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1、2013 东城高三数学一模理科第 1 页 共 7 页 1 北京市东城区2012-2013 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 ( 理科) 2013.4 一、本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1、已知全集1, 2, 3, 4U,集合1, 2A,那么集合 UA e为 (A) 3 (B)3, 4( C) 1, 2( D) 2, 3 2、已知ABC D为平行四边形,若向量AB a , ACb ,则向量 BC 为 (A)ab( B)a + b (C)ba( D)ab 3、已知圆的方程为 22 (1)(2)4xy,那么该圆圆心到直线 3,
2、 1 xt yt (t为参数)的距离为 (A) 2 2 (B) 6 2 (C) 32 2 (D) 36 2 4、某游戏规则如下:随机地往半径为1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 1 2 ,则成绩为及格;若飞 标到圆心的距离小于 1 4 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 1 4 且小于 1 2 ,则成绩为良好,那么在 所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 (A) 3 16 (B) 1 4 (C) 3 4 (D) 1 1 6 5、已知数列 n a中, 1 2a, 1 20 nn aa, 2 log nn ba,那么数列 n b的前1 0项和等于 (A)130(B)120(C)
3、55( D)50 6、已知 1( , 0 )Fc, 2( , 0)Fc分别是双曲线 1 C: 22 22 1 xy ab (0,0)ab的两个焦点,双曲线 1 C和圆 2 C: 222 xyc的一个交点为P,且 1221 2PF FPF F,那么双曲线 1 C的离心率为 (A) 5 2 (B)3(C )2(D)31 7、已知定义在R上的函数()fx的对称轴为3x,且当3x时,()23 x fx. 若函数()fx在区间 (1,)kk(k Z)上有零点,则k的值为 (A)2或7( B)2或8(C)1或7(D)1或8 8、已知向量OA ,AB,O是坐标原点,若ABk OA,且AB方向是沿 OA的方向
4、绕着A点按逆时针方向 旋转角得到的, 则称 OA 经过一次(,)k变换得到AB. 现有向量=(1,1)O A经过一次 11 (,)k变换后得到 1 AA , 1 AA 经过一次 22 (,)k变换后得到 12 A A ,, ,如此下去, 21nn AA经过一次 (,) nn k变换后得到 2013 东城高三数学一模理科第 2 页 共 7 页 2 1nn AA . 设 1 ( ,) nn AAx y , 1 1 2 n n , 1 cos n n k ,则 yx等于 (A) 1 1 1 2 sin2() 2 11 sin 1sinsin 22 n n (B) 1 1 1 2sin2() 2 11
5、 cos1 coscos 22 n n (C) 1 1 1 2 cos2() 2 11 sin 1sinsin 22 n n (D) 1 1 1 2 cos2() 2 11 cos1 coscos 22 n n 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分。 9、复数(2i)iz的虚部是 . 10、 26 2 ()x x 的展开式中 3 x的系数是 11、如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图, 则甲5次测试成绩的平均数是,乙5次测试成绩的平均数与中位数 之差是 12、如图,已知PA与圆O相切于A,半径O CO P,AC交 PO于B,若1OC,2O P,则 PA
6、,PB 13、有甲、乙、丙在内的6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻, 丙不排在两头,则这样的排法共有种 14、数列 an 的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一 行增加两项,若 n n aa(0)a, 则位于第 10 行的第 8 列的项 等于, 2013 a在图中位于 (填第几行的第几列) 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共13 分) 在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a ,b, c ,且sin3cosbAaB ()求角B; ()若23b,求 ac 的最大值 16、 (本小题共14 分) 如图,已知AC
7、 DE是直角梯形,且/EDAC, 平面AC D E平面ABC,90BACACD, ABACAE2, 1 2 EDAB,P是BC的中点 ()求证: /D P 平面E AB; ()求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值 A B C O P 2013 东城高三数学一模理科第 3 页 共 7 页 3 17、 (本小题共13 分) 某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有1,2,3,4,5,6 六个数字的形状相同的卡片,其中标有偶 数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规则如下:每人每次不放回抽取一张,抽 取两次 . ()求所得奖品个数达到最大时的概率; ()记奖品个数为
8、随机变量X,求X的分布列及数学期望. 18、 (本小题共14 分) 已知函数 2 ()()e x fxxaxa, ( a 为常数, e为自然对数的底) ()当0a时,求(2)f; ()若()fx在0 x时取得极小值,试确定a 的取值范围; ()在()的条件下,设由()fx的极大值构成的函数为()ga,将 a 换元为 x ,试判断曲线()yg x 是否能与直线320 xym(m 为确定的常数)相切,并说明理由 19、 (本小题共13 分) 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的两个焦点分别为 1 F, 2 F,离心率为 1 2 ,过 1 F的直线l与椭圆C交 于M,N两点,且
9、2 M N F 的周长为8 ()求椭圆C的方程; ()过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定 值,并求出这个定值 20、 (本小题共13 分) 设A是由n个有序实数构成的一个数组,记作: 12 (,) in Aa aaa . 其中 i a (1, 2,)in 称为数组A 的“元”,i称为 i a的下标 . 如果数组 S 中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元” ,则称 S 为A的 子数组 . 定义两个数组 12 (,) n Aaaa, 12 (,) n Bbbb的关系数为 1122 (,) nn CA Ba ba ba b . ()若 11
10、 (,) 22 A, (1,1, 2, 3)B,设S是B的含有两个“元”的子数组,求(,)CA S的最大值; ()若 333 (,) 333 A,(0,)Ba b c,且 222 1abc,S为B的含有三个“元”的子数组, 求(,)CA S的最大值; ()若数组),( 321 aaaA中的“元”满足 222 123 1aaa. 设数组(1,2, 3,) m Bmn含有四个“元” 1234 , mmmm bbbb,且 2222 1234mmmm bbbbm,求A与 m B的所有 含有三 个“ 元”的 子数 组的关 系数 (,) m CA B(1,2,3, )mn 的最大值 . 2013 东城高三
11、数学一模理科第 4 页 共 7 页 4 北京市东城区2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案(理科) 一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分) 1、B 2、C 3、C 4 、A 5 、C 6、 D 7 、 A 8、B 二、填空题(本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分) 9、 2 ; 10 、160; 11 、84,2;12、3,3; 13 、144; 14 、 89 a ,第45行的第77列. 注:两个空的填空题第一个空填对得3 分,第二个空填对得2 分 三、解答题(本大题共6 小题,共80 分) 15、 (共 13 分)解: ()因为sin
12、3cosbAaB,由正弦定理可得sinsin3 sincosBAAB, 因为在ABC中,sin0A,所以tan3B. 又0B,所以 3 B. ()由余弦定理 222 2cosbacacB,因为 3 B,23b,所以 22 12acac . 因为 22 2acac,所以 12ac. 当且仅当23ac时, ac 取得最大值12. 16、 (共 14 分) 证明()取AB的中点F,连结PF,EF 因为P是BC的中点, 所以ACFP /,ACFP 2 1 因为/EDAC,且 11 22 EDABAC, 所以FPED /,且EDFP, 所以四边形 EFPD 是平行四边形 所以EFDP / 因为EF平面E
13、AB,D P平面EAB,所以/DP平面EAB ()因为90BAC,平面EAC D平面ABC, 所以以点A为原点, 直线AB为 x 轴,直线AC为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系xyzA,则z轴 在平面EACD内 由已知可得(0, 0, 0)A,(2 , 0 , 0)B,(0 , 1,3)E,(0 , 2 ,3)D 所以(2 ,1 ,3)EB,(0 , 1, 0)ED, 设平面EBD的法向量为(,)xyzn 由 0 , 0 . EB ED n n 所以 230 , 0 . xyz y 取2z,所以(3 , 0 , 2)n 又因为平面ABC的一个法向量为(0 , 0 , 1)m 所以 27 co
14、s, 7 n m nm n m 2013 东城高三数学一模理科第 5 页 共 7 页 5 即平面 EBD 与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为 27 7 17、 (共 13 分) ()由题意可知所得奖品个数最大为10,概率为: 2 2 2 6 1 15 A p A ()X的可能取值是:0, 2, 4, 6, 8,10 X 0 2 4 6 8 10 p 1 5 1 5 1 5 4 15 1 1 5 1 15 所以 111411 02468104 555151515 EX 18、 (共 14 分) 解: ()当0a时, 2 () x fxx e 2 ()2(2) xxx fxxex exex所以
15、(2)0f () 22 ()(2)ee()e(2) xxx fxxaxaxaxa xe(2) x x xa 令()0fx,得0 x或2xa 当20a,即2a时, 2 ()e0 x fxx恒成立, 此时()fx在区间(,)上单调递减,没有极小值; 当20a,即2a时, 若0 x,则()0fx若02xa,则()0fx 所以0 x是函数()fx的极小值点 当20a,即2a时,若0 x,则()0fx若20ax,则()0fx 此时0 x是函数()fx的极大值点 综上所述,使函数()fx在0 x时取得极小值的a 的取值范围是2a ()由()知当2a,且2xa时,()0fx, 因此2xa是()fx的极大值点
16、,极大值为 2 (2)(4)e a faa 所以 2 ()(4)e(2) x gxxx 222 ()ee(4)(3)e xxx gxxx 令 2 ()(3)e(2) x h xxx 则 2 ()(2)e0 x hxx恒成立,即()h x在区间(, 2)上是增函数 所以当2x时, 22 ()(2)(32)e1h xh,即恒有()1gx 又直线320 xym的斜率为 3 2 , 所以曲线()yg x不能与直线320 xym相切 19、 (共 13 分)解:(I )由题意知,48a,所以2a因为 1 2 e 所以 222 2 22 3 1 4 bac e aa ,所以 2 3b 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy ( II )由题意 , 当直线AB的斜率不存在,此时可设 00 (,)A xx, 00 (,)Bxx. 又A,B两点在椭圆 C 上,所以 22 00 1 43 xx , 2 0 12 7 x 2013 东城高三数学一模理科第 6 页 共 7