xgxf均为某区间上的增(减)函数，则)()(xgxf为某区间上的增(减 )函数； (2) 若)(xf为增 (减)函数，则)(xf为减 (增)函数； (3)(xgfy是定义在M 上的函数，若)(xf与)(xg的单调性相同，则)(xgfy是增函数， 若)(xf与)(xg的单调性相反，则)(xgfy是减函数 ( 同增异减的原则) ； (4) 若
11、函数)(xf在闭区间ba,上是减函数，则)(xf的最大值为)(af，最小值为)(bf，值域为)(),(afbf 15、函数的最值 设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意Ix，都有Mxf)(，存在 x0I，使 得Mxf)( 0 ，那么称 M 是函数)(xfy的最大值；类比定义)(xfy的最小值 16、函数的奇、偶性： （对于函数)(xf，其定义域 关于原点对称） (1) 如果对于函数定义域内任意一个x，都有)(xf)(xf，那么函数)(xf是奇函数； (2) 如果对于函数定义域内任意一个x，都有)(xf)(xf，那么函数)(xf是偶函数； 也就是说：0)()(xfxf函数)
12、(xf是奇函数 ，0)()(xfxf函数)(xf是奇函数 . 17、奇、偶函数的性质 (1) 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称； (2) 若奇函数)(xf在0 x处有意义，则)0(f0； (3) 若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相同；若偶函数在关于原点对称的两个区间上 分别单调，则其单调性相反； (4) 奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇. 18、函数的周期性 (1) 周期函数定义：对于函数( )yfx，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ()( )f xTfx，那么就称函数( )yfx为周期函数，称T为这个函数的周期； (2)
13、 最小正周期： 如果在周期函数( )yf x的所有周期中存在一个最小的的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf 的最小正周期 4 19、函数的图象 （1）利用描点法作图： 确定函数的定义域；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象 （2）利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的 图象 平移变换 0, 0,| ( )() hh hh yfxyf xh 左移个单位 右移 |个单位 0, 0,| ( )( ) kk kk yf xyf xk 上移个单位 下移 |个单位 伸缩变换 01, 1
14、, ( )()yfxyfx 伸 缩 01, 1, ( )( ) A A yfxyAfx 缩 伸 对称变换 ( )( ) x yf xyf x 轴 ( )() y yf xyfx 轴 ( )()yf xyfx 原点1 ( )( ) y x yf xyfx 直线 ( )(|) y yy yfxyfx 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ( )|( ) | x x yfxyf x 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 （3）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关
15、系 （4）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题 结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 （5）有关函数对称性的几个重要结论 函数自身的对称性 函数)(xfy的图像关于点),(baA对称的充要条件是bxafxf2)2()( 函数)(xfy的图像关于直线ax对称的充要条件是)()(xafxaf，即)2()(xafxf 两个函数的对称性 函数)(xfy与)2(2xafby的图像关于点),(baA成中心对称 函数)(xfy与)2(xay的图像关于直线ax成轴对称 指数函数) 1,0(aaay x 且图像与对数函数0(logaxy
16、a ，且)1a图像关于直线xy对称 三角函数的图像对称问题详见必修4第一章三角函数 5 必修 1第二章基本初等函数 1、根式的概念：一般地，如果ax n ，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN* 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00 n 当n是奇数时，aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 2、分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：)1, 0( * nNnmaaa nm n m ， ) 1,0( 11* nNnma a a a nm n m n m 注意： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、有理数幂的运算性质 (1) sr aa sr a ；(2) sr a )( rs a ；(3) r ab)( rr ba(其中Qsrba,0,） 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 一般地， 函数)1,0(aaay x 且叫做指数函数 ，其中x是自变量， 函数的定义域为R 注意： 指数函数的底数的取值范围:), 1()1 ,0(a （2）指数函数的图
