《{精品}北京2013西城上期末高三数学文科》由会员分享，可在线阅读，更多相关《{精品}北京2013西城上期末高三数学文科（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 西城高三上期末数学文科第 1 页 共 8 页 北京市西城区2012 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2013.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合|01AxxR，| (21)(1)0BxxxR，则AB（） （A） 1 (0,) 2 （B） 1 (,1) 2 （C） 1 (, 1)(0,) 2 （D） 1 (, 1)(,1) 2 2复数 5i 2i （） （A）12i（B）12i（C）12i（D）12i 3执行如图所示的程序框图，则输出S（） （A）2 （B）6 （C）15 （ D）
2、31 4函数 1 ( )lnf xx x 的零点个数为（） （A）0（ B）1（C）2（ D）3 5某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（） （A）5 3（B）2 3 （C） 5 3 3 （D） 2 3 3 6过点(2,0)M作圆 22 1xy的两条切线MA，MB (A，B为切点)，则MA MB （） （A） 5 3 2 （B） 5 2 （C） 3 3 2 （D） 3 2 7设等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S则“|2q”是“ 62 7SS”的（） （A）充分而不必要条件 来源 : 学科 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 8已知函数( )f
3、x的定义域为R若常数0c，对xR，有()()f xcfxc，则称函数( )f x具有 性质P给定下列三个函数：( )|f xx；( )sinf xx； 3 ( )f xxx 其中，具有性质P的函数的序号是（） 2013 西城高三上期末数学文科第 2 页 共 8 页 （A）（B）（ C）（ D ） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9已知向量(1,3)a，(,21)mmb若向量a与b共线，则实数m_ 10平行四边形ABCD中，E为CD的中点若在平行四边形ABCD内部随机取一点M， 则点M取自ABE内部的概率为_ 11双曲线 22 1 3645 xy 的渐近线方程为_；离心
4、率为 _ 12若函数 2 log,0, ( ) ( ),0 xx f x g xx 是奇函数，则( 8)g_ 13已知函数 ( )sin() 6 f xx，其中 , 3 xa当 2 a时，( )f x的值域是 _；若( )f x的值域是 1 ,1 2 ，则a的取值范围是_ 14 设函数 2 ( )65f xxx， 集合(, ) |( )( )0Aa bf af b， 且( )( )0 f af b 在直角坐标系aOb中， 集合A所表示的区域的面积为_ 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分13 分） 在ABC中，内角,A B C
5、的对边分别为, ,a b c，且cos2cos0BB （）求角B的值； （）若7b，5ac，求ABC的面积 16 （本小题满分13 分） 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克） 全部介于45至70之间将数据分成以下5组：第1 组45 50)，第 2 组50 55)，第 3 组55 60)，第 4 组 60 65)，第 5 组65 70，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5 组中随机 抽取 6 名学生做初检 来源 : 学科网 （）求每组抽取的学生人数； （）若从6 名学生中再次随机抽取2 名学生进行复检， 求这 2
6、 名学生不在同一组的概率 2013 西城高三上期末数学文科第 3 页 共 8 页 17 （本小题满分14 分） 如图，直三棱柱 111 CBAABC中，BCAC，2 1 CCBCAC，M，N分别 为AC， 11C B的中点 （）求线段MN的长； （）求证：MN/ 平面 11A ABB； （）线段 1 CC上是否存在点Q，使BA1平面MNQ？说明理由 18 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( ) x fx xb ，其中bR （）若1x是)(xf的一个极值点，求b的值； （）求)(xf的单调区间 19 （本小题满分14 分） 如图，A，B是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的两个顶
7、点|5AB，直线AB的斜率为 1 2 （）求椭圆的方程； （）设直线l平行于AB，与,x y轴分别交于点,M N，与椭圆 相交于,C D证明：OCM的面积等于ODN的面积 20 （本小题满分13 分） 如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中 ij a( ,1,2,3, )i jn表示位于第i行第j列的实 数，且 1, 1 ij a记( ,)S n n为所有这样的数表构成的集合 对 于(,)ASn n， 记() i rA为A的 第i行 各 数 之 积 ，( ) j cA为A的 第j列 各 数 之 积 令 11 ( )()() nn ij ij l ArAcA （）对如下数表(4, 4
8、)AS，求( )l A的值； （）证明：存在( ,)AS n n，使得()24l Ank，其中0,1,2,kn； （）给定n为奇数，对于所有的( ,)AS n n，证明：()0l A 2013 西城高三上期末数学文科第 4 页 共 8 页 北京市西城区2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学 （文科） 参考答案及评分标准2013.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1B； 2 A； 3C； 4 B； 5C； 6D； 7A ； 8B 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 91； 10 1 2 ； 11 5 2 yx， 3 2 ；123；
9、13 1 ,1 2 ，, 3 ； 14 4 注： 11、13 题第一空2 分，第二空3 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分） （）解：由已知得 2 2coscos10BB，,2 分 即(2cos1)(cos1)0BB 解得 1 cos 2 B，或cos1B,4 分 因为0B，故舍去cos1B,5 分 所以 3 B,6 分 （）解：由余弦定理得 222 2cosbacacB,8 分 将 3 B，7b代入上式，整理得 2 ()37acac 因为5ac，所以6ac,11 分 所以 ABC的面积 13 3
10、sin 22 SacB,13 分 16 （本小题满分13 分） （）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3: 2:1 ,2 分 所以，每组抽取的人数分别为： 第3组： 3 63 6 ；第4组： 2 62 6 ；第5组： 1 61 6 所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生,5 分 （）解：记第3组的3位同学为 1 A， 2 A， 3 A；第4组的2位 同学为 1 B， 2 B；第5组的1位同学为C, 6 分 则从6位同学中随机抽取2 位同学所有可能的情形为： 121311121232122231 (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
11、,(,),(,),A AA AA BA BA CAAA BA BA CA B 3231212 (,),(,),(,),(,),(,)A BA CB BB CB C，共15种可能,10 分 其中， 111212122231323 (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A BA BA CA BA BA CA BA BA C 12 (,),(,)B CB C这 11 种情形符合2 名学生不在同一组的要求,12 分 2013 西城高三上期末数学文科第 5 页 共 8 页 故所求概率为 11 15 P,13 分 17 （本小题满分14 分） （）证明：连接CN 因为 1
12、11 CBAABC是直三棱柱，所以 1 CC平面ABC，, 1 分 所以 1 ACCC,2分 因为BCAC，所以AC平面 11 BCC B ,3 分 因为1MC， 22 11 5CNCCC N，所以6MN,4 分 （）证明：取AB中点D，连接DM， 1 DB,5 分 在ABC中，因为M为AC中点，所以BCDM /，BCDM 2 1 在矩形 11 B BCC中，因为N为 11C B中点，所以BCNB/ 1 ，BCNB 2 1 1 所以NBDM 1 /，NBDM 1 所以四边形 NMDB1 为平行四边形，所以 1 / DBMN,7 分 因为MN平面 11A ABB， 1 DB平面 11A ABB，
13、,8 分 所以MN/ 平面 11A ABB,9 分 （）解：线段 1 CC上存在点Q，且Q为 1 CC中点时，有BA 1 平面MNQ ,11 分 证明如下：连接 1 BC在正方形CCBB 11 中易证 1 BCQN 又 11C A平面CCBB 11 ，所以QNCA 11 ，从而NQ平面 11BC A ,12 分 所以 1 A BQN,13 分 同理可得 1 ABMQ，所以BA1 平面MNQ 故线段 1 CC上存在点 Q ，使得BA 1 平 面MNQ,14 分 18 （本小题满分13 分） （）解： 2 22 ( ) () bx fx xb ,2 分 依题意，令( 1)0f，得1b,4 分 经检
14、验，1b时符合题意,5 分 （）解：当0b时， 1 ( )f x x 2013 西城高三上期末数学文科第 6 页 共 8 页 故( )f x的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间,6 分 当0b时， 2 22 ( ) () bx fx xb 令( )0fx，得 1 xb， 2 xb,8 分 ( )f x和( )fx的情况如下： x(,)bb(,)bbb(,)b ( )fx 00 ( )f x 故( )f x的单调减区间为(,)b，(,)b；单调增区间为(,)bb ,11 分 当0b时，( )f x的定义域为 |DxxbR 因为 2 22 ( )0 () bx fx xb 在D上恒成立，
15、 故( )f x的单调减区间为 (,)b ，( ,)bb ，( ,)b ；无单调增区间 ,13 分 19 （本小题满分14 分） （）解：依题意，得 22 1 , 2 5. b a ab ,2 分 解得2a，1b,3 分 所以 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y,4 分 （）证明：由于l/AB，设直线l的方程为 1 2 yxm，将其代入 2 2 1 4 x y，消去y， 整理得 22 24440 xmxm,6 分 设 11 (,)C xy， 22 (,)D xy 所以 22 12 2 12 1632(1)0, 2 , 22. mm xxm x xm ,8 分 证法一：记OCM的面积是 1 S，ODN的面积是 2 S 由(2,0)Mm，(0,)Nm， 2013 西城高三上期末数学文科第 7 页 共 8 页 则 12 SS 12 11 |2| 22 mymx 12 |2|yx ,10 分 因为 12 2xxm，所以1112 1 | 2| 2()|2| 2 yxmxmx， ,13 分 从而 12 SS,14 分 证法二：记OCM的面积是 1 S，ODN的面积是 2 S 则 12 SS|MCN
