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1、不确定条件下的选择理论,熊和平 2009年秋季,主要内容,引言：问题的提出和简单历史 不确定条件下的选择公理与期望效用理论 期望效用理论的挑战 期望效用理论的一些替代 随机占优理论 风险厌恶及其度量 一些常见的效用函数,一、引言,问题的提出： 金融经济学研究的环境大多是不确定环境，即未来结果的不确定性。通常用彩票来代替不确定性。 投资者面对不确定性结果如何进行选择是我们面对的首要问题。,简单的历史回顾,二十世纪六十年代：不确定条件下的选择理论被视为经济分析中成功之典范： 它以公理化体系为基础，在风险分析、风险厌恶及其在经济问题中的应用取得了重大突破。 为其后经济学中出现的“信息革命”准备了坚实
2、的基础。 到了80年代：该理论被认为是一个变动不居的领域（非成熟的理论） 标准的理论在多方面遭到来自经济学内、外的挑战。,古典观点：基数理论与风险态度 简单历史： 17世纪现代概率论的创始人帕斯卡（Pascal）和费玛（Fermat）为代表的学者认为：人们对不确定结果（或博弈）的评判标准应该是其期望值。 Nicholas Bernoulli(1728)构造反例来反驳之St. Petersburg Paradox Gabriel Gramer 和Daniel Bernoulli(1738/1954)对此问题提出合理的解，实际已具备EUT的思想，他们认为：$200的赢利并非$100赢利的两倍。他们
3、的解可以用EUT来表述。,Von Neumann-Morgenstern（1944）和Savage(1954) 提出期望效用理论，该理论共享了标准的消费者理论中的很多假设，但又有很多的不相同： 消费理论序数效用理论可以对效用函数进行任意的单调变换 EU理论基数效用理论只能进行平移变换，不改变函数形状。,一个现代的角度：一种可检验的线性概率 关于概率的线性 放弃关于支付的线性性： 代之以关于概率的线性： 一个有用的分析方法：Machina 三角 考虑三状态简单情形：考虑包含 水平的预期结果的集合，对应的概率 并在 平面内分析,Machina三角,二、不确定条件下的选择公理与期望效用理论,公理化体
4、系 期望效用理论,1、公理化体系,记号： A行为集； 可选择行为 L彩票( lottery) 偏好于 无差异,A lottery(彩票）,Set of possible outcomes: X=x1,xS; Objective probabilities: p1 , , pS nonnegative, summing up to 1. A lottery: L=(x1,p1;xS,pS),讲解,早期学者将不确定性和风险区分开来，将不确定性分为确定的确定性（即风险）和不确定、不可度量的不确定性（如奈特，1957），现在一般不加区分。 所谓不确定性是指未来有多种可能情形发生，每种情形下的结果（收益
5、）已知，而且各种情形发生的概率已知。通常用彩票来代替之。,图示,A Simple lottery: L=(x1,p1;xS,pS),A Simple lottery and Machina Triangle,The set of all lotteries on outcomes X is denoted When S=3, we can represent a lottery by a point which is so-called Machina triangle,讲解,为了分析问题的方便，往往简化问题，如将支付固定而让概率变化，不同的概率分布代表不同的彩票。 进一步的简化方式是考虑三状
6、态情形，如果三状态情形结果不成立，则多状态下结果也不成立。这就是构造Machina三角的出发点。,A Compound lottery,A Compound lottery is a lottery whose outcomes are lotteries. A compound lottery： L has the same vector of probabilities as,Choice under uncertainty,Insurance choice, portfolio management, risk management, inventories with uncertain
7、 flows, capacity choice under uncertain price,.: Ranking of lotteries ! Preference functional: V(L)=V(p1,x1;pS,xS),选择公理： 完备性公理（completeness)： 则要么 要么 传递性公理（Transitivity)： 若 且 则 独立性公理(strong independence)： 若 则,可量化公理(Measurability)： 若 或 则存在唯一的 使得： 排序公理（Ranking)： 若 和 且满足 和 则 或,Copeland 五公理 完备性、传递性、强独立性、
8、可度量性、排序性 Ingersoll 六公理 完备性、自反性、传递性、连续性、独立性、占优性(dominance) Gollier 理性投资者加两个公理 连续性、 独立性 问题：进一步对照不同文献中的公理体系，并说明为何各自包含的公理不相同。,2、期望效用函数,V-M定理： 如果偏好关系 满足上述五个公理，则在A上存在期望效用函数 ，满足： 期望效用函数:,The Expected utility Theorem,命题1：若在确定结果的选择集上的理性偏好满足连续性公理，则存在函数： 使得：,The Expected utility Theorem,定理1（期望效用）： 若定义在简单彩票空间上的
9、理性偏好满足连续性公理和独立性公理，则该偏好可以表示为关于概率为线性的偏好函数。即：,例1：抛一枚均匀的色子，出现 i 点则赢利i元，该博弈的效用为： 例2：某股票期末价值 W服从正态分布W 其效用为：,三、期望效用理论的挑战,在期望效用理论提出的同时，人们就已通过实验来检验该理论的合理性。 大量的实验经济学结果对一些看似正确无疑的公理提出了质疑。 阿莱斯悖论首先对独立化公理提出挑战。,A、 Allais paradox,Paradox: Na preferred to Nb, and Mb preferred to Ma,A、阿莱斯悖论（Allais，1952，Econometrica）,试
10、验结果: 理论分析：,挑战什么？,对 lottery进行分解： A1与A2 89% 100 89% 100 11% 100 11% G A3与A4 89% 0 89% 0 11% G 11% 100 10/11 500 G 1/11 0,B、更多的反例： Kahneman Markowtz 度量风险溢价 确定性等价（certainty equivalent) 风险溢价（risk premium),具体地：,Arrow-Pratt度量：,Arrow-Pratt度量： 风险容忍系数 （absolute risk tolerance),两种方法的比较： 例子（Copeland）： 某人具有对数效用函
11、数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策： （1） 50% $10 A 50% $10 (2) 80% -$1,000 B 20% -$10,000,Arrow-Pratt度量 Markowtz 度量 请问你有何结论？,风险厌恶的比较： u1 is more risk-averse than u2 if the former dislikes all lotteries for which the latter is indifferent, at all wealth levels: for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X) u1(w0). NS
12、C:,More risk aversion,Decreasing absolute risk aversion (DARA),It is widely accepted that p is a decreasing function of w0. This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0. DARA is equivalent to:,五、典型的效用函数(静态),CARA: u(z)=-exp(-Az); A(z)=A CRRA: u(z)=z1-g/1-g; A(z)=g/z LN: u(z)=ln(z) A(z)=1/z Q
13、uad: u(z)=cz-0.5z2; A(z)=(c-z)-1 They all belong to the HARA family:,二次效用函数： CARA或指数效用函数： CRRA效用函数：,HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用函数： CRRA CARA,Your own degree of risk aversion,Suppose that your wealth is currently equal to 100. There is a fifty-fifty chance of gaining or losing a% of th
14、is wealth. How much are you ready to pay to eliminate this risk? u(100(1-P)=0.5 u(100(1-a)+0.5 u(100(1+a). Suppose CRRA + estimate g from above eq.,Estimation of relative RA,典型的效用函数(动态),最简单情形：跨时可加 或 跨时依赖： habit formation(见Chan&Kogan，2002） spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）,递归效用 Epstein 和Zin（1
15、989、1991）,参考文献：,Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296 Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic Literature :332-382 Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of decision under risk. Econometrica 47: 263-291,
