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1、2013 东城高三数学一模理科第 1 页 共 7 页 1 北京市东城区2012-2013 学年度第二学期综合练习（一） 高三数学 （ 理科） 2013.4 一、本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1、已知全集1, 2, 3, 4U，集合1, 2A，那么集合 UA e为 （A） 3 （B）3, 4（ C） 1, 2（ D） 2, 3 2、已知ABC D为平行四边形，若向量AB a ， ACb ，则向量 BC 为 （A）ab（ B）a + b （C）ba（ D）ab 3、已知圆的方程为 22 (1)(2)4xy，那么该圆圆心到直线 3,
2、 1 xt yt （t为参数）的距离为 （A） 2 2 （B） 6 2 （C） 32 2 （D） 36 2 4、某游戏规则如下：随机地往半径为1 的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 1 2 ，则成绩为及格；若飞 标到圆心的距离小于 1 4 ，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 1 4 且小于 1 2 ，则成绩为良好，那么在 所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A） 3 16 （B） 1 4 （C） 3 4 （D） 1 1 6 5、已知数列 n a中， 1 2a， 1 20 nn aa， 2 log nn ba，那么数列 n b的前1 0项和等于 （A）130（B）120（C）
3、55（ D）50 6、已知 1( , 0 )Fc， 2( , 0)Fc分别是双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的两个焦点，双曲线 1 C和圆 2 C： 222 xyc的一个交点为P，且 1221 2PF FPF F，那么双曲线 1 C的离心率为 （A） 5 2 （B）3（C ）2（D）31 7、已知定义在R上的函数()fx的对称轴为3x，且当3x时，()23 x fx. 若函数()fx在区间 (1,)kk（k Z）上有零点，则k的值为 （A）2或7（ B）2或8（C）1或7（D）1或8 8、已知向量OA ，AB，O是坐标原点，若ABk OA，且AB方向是沿 OA的方向
4、绕着A点按逆时针方向 旋转角得到的， 则称 OA 经过一次(,)k变换得到AB. 现有向量=(1,1)O A经过一次 11 (,)k变换后得到 1 AA ， 1 AA 经过一次 22 (,)k变换后得到 12 A A ，, ，如此下去， 21nn AA经过一次 (,) nn k变换后得到 2013 东城高三数学一模理科第 2 页 共 7 页 2 1nn AA . 设 1 ( ,) nn AAx y ， 1 1 2 n n ， 1 cos n n k ，则 yx等于 （A） 1 1 1 2 sin2() 2 11 sin 1sinsin 22 n n （B） 1 1 1 2sin2() 2 11
5、 cos1 coscos 22 n n （C） 1 1 1 2 cos2() 2 11 sin 1sinsin 22 n n （D） 1 1 1 2 cos2() 2 11 cos1 coscos 22 n n 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 9、复数(2i)iz的虚部是 . 10、 26 2 ()x x 的展开式中 3 x的系数是 11、如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图， 则甲5次测试成绩的平均数是，乙5次测试成绩的平均数与中位数 之差是 12、如图，已知PA与圆O相切于A，半径O CO P，AC交 PO于B，若1OC,2O P，则 PA
6、，PB 13、有甲、乙、丙在内的6 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻， 丙不排在两头，则这样的排法共有种 14、数列 an 的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一 行增加两项，若 n n aa(0)a， 则位于第 10 行的第 8 列的项 等于， 2013 a在图中位于 （填第几行的第几列） 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15、 （本小题共13 分） 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a ，b， c ，且sin3cosbAaB （）求角B； （）若23b，求 ac 的最大值 16、 （本小题共14 分） 如图，已知AC
7、 DE是直角梯形，且/EDAC， 平面AC D E平面ABC，90BACACD， ABACAE2， 1 2 EDAB，P是BC的中点 （）求证： /D P 平面E AB； （）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值 A B C O P 2013 东城高三数学一模理科第 3 页 共 7 页 3 17、 （本小题共13 分） 某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6 六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶 数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽 取两次 . （）求所得奖品个数达到最大时的概率； （）记奖品个数为
8、随机变量X，求X的分布列及数学期望. 18、 （本小题共14 分） 已知函数 2 ()()e x fxxaxa， （ a 为常数， e为自然对数的底） （）当0a时，求(2)f； （）若()fx在0 x时取得极小值，试确定a 的取值范围； （）在（）的条件下，设由()fx的极大值构成的函数为()ga，将 a 换元为 x ，试判断曲线()yg x 是否能与直线320 xym（m 为确定的常数）相切，并说明理由 19、 （本小题共13 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的两个焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 1 2 ，过 1 F的直线l与椭圆C交 于M，N两点，且
9、2 M N F 的周长为8 （）求椭圆C的方程； （）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定 值，并求出这个定值 20、 （本小题共13 分） 设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作： 12 (,) in Aa aaa . 其中 i a (1, 2,)in 称为数组A 的“元”，i称为 i a的下标 . 如果数组 S 中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元” ，则称 S 为A的 子数组 . 定义两个数组 12 (,) n Aaaa， 12 (,) n Bbbb的关系数为 1122 (,) nn CA Ba ba ba b . （）若 11
10、 (,) 22 A， (1,1, 2, 3)B，设S是B的含有两个“元”的子数组，求(,)CA S的最大值； （）若 333 (,) 333 A，(0,)Ba b c，且 222 1abc，S为B的含有三个“元”的子数组， 求(,)CA S的最大值； （）若数组),( 321 aaaA中的“元”满足 222 123 1aaa. 设数组(1,2, 3,) m Bmn含有四个“元” 1234 , mmmm bbbb，且 2222 1234mmmm bbbbm，求A与 m B的所有 含有三 个“ 元”的 子数 组的关 系数 (,) m CA B(1,2,3, )mn 的最大值 . 2013 东城高三
11、数学一模理科第 4 页 共 7 页 4 北京市东城区2012-2013 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案（理科） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 1、B 2、C 3、C 4 、A 5 、C 6、 D 7 、 A 8、B 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9、 2 ； 10 、160； 11 、84，2；12、3，3； 13 、144； 14 、 89 a ，第45行的第77列. 注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，第二个空填对得2 分 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） 15、 （共 13 分）解： （）因为sin
12、3cosbAaB，由正弦定理可得sinsin3 sincosBAAB， 因为在ABC中，sin0A，所以tan3B. 又0B，所以 3 B. （）由余弦定理 222 2cosbacacB，因为 3 B，23b，所以 22 12acac . 因为 22 2acac，所以 12ac. 当且仅当23ac时， ac 取得最大值12. 16、 （共 14 分） 证明（）取AB的中点F，连结PF，EF 因为P是BC的中点， 所以ACFP /，ACFP 2 1 因为/EDAC，且 11 22 EDABAC， 所以FPED /，且EDFP， 所以四边形 EFPD 是平行四边形 所以EFDP / 因为EF平面E
13、AB，D P平面EAB，所以/DP平面EAB （）因为90BAC，平面EAC D平面ABC， 所以以点A为原点， 直线AB为 x 轴，直线AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA，则z轴 在平面EACD内 由已知可得(0, 0, 0)A，(2 , 0 , 0)B，(0 , 1,3)E，(0 , 2 ,3)D 所以(2 ,1 ,3)EB，(0 , 1, 0)ED， 设平面EBD的法向量为(,)xyzn 由 0 , 0 . EB ED n n 所以 230 , 0 . xyz y 取2z，所以(3 , 0 , 2)n 又因为平面ABC的一个法向量为(0 , 0 , 1)m 所以 27 co
14、s, 7 n m nm n m 2013 东城高三数学一模理科第 5 页 共 7 页 5 即平面 EBD 与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为 27 7 17、 （共 13 分） （）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为： 2 2 2 6 1 15 A p A （）X的可能取值是：0, 2, 4, 6, 8,10 X 0 2 4 6 8 10 p 1 5 1 5 1 5 4 15 1 1 5 1 15 所以 111411 02468104 555151515 EX 18、 （共 14 分） 解： （）当0a时， 2 () x fxx e 2 ()2(2) xxx fxxex exex所以
15、(2)0f （） 22 ()(2)ee()e(2) xxx fxxaxaxaxa xe(2) x x xa 令()0fx，得0 x或2xa 当20a，即2a时， 2 ()e0 x fxx恒成立， 此时()fx在区间(,)上单调递减，没有极小值； 当20a，即2a时， 若0 x，则()0fx若02xa，则()0fx 所以0 x是函数()fx的极小值点 当20a，即2a时，若0 x，则()0fx若20ax，则()0fx 此时0 x是函数()fx的极大值点 综上所述，使函数()fx在0 x时取得极小值的a 的取值范围是2a （）由（）知当2a，且2xa时，()0fx， 因此2xa是()fx的极大值点
16、，极大值为 2 (2)(4)e a faa 所以 2 ()(4)e(2) x gxxx 222 ()ee(4)(3)e xxx gxxx 令 2 ()(3)e(2) x h xxx 则 2 ()(2)e0 x hxx恒成立，即()h x在区间(, 2)上是增函数 所以当2x时， 22 ()(2)(32)e1h xh，即恒有()1gx 又直线320 xym的斜率为 3 2 ， 所以曲线()yg x不能与直线320 xym相切 19、 （共 13 分）解：（I ）由题意知，48a，所以2a因为 1 2 e 所以 222 2 22 3 1 4 bac e aa ，所以 2 3b 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （ II ）由题意 , 当直线AB的斜率不存在，此时可设 00 (,)A xx， 00 (,)Bxx. 又A，B两点在椭圆 C 上，所以 22 00 1 43 xx ， 2 0 12 7 x 2013 东城高三数学一模理科第 6 页 共 7
