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1、1 高三年级第二次调研测试 数学试题 一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1、已知集合2,0 ,2,3AB，则ABU 2、已知复数z满足(1)2i zi，其中i为虚数单位，则z的模为 3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 4、根据如图所示的伪代码，则输出S的值为 5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 6、若抛物线 2 8yx的焦点恰好是双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的右焦点，则实数a的值为 7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧
2、面积为 34 4246 52 8 0S 1I While5I 1II SSI End Whlie PrintS 2 8、若函数( )sin()(0) 6 f xx的最小正周期为 1 5 ，则 1 ( ) 3 f的值为 9、已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2233 23,23SaSa，则公比q的值为 10、已知函数( )f x是定义R在上的奇函数，当0 x时，( )23 x f x，则不等式 ( )5f x 的解集为 11、若实数,x y满足 1 33(0) 2 xyxx，则 31 3xy 的最小值为 12、已知非零向量,a b r r 满足abab rrrr ，则a r 与2ab
3、 rr 夹角的余弦值为 13、 已知,A B是圆 22 1:1Cxy上的动点，3AB，P是圆 22 2:(3)(4)1Cxy 上的动点，则PAPB uu u ruu u r 的取值范围为 14、已知函数 32 sin ,1 ( ) 925,1 xx f x xxxa x ，若函数( )f x的图象与直线yx有三 个不同的公共点，则实数a的取值集合为 二、解答题（本大题共6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤） 15、在ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c已知2cos( coscos)A bCcBa （1）求角A的值； （2）若 3 cos 5 B，求s
4、in()BC的值 3 16、如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形， EAEB，点,M N分别是,AE CD的中点 求证： （1）直线MN平面EBC； （2）直线EA平面EBC 17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的 正西方向1km处， 3 tan, 44 BANBCN现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有 两种铺设方案：沿线段AB在水下铺设；在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地 下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、 4万元km （1）求,A B两镇间的距离； （2）应该如
5、何铺设，使总铺设费用最低？ 4 18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且右焦点F到左准线的距离为6 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设 A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于 x轴上方的点，直线 PA交y轴于点 M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N （）当直线的PA斜率为 1 2 时，求FMN的外接圆的方程； （）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值 5 19、已知函数 2 ( ),( )ln, 2 R x f xax g xxax a e （1）解关于()Rx x的不等式( )0f x ； （2）
6、证明：( )( )f xg x； （3）是否存在常数,a b，使得( )( )f xaxbg x对任意的0 x恒成立？若存在，求 出,a b的值；若不存在，请说明理由 6 20、已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 且 11 ,(1)(1)6() nnn aa aaSn，Nn （1）求数列 n a的通项公式； （2）若对于Nn ，都有(31) n Snn成立，求实数a取值范围； （3）当 2a 时，将数列 n a中的部分项按原来的顺序构成数列 n b，且 12 ba，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列 n b 7 高三年级第二次调研测试 数学（必做题）参考答案与评分标准 一、填空题
7、：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分 1 3, 0, 2223144205 3 1 61758 1 2 9210(, 311812 5 7 14 137,1314 20, 16 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分 15 （1）由正弦定理可知，2cos(sincossincos )sinABCCBA， 2 分 即2cossinsinAAA，因为(0, )A，所以sin0A， 所以2cos1A，即 1 cos 2 A， 4 分 又(0, )A，所以 3 A 6 分 （2）因为 3 cos 5 B，(0, )B，所以 2 4 sin1cos 5 BB，8 分 所以 24 sin
8、 22sincos 25 BBB， 2 7 cos212sin 25 BB， 10 分 所以 22 sin()sin()sin(2) 33 BCBBB 22 sin2coscos2sin 33 BB12 分 24173 () 252252 7 324 50 14 分 16 （1）取BE中点F，连结CF，MF， 又M是AE的中点，所以 1 2 MFAB ， 又N是矩形ABCD边CD的中点， 所以 1 2 NCAB ，所以MFNC ， 所以四边形MNCF是平行四边形，4 分 所以MNCF， 又MN平面EBC，CF平面EBC， 8 所以MN平面EBC7 分 （2）在矩形ABCD中，ABBC， 又平面
9、EAB平面ABCD，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD， 所以BC平面EAB，10 分 又EA平面EAB，所以EABC， 又EBEA，BCEBBI，EB，BC平面EBC， 所以EA平面EBC14 分 17 （1）过B作MN的垂线，垂足为D 在RtABD中， 3 tantan 4 BD BADBAN AD ， 所以 4 3 ADBD， 在RtBCD中，tantan1 BD BCDBCN CD ， 所以CDBD 则 41 1 33 ACADCDBDBDBD，即3BD， 所以3CD， 4AD ， 由勾股定理得， 22 5ABADBD(km) 所以 A，B两镇间的距离为5km 4 分 （2）
10、方案：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5420(万元 ) 6 分 方案：设BPD，则 0 (,) 2 ，其中 0 BAN， 在RtBDP中， 3 tantan BD DP， 3 sinsin BD BP， 所以 3 44 tan APDP 则总铺设费用为 6122cos 24886 tansinsin APBP 8 分 设 2cos ( ) sin f，则 2 22 sin(2cos )cos12cos ( ) sinsin f， 令( )0f，得 3 ，列表如下： 0 (,) 3 3 (,) 3 2 ( )f0 9 ( )f 极小值 所以( )f的最小值为 ( )3 3 f 所以方案的总
11、铺设费用最小为86 3(万元 )，此时43AP 12 分 而86 320， 所以应选择方案进行铺设，点 P选在A的正西方向 (43)km 处，总铺设费用 最低14 分 18 （1）由题意，得 2 2 , 2 6 2, c a a c c 解得 4, 22, a c 则2 2b， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 168 xy 4 分 （2）由题可设直线PA的方程为(4)yk x，0k，则(0,4 )Mk， 所以直线FN的方程为 22 (2 2) 4 yx k ，则 2 (0,)N k (i)当直线PA的斜率为 1 2 ，即 1 2 k时，(0,2)M，(0, 4)N，(2 2,0)F， 因为M
12、FFN，所以圆心为(0, 1)，半径为3， 所以FMN的外接圆的方程为 22 (1)9xy8 分 (ii) 联立 22 (4), 1, 168 yk x xy 消去y并整理得， 2222 (12)1632160kxk xk， 解得 1 4x或 2 2 2 48 12 k x k ，所以 2 22 488 (,) 1212 kk P kk ，10 分 直线AN的方程为 1 (4) 2 yx k ，同理可得， 2 22 848 (,) 1212 kk Q kk ， 所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点 所以APQ的面积 2 11632 ()28 2 1 212 2 PQ k SOAyy k k k
13、 ， 14 分 当且仅当 1 2k k ，即 2 2 k时，取“” 所以APQ的面积的最大值为8216 分 19 （1）当0a时， 2 ( ) 2e x f x，所以( )0f x 的解集为0； 10 当0a时，( )() 2e x f xxa， 若0a，则( )0f x 的解集为0,2e a； 若0a，则( )0f x 的解集为2e ,0a 综上所述，当0a时，( )0f x 的解集为0； 当0a时，( )0f x 的解集为0,2e a； 当0a时，( )0f x 的解集为2e ,0a4 分 （2）设 2 ( )( )( )ln 2e x h xf xg xx，则 2 1e ( ) ee x
14、x h x xx 令( )0hx，得ex，列表如下： x (0,e)e( e,) ( )h x 0 ( )h x 极小值 所以函数( )h x的最小值为(e)0h， 所以 2 ( )ln0 2e x h xx，即( )( )f xg x8 分 （3）假设存在常数a ，b使得( )( )f xaxbg x对任意的0 x恒成立， 即 2 2ln 2e x axbx对任意的0 x恒成立 而当ex时， 2 1 ln 2e2 x x，所以 11 2e 22 ab， 所以 1 2e 2 ab，则 1 2e 2 ba， 所以 22 1 222e0(*) 2e2e2 xx axbaxa 恒成立， 当0a时，
15、1 2e0 2 a，所以(*)式在(0,)上不恒成立； 当0a时，则 2 21 4(2e)0 e2 aa，即 21 (2)0 e a， 所以 1 2e a，则 1 2 b12 分 令 11 ( )ln 2 e xxx，则 e ( ) e x x x ，令 ( )0 x ，得 ex ， 当0ex时，( )0 x，( ) x在(0,e)上单调增； 11 当ex时，( )0 x，( )x在( e,)上单调减 所以( ) x的最大值(e)0 所以 11 ln0 2e xx恒成立 所以存在 1 2 e a， 1 2 b符合题意16 分 20 （1）当1n=时， 121 (1)(1)6(1)aaS+=+，
16、故 2 5a =； 当2n时， 11 (1)(1)6(1) nnn aaSn - +=+-， 所以 +111 (1)(+1(1)(1)6()6(1) nnnnnn aaaaSnSn） - +-+=+-+-， 即 11 (1)()6(1) nnnn aaaa +-+-=+， 又0 n a ，所以 11 6 nn aa +- -=，3 分 所以 21 6(1)66 k aakka - =+-=+-， 2 5+6(1)61 k akk=-=-， * kN?， 故 * * 33, , 31, ,. n nann a nnn N N 为奇数 为偶数 ?+-? ? = ? -? ? ? 5 分 （2）当 n 为奇数时， 1 (32)(33) 6 n Snann=+-+-， 由(31) n Snn+得， 2 332 1 nn a n + + 恒成立， 令 2 332 ( ) 1 nn f n n + = + ，则 2 394 (1)( )0 (2)(1) nn f nf n
