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1、2014 顺义高三二模数学理科第 1 页 共 8 页 正视图 俯视图 左视图 顺义区 2014 届高三第二次统练数学（理科）试卷 2014.04 第一部分 （选择题共 40 分） 一、选择题共8 个小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 选出符 合题目要求的一项. 1. 复数(1)ii等于 A.1i B. 1i C.1i D.1 i 2. 已知 2 log 3a， 1 2 log 3b， 1 2 3c，则 A.cba B. cab C.abc D.acb 3. 已知向量(1 ,1)a，( 1,1)b，若kab与a垂直，则实数k A.1 B. 0 C.1 D.2
2、4. 如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那 么这个几何体的侧面积为 A.8 B. 4 C.2 D. 5. “0”是“函数sin()yx为奇函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 执行如图所示的程序框图，若输入2x，则输出y的 值是 A2 B5 C11 D23 7. 已知双曲线 2 2 2 1 x y a （0a），与抛物线 2 4yx的准线交于,A B两点，O为坐标原点， 若AOB 的面积等于1，则a 2014 顺义高三二模数学理科第 2 页 共 8 页 A2 B 1 C 2 2 D 1 2
3、8. 已知函数 0, ( ) (1)0, xxx f x f xx 其中 x表示不超过x的最大整数， （如 1.12,3,） . 若直线(1)(0)yk xk与函数( )yf x的图象恰有三个不同的交 点，则实数k的取值范围是 A 1 1 ,) 5 4 B 1 1 , ) 4 3 C 1 1 ,) 3 2 D(0,1 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 . 把答案填在答题卡上. 9. 在极坐标系中，点(2,) 6 到极轴的距离是_. 10. 已知等比数列 n a的各项均为正数，若 1 1a， 3 4a，则 2 _;a 此数列的其前n项和_. n S 11. 如图，AB是圆
4、O的直径，2AB，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C. 若DADC， 则_;BDC_.BC 12. 对甲、乙、丙、丁4人分配4项不同的工作 A、B、C、D，每人一项，其中甲不能承担A项 工作，那么不同的工作分配方案有_种. （用数字作答） 13.在 ABC中， 角,A B C所对的边分别为, ,a b c. 若 6ac， 3 sin 23 B ，则cos_;B_.b 14. 已知点( , )M a b在由不等式 0, 0, 2, x y xy 确定的平面区域内，则点(,)N ab ab所在的平面区域面积 是_. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，
5、演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13 分） 已知函数( )sincoscos2f xaxxx的图象过点(,0) 8 . （）求实数a的值； （）求函数( )f x的最小正周期及最大值. C A BO D 2014 顺义高三二模数学理科第 3 页 共 8 页 16. （本小题共13 分） 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5 次测试的成绩（单位：分）记录 如下： 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （）用茎叶图表示这两组数据； （）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （）若将频率视
6、为概率， 对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为X， 求X的分布列和数学期望EX. 17. （本小题共14 分） 如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形， 2PAAB， 2 2PBPD，点E在PD上，且 1 3 PEPD. （）求证：PA平面ABCD； （）求二面角EACD的余弦值； （）证明：在线段BC上存在点F， 使PF平面EAC，并求BF的长 . 18. （本小题共13 分） 已知函数 2 ( ) x xaxa f x e ，其a中为常数，2a. （）当1a时，求曲线( )yfx在点(0,(0)f处的切线方程； （）是否存在实数a, 使( )f x
7、的极大值为2?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 19. （本小题共14 分） 已知椭圆E的两个焦点分别为( 1,0)和(1,0), 离心率 2 2 e. （）求椭圆E的方程； （）设直线:lyxm（0m）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T， 当m变化时 ,求TAB面积的最大值. 20. （本小题共13 分） 已知集合 123 , n Aa a aa， 123 (0,3) n aaaanNn 具有性质P：对任意的, i j (1)ijn，, jiji aa aa至少有一个属于A. （）分别判断集合0,2,4M与1,2,3N是否具有性质P； （）求证： 1 0a； 1
8、23 2 nn n aaaaa； （）当3,4n或5时集合A中的数列 n a是否一定成等差数列?说明理由 . E P AD B C 2014 顺义高三二模数学理科第 4 页 共 8 页 顺义区 2014 届高三第二次统练高三数学（理科）试卷 参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A D B B A D C B 二、填空题 ( 本大题共6 个小题 , 每小题 5 分, 共 30 分) 其它答案参考给分 9.1；102,21 n ；11. 0 30，1；1218；13 1 ,2 2 3 ；14. 4 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） 15 （本小题共13 分） 解： （）由已
9、知函数( )sincoscos2f xaxxx sin 2cos2 2 a xx 3 分 ( )fx的图象过点(,0) 8 ，sincos0 244 a ， 5 分 解得2a 7 分 （）由（）得函数( )sin 2cos22 sin(2) 4 f xxxx 9 分 最小正周期 2 2 T， 11 分 最大值为2. 13 分 16. （本小题共13 分） 解： （）茎叶图 3分 （）由图可知， 乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小 于甲的方差， 且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更 好. 6 分 （）记甲“高于80 分”为事件A， 2 ( ) 5 P A XB 2 (3,) 5
10、 ， 3 3 22 ()( ) (1) 55 kkk P xkC 8 分 X的可能取值为0,1,2,3. 分布列为： X 0 1 2 3 P27 125 54 125 36 125 8 125 11 分 6 25 7 8822 872 9 8 乙 甲 2014 顺义高三二模数学理科第 5 页 共 8 页 6 5 EX 13 分 17 （本小题共14 分） 解 ：（ ） 证 明 ：2P AA B，2 2PB， 222 PAABPB PAAB，同理PAAD 2 分 又ABADA，PA平面ABCD. 4 分 （） 以A为原点，,AB AD AP分别为, ,x y z轴建立空间直 角坐标系， 则 2
11、4 (0,0,0),(2,0,0),(2, 2,0),(0,2,0),(0,0, 2),(0,) 3 3 ABCDPE 6 分 平面ACD的法向量为 (0,0,2)AP ， 设平面EAC的法向量为( , , )nx y z 7 分 2 4 (2, 2,0),(0,) 3 3 ACAE，由 0 0 n AC n AE ， 0 20 xy yz ，取 2 2 1 x y z (2, 2,1)n， 8 分 设二面角EACD的平面角为 1 cos 3| | n AP nAP ，二面角EACD的余弦值为 1 3 . 10 分 （）假设存在点FBC，使PF平面EAC， 令(2, ,0)Fa，(02)a 1
12、2 分 (2, , 2)PFa由PF平面EAC，0PF n，解得1a 存在点(2,1,0)F为BC的中点，即1BF. 14 分 18 （本小题共13 分） 解： （）1a， 2 1 ( ) x xx f x e ，(0)1f， 1 分 22 2 (21)(1)(1) ( ) xx xxx xeexxxxx x fx eee ， (0)0f 3 分 则曲线在(0,(0)f处的切线方程为1y. 5 分 （） 2 2 (2)()(2) ( ) xx xx xa eexaxax xa fx ee E P AD BC 2014 顺义高三二模数学理科第 6 页 共 8 页 ( )0fx的根为0,2a， 6
13、 分 2a，20a 当2a时， 2 ( )0 x x fx e ，( )f x在(,)递减，无极值；8 分 当2a时，20a，( )f x在(,0),(2,)a递减，在(0, 2)a递增； 2 (2)(4) a faa e为( )f x的极大值，10 分 令 2 ( )(4) a u aa e，(2)a， 2 ( )(3)0 a u aa e ( )u a在(,2)a上递增，( )(2)2u au， 不存在实数a，使( )f x的极大值为 2. 13 分 19 （本小题共14 分） 解： （）由已知椭圆的焦点在x轴上，1c， 2 2 c a ， 2a，1b， 2 分 椭圆E的方程为 2 2 1
14、 2 x y 4 分 （） 2 2 1 2 yxm x y ，消去y得 22 34220 xmxm 直线l与椭圆有两个交点，0，可得 2 3m（ *） 6 分 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy 12 4 3 m xx， 2 12 22 3 m x x，弦长 222 |62 3 ABm， 8 分 AB中点 2 (,) 33 m m M， 设( ,0)T x，1 ABMT kk， 3 11 2 3 m m x ， 3 m x(,0) 3 m T， 2 | | 3 m TM 11 分 2014 顺义高三二模数学理科第 7 页 共 8 页 222212239 |(62)2() 2992
15、2 SAB MTm mm 2 3m， 2 3 2 m时， max 2 3 S， 14 分 （或： 22 22 122(62) 2 |(62) 2992 mm SABMTm m 22 2 622 () 2232 2 92932 mm . 当且仅当 2 3 2 m时成立， max 2 3 S. （用其它解法相应给分） 20 （本小题共13 分） 解： （） 202,422,404, 000,220,440, 集合M具有性质P， 336A，330A，集合N不具有性质P. 3 分 （）由已知 12 0 n aaa，2 nnn aaaA， 则0 nn aaA，仍由 12 0 n aaa知 1 0a； 5 分 121 0 nnnnnnn aaaaaaaa , nn in aaa(1,2,32)in， nn i aaA， 1211 , nnnnnn aaa aaaaaa 6 分 将上述各式两边相加得 12312 () nnn aaaanaaaa 123 2() nn aaaana，即 123 2 nn n aaaaa； 8 分 （）当3n时，集合A中的数列 123 ,a a a一定是等差数列. 由（）知 1 0a，且 123 0aaa， 323 aaaA 故 32 aaA，而这里 323 aaa，反之若不然 21 0aa 这与集合A中元素互异矛盾，只能 322 aaa，即 23
