西安电子科技大学郭宝龙《信号与系统》课件(完整版)-修订编选

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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第一章第一章信号与系统信号与系统1.11.1绪绪言言一一、信号的概念信号的概念二二、系统的概念系统的概念1.21.2信号的描述与分类信号的描述与分类一一、信号的描述信号的描述二二、信号的分类信号的分类1.31.3信号的基本运算信号的基本运算一一、加法和乘法加法和乘法二二、时间变换时间变换1.41.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一一、阶跃函数阶跃函数二二、冲激函数冲激函数三三、冲激函数的性质冲激函数的性质四四、序列序列(k)和和(k)1.51.5系统的性质

2、及分类系统的性质及分类一一、系统的定义系统的定义二二、系统的分类及性质系统的分类及性质1.61.6系统的描述系统的描述一一、连续系统连续系统二二、离散系统离散系统1.71.7LTILTI系统分析方法概系统分析方法概述述点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -2 2 2页页页电子教案电子教案思考问题思考问题：什么是信号什么是信号？什么是系统什么是系统？为什么把这两为什么把这两个概念联系在一起个概念联系在一起？一一、信号的概念信号的概念1. 消息消息(message):人们常常把来自外界的各种报道

3、统称为人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。消息消息：反映知识状态的改变反映知识状态的改变。2. 信息信息(information):通常把消息中有意义的内容称为通常把消息中有意义的内容称为信息信息。信息量信息量=收到消息前对某事件的无知程度收到消息前对某事件的无知程度收到消息后对某事件的无知程度收到消息后对某事件的无知程度1.1 绪言绪言第一章第一章信号与系统信号与系统它是信息论中的一个术语它是信息论中的一个术语。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -3 3 3页页页电子教案电子教案1.1 绪论绪论3. 信号信号(sign

4、al):信号信号是信息的载体是信息的载体。通过信号传递信息通过信号传递信息。信号我们并不陌生信号我们并不陌生，如刚才铃如刚才铃声声声信号声信号，表示该上课了表示该上课了；十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指指挥交通挥交通；电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电电信号信号；日常生活中的文字信号日常生活中的文字信号、图像信图像信号号、生物电信号等等生物电信号等等，都是信号都是信号。为了有效地传播和利用信息为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号换成便于传输和处理的信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与

5、系统教研中心第第第1 1 1- - -4 4 4页页页电子教案电子教案二二、系统的概念系统的概念一般而言一般而言，系统系统(system)(system)是指若干是指若干相互关联相互关联的的事物组合而成具有事物组合而成具有特定功能特定功能的的整体整体。如手机如手机、电视机电视机、通信网通信网、计算机网等都可以计算机网等都可以看成系统看成系统。它们所传送的语音它们所传送的语音、音乐音乐、图像图像、文字文字等都可以看成信号等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起紧密地联系在一起。信号的产生信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置传输和处理需要一定的物理

6、装置，这样的物理装置常称为这样的物理装置常称为系统系统。系统的基本作用是对输入系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理信号进行加工和处理，将其转将其转换为所需要的输出信号换为所需要的输出信号。系统系统系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应1.1 绪论绪论演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -5 5 5页页页电子教案电子教案1.1 绪论绪论本课程重点讨论通信本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的信号处理和控制等领域中的电子信息系统电子信息系统。举例说明举例说明:*. 通信系统通信系统*.控制系统控制系统

7、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -6 6 6页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类第一章第一章信号与系统信号与系统一一、信号的描述信号的描述信号信号是信息的一种物理体现是信息的一种物理体现。它一般是随时间它一般是随时间或位置变化的物理量或位置变化的物理量。信号信号按物理属性分按物理属性分：电信号和非电信号电信号和非电信号。它们它们可以相互转换可以相互转换。电信号容易产生电信号容易产生，便于控制便于控制，易于易于处理处理。本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“ 信号信号” 。电信号的基本形式电信号的

8、基本形式：随时间变化的电压或电流随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1 1）表示为时间的函数表示为时间的函数（2 2）信号的图形表示信号的图形表示-波形波形“ 信号信号” 与与“ 函数函数” 两词常相互通用两词常相互通用。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -7 7 7页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类二二、信号的分类信号的分类1. 确定信号和随机信号确定信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号可以用确定时间函数表示的信号，称为称为确定信号确定信号或或规则信号规则信号。如正弦信

9、号如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的它在任意时刻的取值都具有不确定性取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性只可能知道它的统计特性，如如在某时刻取某一数值的概率在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为这类信号称为随机信号随机信号或或不确定信号不确定信号。电子系统中的起伏热噪声电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰雷电干扰信号就是两种典型的随机信号信号就是两种典型的随机信号。研究确定信号是研究随机信号的基础研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只本课程只讨论确定信号讨论确定信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第

10、第第1 1 1- - -8 8 8页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号根据信号自变量为连续根据信号自变量为连续/ /离散的特点进行区分离散的特点进行区分。在连续的时间范围内在连续的时间范围内( (- -tt）有有定义的信号定义的信号称为称为连续时间信号连续时间信号，简称简称连续信号连续信号。函数值为连续时函数值为连续时常称为常称为模拟信号模拟信号。这里的这里的“ 连续连续” 指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的时间是连续的，但可含间断点但可含间断点，至于值域可连续也可不连续至于值域可连续也可不连续。tof1(t) = si

11、n(t)12to 121- 1- 11f2(t)值域连续值域连续值域不值域不连续连续（1 1）连续时间信号连续时间信号：演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -9 9 9页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号离散时间信号，简称简称离散信号离散信号。取值为规定数值时常称为取值为规定数值时常称为数字信号数字信号。这里的这里的“ 离散离散” 指信号的定义域指信号的定义域时间是离散的时间是离散的，它只它只在某些规定的离散瞬间给出

12、函数值在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义其余时间无定义。如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻t tk k(k(k = 0,= 0,1,1,2,2, ) )才有定义才有定义，其余时间无定义其余时间无定义。相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔T Tk k= =t tk+1k+1- -t tk k可可以相等也可不等以相等也可不等。通常取等间隔通常取等间隔T T，离散信号可表示为离散信号可表示为f(kT)，简写简写为为f(k)，这种等间隔的离散信号也这种等间隔的离散信号也常称为常称为序列序列。其中其中k称为称为序号序号。to2t11f(t)- 1.521t2t3t4t-1离

13、散时间信号离散时间信号：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -101010页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为ko211f(k)- 1.5212 3 4- 1用表达式可写为用表达式可写为k0413, 02, 21, 5 . 10, 21, 1)(其他，kkkkkkkf或写为或写为f(k)= ，0，1，2，- 1.5，2，0，1，0， k=0k=0通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“ 样值样值” 。信号与系统信号与系统信号与

14、系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -111111页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号周期信号周期信号(period signal)是定义在是定义在( (- -，) )区区间间，每隔一定时间每隔一定时间T T( (或整数或整数N N），），按相同规律重复按相同规律重复变化的信号变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的

15、最小满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。不不具有周期性的信号称为具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -121212页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例1 1 判断下列信号是否为周期信号判断下列信号是否为周期信号，若是若是，确定其周期确定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的

16、周期分别为T1和和T2，若其若其周期之比周期之比T1/T2为有理数为有理数，则其和信号则其和信号x(t)+y(t)仍然是周仍然是周期信号期信号，其周期为其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号是周期信号，其角频率和周期分别为其角频率和周期分别为1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= scos3t是周期信号是周期信号，其角频率和周期分别为其角频率和周期分别为2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于由于T1/T2= 3/2为有理数为有理数，故故f1(t)为周期信号为周期信号，其周期为其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2）

17、 cos2t 和和sint的的周期分别为周期分别为T1= s， T2= 2 s，由由于于T1/T2为无理数为无理数，故故f2(t)为非周期信号为非周期信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -131313页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例2 2 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号是否为周期信号，若若是是，确定其周期确定其周期。解解 f(k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,式中式中称为正弦序列的数字角频率称为正弦序列的数字角频率，单

18、位单位：rad。由上式可见由上式可见：仅当仅当2/ 为为整数时整数时，正弦序列才具有周期正弦序列才具有周期N = 2/ 。当当2/ 为为有理数时有理数时，正弦序列仍为具有周期性正弦序列仍为具有周期性，但其周但其周期为期为N= M(2/ )，M取使取使N为整数的最小整数为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列正弦序列为非周期序列。)(sin)2(sinmNkmk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -141414页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例3 3 判断下列序列是否为周期

19、信号判断下列序列是否为周期信号，若是若是，确定其周期确定其周期。（1 1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k)（2）f2(k) = sin(2k)解解（1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1= 3/4 rad， 2= 0.5 rad由于由于2/ 1= 8/3， 2/ 2= 4为为有理数有理数，故它们的周期故它们的周期分别为分别为N1= 8 ， N2= 4，故故f1(k) 为为周期序列周期序列，其周期为其周期为N1和和N2的的最小公倍数最小公倍数8。（2 2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1= 2 rad；

20、由于由于2/ 1=为无理数为无理数，故故f2(k) = sin(2k)为非为非周期序列周期序列。由上面几例可看出由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号连续正弦信号一定是周期信号，而而正弦序列不一定是周期序列正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一两连续周期信号之和不一定是周期信号定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列而两周期序列之和一定是周期序列。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -151515页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类4能量信号与功率信号能量信号与功率信号将信号将信号f

21、(t)施加于施加于1电阻上电阻上，它所消耗的瞬时功率它所消耗的瞬时功率为为| f (t) |2，在区间在区间( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定义为定义为（1）信号的能量信号的能量E ttfEd)(2def（2）信号的功率信号的功率P222defd)(1limTTTttfTP若信号若信号f (t)的能量有界的能量有界，即即 E ,则称其为则称其为能量能量有限信号有限信号，简称简称能量信号能量信号。此时此时 P = 0若信号若信号f (t)的功率有界的功率有界，即即 P ,则称其为则称其为功率功率有限信号有限信号，简称简称功率信号功率信号。此时此时 E = 信号与系统信号与系统信号与系统

22、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -161616页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类相应地相应地，对于对于离散信号离散信号，也有能量信号也有能量信号、功率信功率信号之分号之分。若满足若满足的的离散信号离散信号，称为能量信号称为能量信号。 kkfE2| )(|若满足若满足的的离散信号离散信号，称为功率信号称为功率信号。2/2/2| )(|1limNNkNkfNP时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能为能量信号量信号; 周期信号周期信号属于功率信号属于功率信号，而而非周期信号非周期信号可能可能是能

23、量信号是能量信号，也可能是功率信号也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如如 f (t) = et。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -171717页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类5一维信号与多维信号一维信号与多维信号从数学表达式来看从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个信号可以表示为一个或多个变量的函数变量的函数，称为称为一维一维或或多维函数多维函数。语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数可表示为声压随时间变化的函数，这是这

24、是一维信号一维信号。而一张而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不同的具有不同的光强度光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数数，这是这是二维信号二维信号。还有更多维变量的函数的信号还有更多维变量的函数的信号。本课程只研究本课程只研究一维信号一维信号，且自变量多为时间且自变量多为时间。6因果信号与反因果信号因果信号与反因果信号常将常将 t = 0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t) 即在即在t 0，则将则将f ( )右移右移；否则左移否则左移。如如f(t)to11右移右移t t 1f(t-1-1)to211左移左移t t + 1f(t+

25、1+1)to1- -1演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -212121页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移与反转相结合平移与反转相结合f(t)to11法一法一：先平移先平移f(t) f(t +2)再反转再反转 f(t +2) f(t +2)法二法二：先反转先反转 f(t) f(t)画出画出 f(2 t)。f(- -t)- -11to再平移再平移 f(t) f(t +2)f(t)to112to11 1f(- -t+2+2)- -1to1 1- -2f(t+2+2)左移左移右移右移= f (t 2)注

26、意注意：是对是对t 的变换的变换！信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -222222页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算3.3. 尺度变换尺度变换（横坐标展缩横坐标展缩）将将 f (t) f(a t) ，称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩则波形沿横坐标压缩；若若0 a 1 ，则则展开展开。如如tof(t)1- -22t 2t 压缩压缩to1- -1f(2t)1t 0.5t 展开展开to1- -4f(0.5 t)4对于离散信号对于离散信号，由于由于 f(a k

27、) 仅在为仅在为a k 为为整数整数时才有意义时才有意义，进行尺进行尺度变换时可能会使部分信号丢失度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换因此一般不作波形的尺度变换。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -232323页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移平移、反转反转、尺度变换相结合尺度变换相结合tof(t)1- -22例例1 已知已知f(t)，画出画出 f (4 2t)。f(t-4-4)426to1压缩压缩，得得f(2t 4)f(2t-4-4)213to1反转反转，得得f(2t 4

28、)- -1- -3f(- -2t-4-4)to1右移右移4，得得f(t 4)三种运算的次序可任三种运算的次序可任意意。但一定要注意始但一定要注意始终对时间终对时间 t 进行进行。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -242424页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算tof(t)1- -22压缩压缩，得得f(2t)f( 2t)- -11to1右移右移2，得得f(2t 4)f(2t-4-4)213to1反转反转，得得f(2t 4)- -1- -3f(- -2t-4-4)to1也也可以先压缩可以先压缩、再平移再平移、最

29、后反转最后反转。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -252525页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算若若已知已知f(4 2t) ，画出画出 f(t) 。- -1- -3f(- -2t- -4)to1反转反转，得得f(2t 4)f(2t- -4)213to1展开展开，得得f(t 4)to1 1f(t- -4)246左移左移4，得得f(t)tof(t)1- -22信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -262626页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和

30、冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数不同于普通函数，称为称为奇异函奇异函数数。研究奇异函数的性质要用到广义函数研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函或分配函数数）的理论的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一一、阶跃函数阶跃函数下面采用求函数序列极限下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示如图所示。ton1n11n21n to1(t)0, 10, 2/10, 0)(lim)(deftttttnn信号与

31、系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -272727页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号可以方便地表示某些信号f(t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t- 1) +(t- 2)(a)(b)f (t)f(t)(t)oottot(c)f(t)(t- -t1)- -(t- -t2)t1t2（2）用阶跃函数表示信号的作用区间用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分积分)(d)(ttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心

32、第第第1 1 1- - -282828页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数二二、冲激函数冲激函数单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数是个奇异函数，它是对强度极它是对强度极大大，作用时间极短一种物理量的理想化模型作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由它由如下特殊的方式定义如下特殊的方式定义（由由狄拉克狄拉克最早提出最早提出）1)(0, 0)(dttttto(1)(t)也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对对n(t)求求导得到如图所示的矩形脉冲导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn高度无穷大高度无穷大，宽

33、度宽度无穷小无穷小，面积为面积为1的对称窄脉冲的对称窄脉冲。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -292929页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系：tttd)(d)(to1(t)to(1)(t)ttd)()(可见可见，引入冲激函数之引入冲激函数之后后，间断点的导数也存间断点的导数也存在在。如如tof(t)21- -1f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求导求导1- -1otf(t)(2

34、)(- -2)ton1n11n21topn(t)n1n12nnntttpnnd)(d)(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -303030页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数三三、冲激函数的广义函数定义冲激函数的广义函数定义普通函数普通函数，如如 y=f(t) 是将一维实数空间的数是将一维实数空间的数t经过经过 f 所规定所规定的运算映射为一维实数空间的数的运算映射为一维实数空间的数y。1 1、广义函数的概念广义函数的概念将普通函数的概念推广将普通函数的概念推广，广义函数可以这样定义广义函数可以这样定义

35、：选择一类性能良好的函数选择一类性能良好的函数，称为检验函数称为检验函数( (相当于自相当于自变量变量) )，一个广义函数一个广义函数g(tg(t) )对检验函数空间中的每个函数对检验函数空间中的每个函数赋赋予一个数值予一个数值N N的映射的映射，该数与广义函数该数与广义函数g(t)和检验函数和检验函数有关有关，记作记作gg 。( ) t( ) t( ) t( ) t( ) t ( )( ) ( )gNtg tt dt 广义函数可写为广义函数可写为:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -313131页页页电子教案电子教案表表1.1

36、广义函数与普通函数的对应关系广义函数与普通函数的对应关系1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数广义函数广义函数普通函数普通函数函数值函数值定义域定义域自变量自变量定义式定义式类类型型 ( )( ) ( )gNtg tt dt )(tfy )(t)(t)(tf),(21tt)(tNgt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -323232页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数2 2、广义函数的性质广义函数的性质性质性质1 1（相等相等）：）：1212( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ggg t

37、t dtNtNtg tt dt 若若12( )( )g tg t则则性质性质2 2（相加相加）：）：12 ( ) ( ) ( )gggNtNtNt若若12( )( )( )g tg tg t则则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -333333页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)(1)()()(ataNtNtgatg性质性质3 3（尺度变换尺度变换）：）：性质性质4 4（微分微分）：）：)() 1()()()()()()(tNtNnntgtgn信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电

38、路与系统教研中心第第第1 1 1- - -343434页页页电子教案电子教案定义定义按广义函数理论按广义函数理论，冲激函数由下式确定冲激函数由下式确定即冲激函数即冲激函数(t)作用于检验函数作用于检验函数(t)的效果是给的效果是给它赋值为它赋值为(0) 。( ) ( )(0)tt dt 这常称为这常称为冲激函数冲激函数的的取样性质取样性质( (或筛选性质或筛选性质) )。简简言之言之，能从检验函数能从检验函数(t)(t)中筛选出函数值中筛选出函数值(0)(0)的的广义函数就称为冲激函数广义函数就称为冲激函数(t)(t)。.1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3 3、冲激函数的广义函数

39、定义冲激函数的广义函数定义信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -353535页页页电子教案电子教案实际上实际上，许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性质质，可以用它们来定义冲激函数可以用它们来定义冲激函数(t) ，例如例如高斯高斯（钟形钟形）函数函数2()( )limbtbtbe点击看图形点击看图形取样函数取样函数sin()( )limbbttt点击看图形点击看图形双边指数函数双边指数函数01( )lim2tbbteb点击看图形点击看图形220( )lim()bbtbt以及以及点击看图形点击

40、看图形等等等等。1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -363636页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数高斯高斯（钟形钟形）函数函数2()( )limbtbtbe信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -373737页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数取样函数取样函数sin()( )limbbttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第

41、第1 1 1- - -383838页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数双边指数函数双边指数函数01( )lim2tbbteb信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -393939页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数220( )lim()bbtbt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -404040页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数四四、冲激函数的性质冲激函数的性质1.1. 与普通函数与普

42、通函数 f(t) 的乘积的乘积取样性质取样性质若若f(t)在在 t = 0 、 t = a处存在处存在，则则f(t)(t) = f(0)(t) ， f(t)(t a) = f(a)(t a)0(d)()(ftttf)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211 t?d)() 1(12t022其它, 011,2tt(t)(d)()(aftattf)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第

43、1 1 1- - -414141页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数2.2. 冲激函数的导数冲激函数的导数 (t)（也称冲激偶也称冲激偶）证明证明： f(t)(t) = f(t) (t) + f (t)(t)f(t) (t) = f(t)(t)f (t)(t)= f(0) (t) f (0)(t) (t)的的定义定义：)0( d)()( fttft(n)(t)的的定义定义：)0() 1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt)()0()()0()()(tftfttf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电

44、子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -424242页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3.3.(t)的的尺度变换尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn)0(1)()()()(, 0aadxaxxdttatatxaaa则上式可写为令则若) 0(1)()()()()()(, 0aadxaxxadxaxxdttataaa有则若)(|1)(taat综合以上结果综合以上结果，得得：特例特例：)(at证明见课本证明见课本P.21信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -434343页页页电子教案

45、电子教案推论推论:(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat(2t) = 0.5(t)() 1()()()(ttnnn(2)当当a = 1时时所以所以，(t) =(t) 为为偶函数偶函数， (t) = (t)为奇函数为奇函数1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -444444页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数已知已知f(t)，画出画出g(t) = f (t)和和 g(2t)求导求导，得得g(t)o2tf(t)-24(4)o2tg(t) =f(t)-

46、2-1压缩压缩，得得g(2t)(2)o1tg(2t)-1-1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -454545页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数4.4. 复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数的冲激函数，其中其中f(t)是普通函数是普通函数。并且并且f(t) = 0有有n个互不相等的实根个互不相等的实根 ti( i=1，2，，n)ttftftftd)(d)()(dd)(dd)( 1)(tfttftff(t)图示说明图示说明：例例f(t

47、)= t24(t24)=1 (t+2)+(t 2)f(t)t- -4- -22o1f(t) 2- -2to信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -464646页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt( t24) =1 (t+2)+(t 2)一般地一般地，niiitttftf1)()( 1)(这表明这表明，f(t)是位于各是位于各ti处处，强度为强度为的的n个冲个冲激函数构成的冲激函数序列激函数构成的冲激函数序

48、列。)( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果如果f(t)=0有重根有重根，f(t)无意义无意义。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -474747页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列这两个序列是普通序列。（1）单位单位(样值样值)序列序列(k)的的定义定义0, 00, 1)(defkkko11-1k(k)取样性质取样性质： f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfk f(k)(k k0) = f(k0)(k k0)例例?)( kk?)()5

49、( kkk?)( iik五五、序列序列(k)和和(k)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -484848页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数（2）单位阶跃序列单位阶跃序列(k)的的定义定义0, 00, 1)(defkkko11-1k(k)23（3）(k)与与(k)的的关系关系(k) =(k) (k 1) kiik)()(或或0)()(jjkk(k) =(k)+(k 1)+信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -494949页页页电子教案电子教案

50、1.5 系统的描述系统的描述1.5 系统的描述系统的描述描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描描述离散动态系统的数学模型是述离散动态系统的数学模型是差分方程差分方程。一一、连续系统连续系统1.1. 解析描述解析描述建立数学模型建立数学模型图示图示RLC电路电路，以以uS(t)作激励作激励，以以uC(t)作为响作为响应应，由由KVL和和VAR列方程列方程，并整理得并整理得uS(t)uC(t)LRC)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大

51、学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -505050页页页电子教案电子教案1.6 系统的描述系统的描述)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义抽去具有的物理含义，微分方程写成微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。MxCkf(t)其中其中，k为弹簧常数为弹簧常数，M为物体质为物体质量量，C为减振液体的阻尼系数为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力为初始外力。其运动方程为其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttx

52、M能用相同方程描述的系统称能用相同方程描述的系统称相似系统相似系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -515151页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述2.2. 系统的框图描述系统的框图描述上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系来说代表了某些运算关系：相相乘乘、微分微分、相加运算相加运算。将这些基本运算用一些理想将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系关系，这样画出的图称为这样画出的图称为模拟框图模拟框图，简称简称框图框图

53、。基基本部件单元本部件单元有有：积分器积分器：f (t)txxfd)(加法器加法器：f1(t)f2(t)f1(t)-f2(t)数乘器数乘器：af (t)或aaf (t)积分器的抗干扰性积分器的抗干扰性比微分器好比微分器好。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -525252页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述系统模拟系统模拟：实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图实验室实现实验室实现（模拟系统模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知已知y” (t) + ay (t)+ by(t) = f(t)，画出框图画

54、出框图。解解：将方程写为将方程写为y” (t) = f(t) ay (t) by(t)y(t)y(t)y(t)abf(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -535353页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述例例2：已知已知y” (t) + 3y (t)+ 2y(t) = 4f (t) + f(t)，画框图画框图。解解：该方程含该方程含f(t)的导数的导数，可引入辅助函数画出框图可引入辅助函数画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足 x” (t) + 3x (t)+ 2x(t) = f(t)可推导出可推导出 y(

55、t) = 4x (t) + x(t)，它满足原方程它满足原方程。x(t)x(t)x(t)32f(t)y(t)4信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -545454页页页电子教案电子教案例例3：已知框图已知框图，写出系统的微分方程写出系统的微分方程。1.5 系统的描述系统的描述y(t)3423f(t)解解：设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x (t)x” (t)x” (t) = f(t) 2x (t) 3x(t) ,即即x” (t) + 2x (t) + 3x(t) = f(t)y(t) = 4x (t)+ 3x(t)根据前面

56、根据前面，逆过程逆过程，得得y” (t) + 2y (t) + 3y(t) = 4f (t)+ 3f(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -555555页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述二二、离散系统离散系统1.1. 解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程某人每月初在银行存入一定数量的款某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为月息为元元/元元，求第求第k个月初存折上的款数个月初存折上的款数。设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个上个月初的款数为月初的款数

57、为y(k- -1)，利息为利息为y(k- -1),则则y(k)=y(k- -1)+ y(k- -1)+f(k)即即y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有则有y(0)= f(0)。上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程之间所满足的差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为上述为一阶差分方程一阶差分方程。信号与系统

58、信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -565656页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统阶系统。描述描述LTI离散系统的是离散系统的是线性常系数差分方程线性常系数差分方程。2.2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有有：数乘器数乘器加法器加法器迟延单元迟延单元（移位器移位器）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -575757页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述例例：已

59、知框图已知框图，写出系统的差分方程写出系统的差分方程。y(k)D DD D5423f(k)解解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k- 1)x(k- 2)即即 x(k) +2x(k- 1) +3x(k- 2) = f(k)y(k) = 4x(k- 1) + 5x(k- 2)消去消去x(k) ，得得y(k) +2y(k- 1) +3y(k- 2) = 4f(k- 1) + 5f(k- 2)x(k)= f(k) 2x(k- 1) 3x(k- 2)方程方程框图框图用变换域方法和梅森公式简单用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论后面讨论。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科

60、技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -585858页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法一一、系统的定义系统的定义若干相互作用若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统成具有特定功能的整体称为系统。电子系统是电子元器件的集合体电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于电路侧重于局部局部，系统侧重于全部系统侧重于全部。电路电路、系统两词通用系统两词通用。二二、系统的分类及性质系统的分类及性质可以从多种角度来观察可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征分析研

61、究系统的特征，提出对系统进行分类的方法提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的下面讨论几种常用的分类法分类法。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -595959页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法1.1. 连续系统与离散系统连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号系统的输出信号也是连续信号也是连续信号，则称该系统为则称该系统为连续时间系统连续时间系统，简称为简称为连续系统连续系统。若系统的输入信号和输出信号均是离散信号若系统的输入信号和输出信号均是离

62、散信号，则称该系统为则称该系统为离散时间系统离散时间系统，简称为简称为离散系统离散系统。2.2. 动态系统与即时系统动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关关，而且与它过去的历史状况有关而且与它过去的历史状况有关，则称为则称为动态系统动态系统或或记忆系统记忆系统。含有记忆元件含有记忆元件(电容电容、电感等电感等)的系统是的系统是动态系统动态系统。否则称否则称即时系统即时系统或或无记忆系统无记忆系统。3.3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学

63、电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -606060页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法4.4. 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为满足线性性质的系统称为线性系统线性系统。（1 1）线性性质线性性质系统的激励系统的激励f ( )所引起的响应所引起的响应y( ) 可简记为可简记为 y( ) = T f ( )系统系统f()y()线性性质包括两方面线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。若系统的激励若系统的激励f ( )增大增大a倍时倍时，其响应其响应y( )也增大也增大a倍倍，即即T af ( ) = a T f ( )

64、则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。若系统对于激励若系统对于激励f1( )与与f2( )之和的响应等于各个激励所之和的响应等于各个激励所引起的响应之和引起的响应之和，即即T f1( )+ f2( ) = T f1( )+T f2( ) 则称该系统是则称该系统是可加的可加的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -616161页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法若系统既是齐次的又是可加的若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是则称该系统是线性的线性的，即即 Ta f1( ) + bf2( ) = a

65、T f1( ) + bT f2( )（2 2）动态系统是线性系统的条件动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f( ) 有关有关，而且与系统的而且与系统的初始状态初始状态x(0)有关有关。初始状态也称初始状态也称“ 内部激励内部激励” 。完全响应完全响应为为y( ) = T f( ) , x(0)零状态响应零状态响应为为yf( ) = T f ( ) , 0零输入响应零输入响应为为yx( ) = T 0，x(0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -626262页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方

66、法系统的性质及分析方法当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零零状态线性状态线性：Ta f ( ) , 0 = a T f( ) , 0Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1( ) , 0 + T f2( ) , 0或或Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1( ) , 0 +bT f2( ) , 0零零输入线性输入线性：T0,ax(0)= aT 0,x(0)T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)

67、可分解性可分解性：y( ) = yf( ) + yx( ) = T f ( ) , 0+ T 0，x(0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -636363页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例1：判断下列系统是否为线性系统判断下列系统是否为线性系统？（1） y(t) = 3 x(0) + 2 f(t) + x(0) f(t) + 1（2） y(t) = 2 x(0) + | f(t)|（3） y(t) = x2(0) + 2 f(t)解解：（1） yf(t) = 2 f(t) +1， yx(t)

68、 = 3 x(0)显然显然， y(t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性不满足可分解性，故为非线性故为非线性（2） yf(t) = | f(t)|， yx(t) = 2 x(0)y(t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性满足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af(t)| a yf(t) 不满足零状态线不满足零状态线性性。故为非线性系统故为非线性系统。（3） yf(t) = 2 f(t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性显然满足可分解性；由于由于T 0,a x(0) =a x(0)2a yx(t)不满足零输入线不满足零输入线性性。故为非线性

69、系统故为非线性系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -646464页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例2：判断下列系统是否为线性系统判断下列系统是否为线性系统？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解解：xxfxtyxtytftxd)()sin()(),0(e)(0y(t) = yf(t) + yx(t) ，满足可分解性满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(020102

70、1= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0)= aT0,x1(0) +bT0,x2(0),满足零输入线性满足零输入线性；所以所以，该系统为线性系统该系统为线性系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -656565页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法5.5. 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为满足

71、时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。（1 1）时不变性质时不变性质若系统满足输入延迟多少时若系统满足输入延迟多少时间间，其零状态响应也延迟多少时其零状态响应也延迟多少时间间，即若即若T0，f(t) = yf(t)则有则有T0，f(t - - td) = yf(t - - td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为时不变性时不变性（或或移位不变性移位不变性）。）。1 1o1 1f(t)1 12 2ttyf(t)oT2 22 2o1 1f(t-1-1)2 23 3ttyf(-1-1)oT1 11 1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1-

72、- -666666页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例：判断下列系统是否为时不变系统判断下列系统是否为时不变系统？（1） yf(k) = f(k) f(k 1)（2） yf(t) = t f(t)（3） yf(t) = f (t)解解(1)令令g(k) = f(k kd)T0， g(k) = g(k) g(k 1) = f(k kd) f(k kd 1 )而而yf(k kd) = f(k kd) f(k kd 1)显然显然 T0，f(k kd) = yf(k kd)故该系统是时不变的故该系统是时不变的。(2) 令令g(t) = f(t td)T0， g(t

73、) = t g(t) = t f(t td)而而yf(t td)= (t td) f(t td)显然显然T0，f(t td) yf(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -676767页页页电子教案电子教案(3) 令令g(t) = f(t td) ,T0，g(t) = g(t) = f(t td)而而 yf(t td) = f ( t td)，显然显然T0，f(t td) yf(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统。直观判断方法直观判断方法：若若f( )前出现变系数前出现变系数

74、，或有反转或有反转、展缩变换展缩变换，则则系统为时变系统系统为时变系统。1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -686868页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法（2 2）LTI连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论本课程重点讨论: :线性时不变线性时不变(Linear Time- Invariant)系统系统，简称简称LTI系统系统。微分特性微分特性：若若f (t) yf(t) ，则则f (t) y f(t)积分特性积分

75、特性：若若f (t) yf(t) ，则则ttxxyxxfd)(d)(f信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -696969页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法6.6. 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统零零状态响应不会出现在激励之前的系统状态响应不会出现在激励之前的系统，称为称为因果系统因果系统。即对因果系统即对因果系统，当当t t0，f(t) = 0时时，有有t t0，yf(t) = 0。如如下列系统均为下列系统均为因果系统因果系统：txxftyd)()(fyf(t) = 3f(t 1)而下

76、列系统为而下列系统为非因果系统非因果系统：(1) yf(t) = 2f(t + 1)(2) yf(t) = f(2t)因为因为，令令t=1时时，有有yf(1) = 2f(2)因为因为，若若f(t) = 0， t t0，有有yf(t) = f(2t)=0, t 0；当当x(0-) =2，输入信号输入信号f2(t)=3f1(t)时时，全响应全响应y2(t) = 2e t+3 cos(t)，t0；求输入求输入f3(t) =+2f1(t- 1)时时，系统的零状态响应系统的零状态响应y3f(t) 。ttfd)(d1解解设当设当x(0) =1，输入因果信号输入因果信号f1(t)时时，系统的零输系统的零输

77、入响应和零状态响应分别为入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当当x(0-)=2，输入信号输入信号f2(t)=3f1(t)时时，系统的零输入响应和零系统的零输入响应和零状态响应分别为状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -717171页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法由题中条件由题中条件，有有y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t+ cos(t)，t0（1）y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = 2e t+3 co

78、s(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性根据线性系统的齐次性，y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式代入式（2）得得y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t+3 cos(t)，t0 （3）式式(3)2式式(1)，得得y1f(t) = 4e- t+ cos(t)，t0由于由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响的零状态响应应，故当故当t0，y1f(t)=0；因此因此y1f(t)可改写成可改写成y1f(t) = 4e- t+ cos(t)(t)(4)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电

79、子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -727272页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法f1(t) y1f(t) = 4e- t+ cos(t)(t)根据根据LTI系统的微分特性系统的微分特性ttyttfd)(dd)(d1f1= 3(t) + 4 sin(t)(t)根据根据LTI系统的时不变特性系统的时不变特性f1(t 1) y1f(t 1) = 4 + cos(t 1)(t 1)由线性性质由线性性质，得得：当输入当输入f3(t) =+2f1(t 1)时时，ttfd)(d1y3f(t) =+ 2y1(t 1) = 3(t) + 4 sin(t)(

80、t)+ 2 4 + cos(t 1)(t 1)ttyd)(d1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -737373页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法7.7. 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统一个系统一个系统，若对有界的激励若对有界的激励f(.)所产生的零状态所产生的零状态响应响应yf(.)也是有界时也是有界时，则称该系统为则称该系统为有界输入有界输有界输入有界输出稳定出稳定，简称简称稳定稳定。即即若若f(.)，其其yf(.)则称系统是稳定的则称系统是稳定的。如如yf(k) = f(k) +

81、 f(k- 1)是是稳定系统稳定系统；而而txxftyd)()(f是不稳定系统是不稳定系统。因为因为，当当f(t) =(t)有界有界，tttxx)(d)(当当t 时时，它也它也，无无界界。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -747474页页页电子教案电子教案系统分析研究的系统分析研究的主要问题主要问题：对给定的具体系统对给定的具体系统，求求出它对给定激励的响应出它对给定激励的响应。具体地说具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答并求出解答。系统的系统的分析方法分析方法：输入输出法输入

82、输出法（外部法外部法）状态变量法状态变量法（内部法内部法）（）（chp.8)外部法外部法时域分析时域分析（chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)和和复频域法复频域法(5)离散系统离散系统 z域法域法（chp6)系统特性系统特性：系统函数系统函数（chp.7)三三、LTI系统的分析方法系统的分析方法1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -757575页页页电子教案电子教案（1）把把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求分开求。（2）把复杂信号

83、分解为众多基本信号之和把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据根据线性系统的可加性线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和之和。求解的求解的基本思路基本思路：采用的数学工具采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换傅里叶变换（3）拉普拉斯变换拉普拉斯变换（4）Z变换变换1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -767676页页页电子教案电子教案例例1

84、计算下列各题计算下列各题。dtttt)()2sin() 1 (dttttt) 1() 153()2(23dttt)2() 5() 3(3tdxxx)()2()4(第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -777777页页页电子教案电子教案解解：dtttt)()2sin() 1 (2)2sin(lim0ttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -787878页页页电子教案电子教案解解：dttttt) 1() 153()2(

85、232)563() 153(12123ttttttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -797979页页页电子教案电子教案解解：dttt)2() 5() 3(310)5(2)(2)5(033ttdttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -808080页页页电子教案电子教案解解：tdxxx)()2()4()()(2)() 1()(2ttdxxxt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西

86、安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -818181页页页电子教案电子教案第一章补充例题第一章补充例题例例2：下列差分方程描述的系统下列差分方程描述的系统，是否线性是否线性？是否时不变是否时不变？并写出方程的阶数并写出方程的阶数。（1）y(k) + (k 1)y(k 1) = f(k)（2） y(k) + y(k+1) y(k 1) = f2(k)（3） y(k) + 2 y(k 1) = f(1 k)+1解解：判断方法判断方法：方程中均为输出方程中均为输出、输入序列的一次关系输入序列的一次关系项项，则是线性的则是线性的。输入输出序列前的系数为常数输入输出序列前的系数为常数，

87、且无反且无反转转、展缩变换展缩变换，则为时不变的则为时不变的。线性线性、时变时变，一阶一阶非线性非线性、时不变时不变，二阶二阶线性线性、时变时变，一阶一阶信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -828282页页页电子教案电子教案例例3的波形。和示，分别画出已知信号的波形如图所dttdftf)()(t) 15 . 0( tf012224t) 15 . 0 (tf012224反转反转，得得f (0.5t - 1)压缩压缩，得得 f (t- 1)左移左移1，得得f (t )t) 1( tf012211t)(tf012112第一章补充例题第一

88、章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -838383页页页电子教案电子教案t)(tf012112t)(tf 011121) 1(第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -848484页页页电子教案电子教案第一章第一章信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统

89、的响应一一、微分方程的经典解微分方程的经典解二二、关于关于0 0- -和和0+0+初始值初始值三三、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一一、冲激响应冲激响应二二、阶跃响应阶跃响应2.32.3卷积积分卷积积分一一、信号时域分解与卷积信号时域分解与卷积二二、卷积的图解卷积的图解2.42.4卷积积分的性质卷积积分的性质一一、卷积卷积代数代数二二、奇异函数的卷积特性奇异函数的卷积特性三三、卷积的微积分性质卷积的微积分性质四四、卷积的时移特性卷积的时移特性五五、相关函数相关函数2.52.5* *P P算子分析法算子分析法一一、微分算子及系统描述微

90、分算子及系统描述二二、零输入响应求解零输入响应求解三三、LTI连续系统的初始条件连续系统的初始条件四四、零状态响应的求解零状态响应的求解五五、由由H(P)H(P)求求h(t)h(t)点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -2 2 2页页页电子教案电子教案LTI连续系统的时域分析连续系统的时域分析，归结为归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t，故称为故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观这种方法比

91、较直观，物理物理概念清楚概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础是学习各种变换域分析法的基础。第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一一、微分方程的经典解微分方程的经典解y(n)(t) + an- 1y(n- 1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y(t)= bmf(m)(t) + bm- 1f(m- 1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的经典解微分方程的经典解：y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特

92、解）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -3 3 3页页页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程y(n)+an- 1y(n- 1)+ +a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定确定。（齐次解的函数形式见齐次解的函数形式见P41P41表表2 2- -1 1）特解特解的函数形式与激励函数的形式有关的函数形式与激励函数的形式有关。P41P41表表2 2- -2 2特征根r重实根1 2

93、j，一对共轭复根r重共轭复根单实根( )hy t齐次解tCe121210()rrtrrCtCtC tC e cos()sin()cos()tteCtDtAetCjD j或，其中Ae12112200cos()cos()cos()rrtrrrrA ttAttAte 齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励而与激励f(t)f(t)的的函数形式无关函数形式无关，称为系统的称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定的函数形式由激励确定，称为称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系

94、统教研中心第第第2 2 2- - -4 4 4页页页电子教案电子教案( )f t激励cos()sin()tt或( )pyt特解mtte1110mmmmP tPtPtP 1110rmmmmtP tPtPtP 所有的特征根均不等于0；有r重等于0的特征根；tPe1110()rrtrrPtP tPtP e 10()tPtP e不等于特征根；等于特征单根；等于r重特征根；cos()sin()Ptt+Qcos()t j或A,其中Ae =P+jQj所有的特征根均不等于例例描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y” (t) + 5y (t) + 6y(t) = f(t)；求求（1）当当f(t) =

95、 2e- -t，t0；y(0)=2，y (0)=1时的全解时的全解；（2）当当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y (0)=0时的全解时的全解。2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -5 5 5页页页电子教案电子教案解解: (1) 特征方程为特征方程为2+ 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐次解齐次解为为yh(t) = C1e2t+ C2e3t由表由表2- 2可知可知，当当f(t) = 2et时时，其其特解特解可设为可设为yp(t) = Qet将

96、其代入微分方程得将其代入微分方程得Qet+ 5(Qet) + 6Qet= 2et解得解得 Q=1于是于是特解特解为为yp(t) = et全解全解为为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e2t+ C2e3t+ et其中其中待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定由初始条件确定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y (0) = 2C13C21= 1解得解得 C1= 3 ，C2= 2最后得最后得全解全解y(t) = 3e2t2e3t+ et, t02.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第

97、第第2 2 2- - -6 6 6页页页电子教案电子教案（2）齐次解齐次解同上同上。当激励当激励f(t)=e 2t时时，其指数与特征根其指数与特征根之一相重之一相重。由表知由表知：其其特解特解为为yp(t) = (Q0+ Q1t)e 2t代入微分方程可得代入微分方程可得 Q1e- 2t= e 2t所以所以 Q1= 1 但但Q0不能求得不能求得。全解为全解为： y(t)= C1e 2t+ C2e 3t+ te 2t+ Q0e 2t= (C1+Q0)e 2t+C2e 3t+ te 2t代入初始条件代入初始条件，得得y(0) = (C1+Q0) + C2=1 ，y (0)= 2(C1+Q0) 3C2

98、+1=0解得解得 C1+ Q0= 2 ,C2= 1全解全解为为：y(t) = 2e 2te 3t+ te 2t, t0讨论讨论：因因上式第一项的系数上式第一项的系数C1+Q0= 2，不能区分不能区分C1和和Q0。2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -7 7 7页页页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应二二、用系数匹配法求用系数匹配法求0+0+初始值初始值若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统时接入系统，则确定待定系数则确定待定系数Ci时用时用t

99、 = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即即y(j)(0+) (j=0,1,2 ，n- 1)。而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用包含了输入信号的作用，不便于描述系统不便于描述系统的历史信息的历史信息。在在t=0- 时时，激励尚未接入激励尚未接入，该时刻的值该时刻的值y(j)(0- )反映了反映了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关而与激励无关。称这些值为称这些值为初始状态初始状态或或起始值起始值。通常通常，对于具体的系统对于具体的系统，初始状态一般容易求得初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程这样为求解微分方程，就需要就需要从已知的初始状态从已知的初始状态y(j)(0- )设法求得设法

100、求得y(j)(0+)。下列举例说明下列举例说明。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -8 8 8页页页电子教案电子教案例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y” (t) + 3y (t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t)已知已知y(0- )=2，y (0- )= 0，f(t)=(t)，求求y(0+)和和y (0+)。解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得y” (t) + 3y (t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t)（1）用用系数匹配法系数匹配法分析分析：上式对于

101、上式对于t=0- 也成立也成立，在在0- t 0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -121212页页页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yf(t) 满足满足yf” (t) + 3yf (t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有yf(0- ) = yf (0- ) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故故yf” (t)含有含有(t)，从而从而yf (t)跃变跃变，即即yf (0+)yf (0- )，而而yf(t)在在t = 0连续连续，

102、即即yf(0+) = yf(0- ) = 0，积分得积分得yf (0+)-yf (0- )+ 3yf(0+)-yf(0- )+20000d)(62d)(ttttyf因此因此，yf (0+)= 2 yf (0- )=2对对t0时时，有有yf” (t) + 3yf (t) + 2yf(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为D1e- t+ D2e- 2t，其特解为常数其特解为常数3，于是有于是有yf(t)=D1e- t+ D2e- 2t+ 3代入初始值求得代入初始值求得yf(t)= 4e- t+ e- 2t+ 3 ，t0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研

103、中心第第第2 2 2- - -131313页页页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一一、冲激响应冲激响应由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位单位冲激响应冲激响应，简称冲激响应简称冲激响应，记为记为h(t)。h(t)=T0,(t)例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y” (t)+5y (t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解根据根据h(t)的定义的定义有有h” (t) + 5h (t) + 6h(t) = (t)h (0- )

104、 = h(0- ) = 0先求先求h (0+)和和h(0+)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -141414页页页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有(t)，故故利用系数平衡法利用系数平衡法。h” (t)中含中含(t)，h (t)含含(t)，h (0+)h (0- )，h(t)在在t=0连续连续，即即h(0+)=h(0- )。积分得积分得h (0+) -h (0- ) + 5h(0+) - h(0- ) + 6= 100)( dtth考虑考虑h(0+)= h(0- )，由上式可

105、得由上式可得h(0+)=h(0- )=0 , h (0+) =1 + h (0- ) = 1对对t0时时，有有h” (t) + 5h (t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为微分方程的特征根为- 2，- 3。故系统的冲激响应为故系统的冲激响应为h(t)=(C1e- 2t+ C2e- 3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=- 1, 所以所以h(t)=( e- 2t- e- 3t)(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -151515页页页电子教案电子

106、教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y” (t)+5y (t)+6y(t)= f” (t) + 2f (t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解根据根据h(t)的定义的定义有有h” (t) + 5h (t) + 6h(t) =” (t)+ 2 (t)+3(t)(1)h (0- ) = h(0- ) = 0先求先求h (0+)和和h(0+)。由方程可知由方程可知， h(t) 中含中含(t)故故令令 h(t) = a(t) + p1(t)pi(t) 为为不含不含(t) 的某的某函数函数h (t) = a (t

107、) + b(t) + p2(t)h” (t) = a” (t) + b (t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -161616页页页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a” (t) + b (t)+ c(t) + p3(t) + 5a (t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) =” (t)+ 2 (t)+3(t)整理得整理得a” (t)+(b+5a) (t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p

108、1(t)=” (t) + 2 (t) + 3(t)利用利用(t) 系数匹配系数匹配，得得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) =(t) + p1(t)（2）h (t) = (t) - 3(t) + p2(t)（3）h” (t) =” (t) -3 (t) + 12(t)+ p3(t)（4）对式对式(3)从从0- 到到0+积分得积分得 h(0+) h(0- ) = 3对式对式(4)从从0- 到到0+积分得积分得 h (0+) h (0- ) =12故故h(0+) = 3， h (0+) =12信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第

109、2 2 2- - -171717页页页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为微分方程的特征根为2， 3。故系统的冲激响应为故系统的冲激响应为h(t)= C1e 2t+ C2e 3t， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h (0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以h(t)= 3e 2t6e 3t, t 0结合式结合式(2)得得h(t)=(t) + (3e 2t6e 3t)(t)对对t0时时，有有h” (t) + 6h (t) + 5h(t) = 0二二、阶跃响应阶跃响应g(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(

110、d)(,d)()(由于由于(t) 与与(t) 为为微积分关系微积分关系，故故信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -181818页页页电子教案电子教案例例3 3 如图所示的如图所示的LTILTI系统系统，求其阶跃响应及冲激响应求其阶跃响应及冲激响应。( )f t( )x t( )x t( )x t( )y t解解：（1 1）列写系统的微分方程列写系统的微分方程( )( )( )( )3 ( )2 ( )( )x tx tx tx tx tx tf t 设图中右端积分器的输出为，则其输入为，左端积分器的输入为。左端加法器的输出-( )

111、3 ( )2 ( )( )1x tx tx tf t 即+（）2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -191919页页页电子教案电子教案( )( )2 ( )( )3 ( )2 ( )( )2 ( )2y tx tx ty ty ty tf tf t 右端加法器的输出-所以，系统的微分方程为-（）（2 2）求阶跃响应求阶跃响应1( )2( )( )2( )tttt 111设式（）所描述的系统的阶跃响应为g，则式（）所描述的系统的阶跃响应为ggg( )( )3( )2( )( )(3)

112、(0 )(0 ) 0ttttt111111g满足方程ggg=gg=2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -202020页页页电子教案电子教案122121,2,0.5( ) (0.5) ( )tttC eC et 1其特征根其特解为，于是得g=( )( )( )( )(0 )(0 ) 0tttt111式（3）等号右端只有，故除了g外，g和g均连续，即有gg=1212(0 )0.50(0 )20CCCC11代入上式，有gg=-=1210.5CC 可解得：，2( ) (0.50.5) ( )t

113、tteet1于是g=2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -212121页页页电子教案电子教案222( ) (0.50.5) ( )() ( ) () ( )ttttttteeteeteet1其一阶导数g=2( )( )2( )( 321) ( )ttttteet11于是ggg（3 3）求冲激响应求冲激响应1( )2( )( )2( )tttt 111设式（）所描述的系统的冲激响应为h，则式（）所描述的系统的冲激响应为hhh( )( )3( )2( )( )(4)(0 )(0 ) 0t

114、tttt111111h满足方程hhh=hh=2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -222222页页页电子教案电子教案122341,2,0( ) () ( )(5)tttC eC et 1其特征根其特解为，于是得h=( )( )0(0 )(0 )( )( )( )( )( )00 ),(0 )(0 )3(0 )(0 )1tttttth th tt1111111-1111由系数平衡法，(4)式中h应包含冲激函数，从而h在处将跃变，即hh。但h不含冲激函数，否则h将含项。由于含有阶跃函数，

115、故在处连续。对(4)式等号两端积分(从0 到得hhhh( )0(0 )(0 )(0 )(0 ) 1(0 )(0 )0h tt111111考虑到在处连续。将h，h代入上式得hh=hh2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -232323页页页电子教案电子教案(0 )(0 )0(0 )(0 ) 111111即hhhh+3434(0 )0(0 )21CCCC 11代入(5)式，有hh=3411CC 可解得：，2( ) () ( )ttteet1于是h=2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃

116、响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -242424页页页电子教案电子教案2( )( 321) ( )ttteet刚才已经求得：g222( ) () ( )(2) ( ) (2) ( )ttttttteeteeteet1其一阶导数h=2( )( )2( )(34) ( )ttttteet 11于是hhhd ( )( )dg th tt验证结论验证结论（解法解法II）：）：2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -252525页

117、页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分2.32.3卷积积分卷积积分一一、信号的时域分解与卷积积分信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1)(1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1A)(1tptptf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -262626页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分(2)(2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1012)(tff(0)(f)( f“ 0” 号

118、脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“ 1” 号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用用p(t - - )表示为表示为：f() p(t - - )“ - -1” 号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为宽度为，用用p(t + +)表示表示为为：f ( - - ) p(t + + ) nntpnftf)()()( d)()()()(lim0tftftf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -272727页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用

119、下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTILTI系统系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义的定义：(t)h(t)由时由时不变性不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由由齐次性齐次性：f () h(t - -)由由叠加性叠加性：d)()( tfd)()( thff (t)yf(t)d)()()( thftyf卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -282828页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间已知定义在区间（，

120、）上的两个函数上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称简称卷积卷积；记为记为f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量积分是在虚设的变量下进行的下进行的，为积分变为积分变量量，t为参变量为参变量。结果仍为结果仍为t 的函数的函数。)(*)(d)()()(thtfthftyf 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -292929页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分例例1：f (t) = et,（- -t)

121、，h(t) = (6e- -2t1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t) d)( 1e6e)(2tt当当t t时时，(t - ) = 0 ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -303030页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分二二、卷积的图解法卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为

122、得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由由f2()反转反转 f2( )右移右移t f2(t- )（3）乘积乘积： f1() f2(t- )（4）积分积分：从从到到对乘积项积分对乘积项积分。注意注意：t为参变量为参变量。下面举例说明下面举例说明。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -313131页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分th( )f (t - )201321例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解采用图解法求卷积。f ( t - -)f

123、()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 ,f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂换元为换元为h()。f (t)换元换元f ()f (-)f (t-)t- 1tt- 1t t- 1ttyf(t )20134143tt- 1tt- 1 2t 3 时时432141d2

124、1)(221tttytf0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -323232页页页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐一般比较繁琐，但但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键分的上下限是关键。例例3：f1(t)、 f2(t)如图所示如图所示，已已知知f(t) = f2(t)* f1(t)，求求f(2) =？tf2( t )- 1131- 1f1( t )t2- 22f1(- -)f1(2- -)f1(2- -)f2()22- 2解解：d)

125、2()()2(12fff（1）换元换元（2） f1()得得f1( )（3） f1( )右移右移2得得f1(2 )（4） f1(2 )乘乘f2()（5）积分积分，得得f(2) = 0（面积为面积为0）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -333333页页页电子教案电子教案2.42.4卷积积分的性质卷积积分的性质2.42.4 卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质它有许多重要的性质（或运算规则或运算规则），），灵活地运用它们能简化卷积运算灵活地运用它们能简化卷积运算。下下面讨论均设卷

126、积积分是收敛的面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的或存在的）。）。一一、卷积代数卷积代数1 1 满足乘法的三律满足乘法的三律：（1）交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2）分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)（3）结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -343434页页页电子教案电子教案2.2. 复合系统的冲激响应复合系统的冲

127、激响应1( )h t2( )h t( )f t( )zsyt12( )( )( )h th th t1( )h t2( )h t( )f t( )zsyt1221( )( )*( )( )*( )h th th th th t2( )h t1( )h t( )f t( )zsyt2.42.4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -353535页页页电子教案电子教案2.42.4卷积积分的性质卷积积分的性质二二、奇异函数的卷积特性奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t)证证：)(

128、d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)* (t) = f (t)证证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f(n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -363636页页页电子教案电子教案2.42.4卷积积分的性质卷积积分的性质三三、卷积的微积分性质卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证证：

129、上式上式=(n)(t)*f1(t)* f2(t)= (n)(t)*f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证证：上式上式=(t) *f1(t)* f2(t)= (t) *f1(t) * f2(t) = f1( 1)(t) * f2(t)3. 在在f1() = 0或或f2( 1)() = 0的前提下的前提下，f1(t)* f2(t) = f1 (t)* f2( 1)(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -373737页页页电子教案电子

130、教案2.2.4 4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = e t(t)，求求f1(t)* f2(t)解解：通常复杂函数放前面通常复杂函数放前面，代入定义式得代入定义式得f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意注意：套用套用 f1(t)* f2(t) = f1 (t)* f2( 1)(t)= 0* f2( 1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = e t(t)，求求f1(t)* f2(t)()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf1(t)t201解法一解法一： f1(t

131、)* f2(t) = f1 (t)* f2( 1)(t)f1 (t) =(t) (t 2)f1(t)* f2(t)=(1- e t)(t) 1-e (t- 2)(t- 2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -383838页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质解解：f1(t) =(t) (t 2)f1(t)* f2(t)=(t) * f2(t) (t 2) * f2(t)(t) * f2(t)= f2(- 1)(t)四四、卷积的时移特性卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(

132、t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t)= f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2)前例前例：f1(t) 如图如图, f2(t) = e t(t)，求求f1(t)* f2(t)f1(t)t201利用时移特性利用时移特性，有有(t 2) * f2(t)= f2(- 1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- e t)(t) 1-e (t- 2)(t- 2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -393939页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质例例：f1

133、(t), f2(t)如图如图，求求f1(t)* f2(t)t11- 1f1(t)t102f2(t)0解解： f1(t) = 2(t) 2(t 1)f2(t) =(t+1) (t 1)f1(t)* f2(t)= 2(t)*(t+1) 2(t)*(t 1) 2(t 1)*(t+1) 2(t 1)*(t 1)由于由于(t)*(t) = t(t)据时移特性据时移特性，有有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1)(t+1) - 2 (t 1)(t 1) 2 t(t) 2 (t 2)(t 2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -40404

134、0页页页电子教案电子教案常见的卷积公式常见的卷积公式1212( 1)( 1)( 1)1221( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )() ( )(atatata ta ta ta tKf tKf tf ttf tf ttf ttf tf ttf ttfttftttttetetteteteteetaaaa 波形的净面积值)1( )( )(1) ( )( )( )( )()()atatTmmtetetaf ttf ttmTf tmT 2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统

135、信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -414141页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质五五、相关函数相关函数为比较某信号与另一延时为比较某信号与另一延时的信号之间的相似度的信号之间的相似度，需要引入需要引入相关函数相关函数的概念的概念。相关函数是鉴别信号的有力相关函数是鉴别信号的有力工具工具，被广泛应用于雷达回波的识别被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的通信同步信号的识别等领域识别等领域。相关函数相关函数也称为相关积分也称为相关积分，它与卷积的运它与卷积的运算方法类似算方法类似。实函数实函数f1(t)和和f2

136、(t)，如为能量有限信号如为能量有限信号，它们之间的它们之间的互相关函数定义为互相关函数定义为：121212211212( )( )()()( )( )()( )( )()Rf t f tdtf tf t dtRf tf t dtf t f tdt 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -424242页页页电子教案电子教案可见可见，互相关函数是两信号之间时间差互相关函数是两信号之间时间差的函数的函数。需需要注意要注意，一般一般R12() R21()。不难证明不难证明，它们之间的关系是它们之间的关系是12212112( )()( )()

137、RRRR 如果如果f1(t)和和f2(t)是同一信号是同一信号，即即f1(t)f2(t) f (t)，这时这时无需区分无需区分R12与与R21，用用R()表示表示，称为称为自相关函数自相关函数。即即：( )( ) ()() ( )Rf t f tdtf tf t dt 容易看出容易看出，对自相关函数有对自相关函数有：( )()RR可见可见，实函数实函数f(t)的自相关函数是时移的自相关函数是时移的偶函数的偶函数。2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -434343页页页电子教案电子教案函数函数

138、f1(t)和和f2(t)卷积的表达式为卷积的表达式为：1212( )*( )( )()f tf tff td 为了便于与互相关函数进行比较为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函我们将互相关函数定义式中的变量数定义式中的变量t t和和进行互换进行互换，可将实可将实函数函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数写为的互相关函数写为：1212( )( )()Rtfft d 比较以上两式可见比较以上两式可见，卷积积分和相关函数的运算卷积积分和相关函数的运算方法有许多相似之处方法有许多相似之处。两种运算的不同之处仅在于两种运算的不同之处仅在于，卷积运算开始时需要将卷积运算开始时需要将f2()进行反折

139、为进行反折为f2(- )，而相而相关运算则不需反折关运算则不需反折，仍为仍为f2()。其他的移位其他的移位、相乘和积分的相乘和积分的运算方法相同运算方法相同。2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -444444页页页电子教案电子教案1( )f1202( )f2202( )f2202()f22021( )f12021t12t 21()f t1( )f12021t12t 21()ft1( )f01t21()f t1( )f201t12t 21()ftt12( )*( )f tf t01tt2024

140、22( )a卷积( )b相关212( )Rt1t2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -454545页页页电子教案电子教案根据卷积的定义根据卷积的定义121212( )*()( ) ()( )()f tftfftdfft d 可见可见1212( )( )*()Rtf tft由上式可知由上式可知，若若f1(t)和和f2(t)均为均为实偶函数实偶函数，则则卷卷积与相关完全相同积与相关完全相同。2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系

141、统教研中心第第第2 2 2- - -464646页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为可归纳为：（1）利用定义式利用定义式，直接进行积分直接进行积分。对于容易求积分的对于容易求积分的函数比较有效函数比较有效。如指数函数如指数函数，多项式函数等多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活比较灵活。三者常常结合起来使用三者常常结合起来使用。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

142、教研中心第第第2 2 2- - -474747页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质01)(1tf12t101)(2tf12t1)(a)(b（1 1）)()()()(),()(21221tftfttftetft。求卷积积分解法I(定义)：)()1 (21)()()()()(202221tetdedtetftftt例求下列函数的卷积积分。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -484848页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质011210)(ta01121)(t)(2eet0)(tb

143、)(2ee)(t220121(1)0( )( )200ttedetf tf tt22( 1)122( 1)22( )( )( )*( )( )*( )1( )( )(1) ( )2tttttf tf ttettetetedet 解法II(图解)：解法IV(常用公式)：解法III(性质)：22121( )( )( )*( )(1) ( )2ttf tf ttetet信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -494949页页页电子教案电子教案2.2.4 4卷积积分的性质卷积积分的性质0124t62)(1tf0112t32)(2tf0124t

144、62)(1f321)(2tft0t6)(2ttf35(2)(2)等于则的波形如图所示，设和信号)6(),()()()()(2121ytftftytftf(6)2 1 12 2 16y 解解: :信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -505050页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法2.52.5* *P P算子分析法算子分析法一一、微分算子及系统的描述微分算子及系统的描述y(n)(t) + an- 1y(n- 1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y(t)= bmf(m)(t) + bm- 1f(m-

145、1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f(t)LTI连续系统用连续系统用线性常系数微分方程线性常系数微分方程描述描述。1 1、微分算子的定义微分算子的定义积分算子积分算子：1( . . )tdPdPdt微分算子微分算子：nnndPdt注意注意：这里的这里的P只只是代表微分运算的是代表微分运算的一个算子一个算子（1/P是是代表积分运算代表积分运算），），P 并不是变量并不是变量。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -515151页页页电子教案电子教案例例1 1：)()(tfdtdtPf)()(tfdtdtf

146、PnnntdftfP)()(1例例2 2：( )3 ( )2 ( )2( )5 ( )y ty ty tf tf t微分算子方程微分算子方程：)(5)(2)(2)(3)(2tftPftytPytyP或或：)()52()()23(2tfPtyPP2.52.5P P算子分析法算子分析法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -525252页页页电子教案电子教案2 2微分算子的性质微分算子的性质（规定规定）：）：（1 1）P P的的正幂正幂多项式可以因式分解多项式可以因式分解；)()2()()23(22tfPPtyPP可表示为可表示为：)()

147、 12()()2)(1(tfPPtyPP（2 2）设设A(P)A(P)、B(P)B(P)为为P P的的正幂正幂多项式多项式；（3 3）微分算子方程两边的公因子不能随意消去微分算子方程两边的公因子不能随意消去；)()()()(PAPBPBPA则则：例例：)()(tPftPy，不不等于等于)()(tfty)()3)(2()()2)(1(tfPPtyPP, ,不不等于等于)()3()() 1(tfPtyP2.52.5P P算子分析法算子分析法例例：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -535353页页页电子教案电子教案(4) A(P)(4

148、) A(P)、B(P)B(P)、D(P)D(P)为为P P的的正幂正幂多项式多项式：)()()()()()()()(tfPBPAtfPBPDPAPD)()()()()()()()(tfPBPAtfPDPDPBPA2.52.5P P算子分析法算子分析法但但例例：)()(1tftfPP)()(1tftPfP但但信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -545454页页页电子教案电子教案二阶系统微分方程二阶系统微分方程：)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty二阶系统微分算子方程二阶系统微分算子方程：)()()()

149、(0122012tfbPbPbtyaPaP系统传输算子系统传输算子：则则( )( ) ( )( ) ( ),( )( )( ) ( )( )B PA P y tB P f ty tf tH P f tA P2210210( )( )( )b Pb PbB PH PA PPa PaH(P)H(P)称为称为系统的传输算子系统的传输算子。2.52.5P P算子分析法算子分析法3 3、系统的传输算子系统的传输算子：（1）微分算子方程微分算子方程：2210210( ),( )A PPa PaB Pb Pb Pb令令演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2

150、 2 2- - -555555页页页电子教案电子教案对对n n阶系统阶系统的的微分方程微分方程：)()()()()()(0) 1(1)(0) 1(1)(tfbtfbtfbtyatyatymmmmnnn2.52.5P P算子分析法算子分析法微分算子方程微分算子方程： tfbpbpbtyapapmmmmnnn011011传输算子传输算子：110110( )( )( )mmmmnnnb PbPbB PH PA PPaPa 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -565656页页页电子教案电子教案算子模型算子模型：R R：( )( )U tR

151、i t( )( )U tRi t算子模型算子模型：L：)()(tidtdLtU)()(tpLitU2.52.5P P算子分析法算子分析法4 4RLC微分算子方程的建立微分算子方程的建立：（1 1） R R、L L、C C元件的算子模型元件的算子模型：C C：tdiCtU)(1)(1( )( )U ti tpC算子模型算子模型：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -575757页页页电子教案电子教案例1：12( )( )( )( )ssi tU ti tU t求与和与的关系。解解：建立系统微分算子方程的方法建立系统微分算子方程的方法：

152、把把R,PL,1/PCR,PL,1/PC看成阻抗看成阻抗，用正弦稳电路分析法中所采用用正弦稳电路分析法中所采用的网孔分析法的网孔分析法，节点分析法节点分析法，阻抗分析法阻抗分析法，戴维南定理等戴维南定理等建立系统微分算子方程建立系统微分算子方程。以下以下用网孔分析法建立方程用网孔分析法建立方程：2.52.5P P算子分析法算子分析法（2 2）系统微分算子方程的建立系统微分算子方程的建立：0)() 112()(1)()(1)()11 (2121tiPPtiPtUtiPtiPPs12H1H1F11( )i t( )sU t2( )i t信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与

153、系统教研中心第第第2 2 2- - -585858页页页电子教案电子教案)() 2432 (12)(12321tUPPPPPPtiPs)() 2432 (1)(1232tUPPPPtiPs)(243212)(2321tUPPPPPtis243212)(2321PPPPPPH)(24321)(232tUPPPtis2321( )2342H PPPP)() 12()()2432(2123tUPPtiPPPs)()()2432(223tUtiPPPs0)(1)12()(1)()(1)(1)1(221212tiPPPtiPtUtiPtiPPPs)(1),(121tiPtiP令变量为令变量为得得: :用

154、克莱姆法则解得用克莱姆法则解得：，2.52.5P P算子分析法算子分析法，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -595959页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法二二、零输入响应的求解零输入响应的求解设二阶系统的方程为设二阶系统的方程为: :算子方程为算子方程为: :)()()()()(0101tfbtfbtyatyaty)()()()(01012tfbPbtyaPaP01201)()()(aPaPbPbPAPBPH1 1、零输入响应的方程零输入响应的方程传输算子传输算子：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系

155、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -606060页页页电子教案电子教案0)()(012tyaPaPx)(tyx零输入响应零输入响应满足的算子方程满足的算子方程：0)()(tyPAx或或( )xyt 的方程：0)()(tyPx0)()(tytyxx)(tyx2 2、零输入响应零输入响应的计算的计算：（1 1）简单情况简单情况 1 1：PPA)( (为常数为常数）2.52.5P P算子分析法算子分析法00t设初始时刻设初始时刻te上式两边乘以得：0)()(tyetyextxt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2-

156、 - -616161页页页电子教案电子教案0)( txetydtd即即：2.52.5P P算子分析法算子分析法00( )( )0ttttxxdyt edtd yt edt( )(0 )0txxyt eyt0( )(0 )ttxxy tyeC e上式两边积分上式两边积分：0( )|0ttxy t e得得：所以所以：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -626262页页页电子教案电子教案2)()( PPA（2 2）简单情况简单情况2 2：2( )()( )0xxy tPy t的方程：0)()(tyPPx即即： txxeCtyty1)()

157、(即即：)()()(1tyPtyxxtxeCty11)(，则则令令txeCtyP1)()(得得：te1)(Ctyedtdxt上式两边乘以上式两边乘以，得得：2.52.5P P算子分析法算子分析法101( ) (0 )()0ttxxy tyCt eCCt et，01( )|ttxey tCt1( )(0 )txxey tyC t对上式积分对上式积分：，所以所以：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -636363页页页电子教案电子教案210121( )(),0rtxrytCC tC tCtet221)()(PPPA0)()(221tyP

158、Px推论推论：（3 3）一般情况一般情况：0)()(1tyPAx即即：0)()(2221tyPPx0)()(2tyPAx则则即即：0)()(22tyPxtxetCCty2212)()(解为解为设设2.52.5P P算子分析法算子分析法rPPA)()(0)()(tyPxr即即 01txyp txeCty101设设解为解为例例：1212012( )( )( )(),0ttxxxy ty tytCeCCt et所以所以：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -646464页页页电子教案电子教案)(tyx求零输入响应求零输入响应的一般方法的一

159、般方法：第一步第一步对对A(P)A(P)进行因式分解进行因式分解；第三步第三步 yx(t) 等于各因式对应的零输入响应之和等于各因式对应的零输入响应之和；)(tyx0)()(tyPAx的微分算子方程为的微分算子方程为：设设第二步第二步求每个因式对应的零输入响应求每个因式对应的零输入响应；第四步第四步用初始条件确定系数用初始条件确定系数。的系数的系数：n)(tyx110,nCCCn)(tyx(1)(0 ),(0 ),(0 )nxxxyyy阶系统阶系统阶系统阶系统的初始条件的初始条件：)()()(tytytyfx( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxf

160、yyyyyy( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxfyyyyyy三三、 LTI 连续系统的初始条件连续系统的初始条件初始时刻t0=0，2.52.5P P算子分析法算子分析法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -656565页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法()()(0 )(0 )(0 )(0 )xxjjxxyyyy对因果系统对因果系统，因果输入因果输入: :当当t0t0时时，f(t) =0.( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )xjjxyyyy所以所以：()(0

161、 )0(0 )0fjfyy有有：注意注意：零输入响应只与零输入响应只与A（P）有关有关，与与B（P）无关无关，故故H(P)中分子与分母的公共因式不能相约中分子与分母的公共因式不能相约。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -666666页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法1 1、任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应LTILTI系统系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义的定义： (t)h(t)由时由时不变性不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由由齐次性齐

162、次性：f () h(t - -)由由叠加性叠加性：d)()( tfd)()( thff (t)yf(t)四四、零状态响应的求解零状态响应的求解)(*)(d)()()(thtfthftyf 卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -676767页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法2 2、零态响应的另一种计算公式零态响应的另一种计算公式（1 1）信号的时域分解信号的时域分解( )f tnfnt 230(1) ()( )()()nnnf nf nf tft nt n 把激励分解把激励分解为一系列阶为一系

163、列阶跃响函数跃响函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -686868页页页电子教案电子教案2.52.5P P算子分析法算子分析法0( )( )( ) ()dlimf tf tft )(*)( d)()( )(ttftftf ( )()()nf tf ntn （2 2）任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应LTILTI系统系统零状态零状态yf(t)f (t)杜阿密尔积分杜阿密尔积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -696969页页页电子教案电子教案2.5

164、2.5P P算子分析法算子分析法根据根据g(t)的定义的定义：g(t)由时由时不变性不变性：g(t - -)由由齐次性齐次性：f () g(t - -)由由叠加性叠加性：f (t)yf(t)(t)(t d)()( tf)()( tf( )( ) ()d( )*( )fytfg tftg t d)()( tgf杜阿密尔积分杜阿密尔积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -707070页页页电子教案电子教案五五、由由H(P)H(P)求求h(t)h(t)(tyf的方程的方程：) () () () () () (01201tfbtfbtfb

165、tyatyatyfffh(t)h(t)的方程的方程：)()()()()()(01201tbtbtbthathath设二阶系统的方程为设二阶系统的方程为)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty对对n n阶因果系统阶因果系统：( 1)(0 )(0 )(0 ) 0nhhh 系统的传输算子系统的传输算子：2210210()()()b Pb PbB PHPA PPa Pa，)()()()(0120122tPHtaPaPbPbPbth2.52.5P P算子分析法算子分析法1 1、h(th(t) )的方程的方程信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研

166、中心第第第2 2 2- - -717171页页页电子教案电子教案2 2 由由H(P)H(P)求求h(t)h(t)( )( ),Kh ttP)()()(tKthP)()()(tKthth即即： )()(tKthetddt即即：0( )|( ),tteh tKt(0 )0,h)()(tKthet)()(tKethtPKPH)()()(tKethtPKPH)(，K，为常数为常数简单情况简单情况1：te，得得：)()()()(tKtkethethettt上式乘以上式乘以)()()(00tKdttKdtthedtdttt上式两边积分上式两边积分：2.52.5P P算子分析法算子分析法即即：信号与系统信号

167、与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -727272页页页电子教案电子教案)()()(tKthPP1() ( )( )Ph tKt1( )( )th tKet( )( )ttdeeh tKtdt上式两边乘以得：2)()(PKPH 简单情况简单情况2 2：则则设设1( )() ( )( )th tPh tKet得得2)()(PKPH)()(tKtethtrPKPH)()()()!1()(1tetrKthtr0( ) |( )tteh tKtt，)()(tKtthet上上式积分得式积分得：推论推论：，2.52.5P P算子分析法算子分析法信号与系统信号

168、与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -737373页页页电子教案电子教案nKPPH)( )( )() ( )( )( )nnh tH PtKPtKt)()()(tKthn 简单情况简单情况3 3：，2.52.5P P算子分析法算子分析法)()()()()()()()()(2122211ththtPKtPKtPHth1212212( )( )( )( )()KKh tth ttPP，121122( )( )( )( )tth tK eth tK tet，一般情况一般情况：由情况由情况1 1，情况情况2 2得得：12212( )()()KKH PPP

169、设例例：)()()()()(212121tteKteKthththtt证明证明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -747474页页页电子教案电子教案求求h(t)h(t)的一般方法的一般方法：第一步第一步：对对H(P)H(P)进行部分分式展开进行部分分式展开；第二步第二步：分别求出个分式对应的冲激响应分别求出个分式对应的冲激响应；第三步第三步：h(th(t) )等于各分式对应等于各分式对应的的冲激响应之和冲激响应之和。121212( )( )( )( )()()()nnnB PB PH PA PPPPKKKPPP 3 3有理分式的

170、部分分式展开有理分式的部分分式展开H(P)H(P)为有理真分式为有理真分式（1 1）H(P)H(P)的极点为单极点的极点为单极点：2.52.5P P算子分析法算子分析法(先用长除法将先用长除法将H(p)先化为真分式先化为真分式)( )()|1,2,iiiPKH P Pin，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -757575页页页电子教案电子教案1111111111( )( )( )( )()()()rrrrrKKKB PB PH PA PPPPP 1()111( )() |,1,1()!rr iiPKH P Pir rri，( )(

171、)|1,2iiiPKH P Pi，3()131( )() |3,2,1()!rr iiPKH P Piri，（2 2）H(P)H(P)的的极点为重极点极点为重极点：（3 3）H(P)H(P)的的极点为单极点和重极点极点为单极点和重极点: :3123( )( )()()()B PH PPPP例例：2.52.5P P算子分析法算子分析法131212113212333()()()KKKKKPPPPP信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -767676页页页电子教案电子教案2323123)(222PPPPPPPH21)2)(1(3232321

173、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -777777页页页电子教案电子教案)(3)(2)(6)(5)(tftftytyty2)0(y1)0(y)(tyx)(th例例3 3: :已知连续系统的方程为已知连续系统的方程为：，求)(tyx(0 )(0 )xyy(0 )(0 )xyy解解：求求：，)()32()()65(2tfPtyPP系统的算子方程系统的算子方程：6532)()()(2PPPPAPBPH系统的传输算子系统的传输算子：ttxeCeCty3120)(0t)(tyx0)()(tyPAx0)() 3)(2(tyPPx的方程的方程：，(0 )xy(0 )xy0C1

174、C由由，确定系数确定系数，：0101(0 )2231xCCyCC2410CC得ttxeety3224)(0t，3321)3)(2(32)(PPPPPPH)()3()(23teethtt)(th 求求，2.52.5P P算子分析法算子分析法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2 2 2- - -787878页页页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第三章第三章离散系统的时域分析离散系统的时域分析3 3.1.1LTILTI离散系统的响应离散系

175、统的响应一一、差分与差分方程差分与差分方程二二、差分方程差分方程的经典解的经典解三三、零输入响应零输入响应四四、零状态响应零状态响应3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应一一、单位序列和单位阶跃序列单位序列和单位阶跃序列二二、单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节3 3.3.3卷积和卷积和一一、卷积和卷积和二二、卷积的图解卷积的图解三三、卷积和的性质卷积和的性质* *3.43.4 离散系统的算子分析离散系统的算子分析一一、E算子及方程算子及方程二二、离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应三三、由由H(E)求求h(k)四四、

176、求解零状态响应求解零状态响应第三章第三章离散系统的时域分析离散系统的时域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -2 2 2页页页电子教案电子教案3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应一一、差分与差分方程差分与差分方程设有序列设有序列f(k)，则则，f(k+2)，f(k+1)，，f(k- 1)，f(k- 2), 等称为等称为f(k)的的移位序列移位序列。仿照连续信号的微分运算仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的定义离散信号的差分差分运算运算。1. 差分运算差分运算tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)

177、()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -3 3 3页页页电子教案电子教案3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义： f(k) = f(k) f(k 1)式中式中，和和称为差分算子称为差分

178、算子，无原则区别无原则区别。本书主要用本书主要用后向差分后向差分，简称为简称为差分差分。（3）差分的线性性质差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k)（4）二阶差分定义二阶差分定义：2f(k) = f(k) = f(k) f(k- 1) = f(k) f(k- 1)= f(k) f(k- 1) f(k- 1) f(k- 2)= f(k) 2 f(k- 1) +f(k- 2)（5） m m阶差分阶差分: :mf(k) = f(k) + b1f(k- 1) + + bmf(k- m)因此因此，可定义可定义：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电

179、子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -4 4 4页页页电子教案电子教案3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 差分方程差分方程包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式得一般形式y(k) + an- 1y(k- 1) + + a0y(k- n) = bmf(k)+ + b0f(k- m)差分方程本质上是递推的代数方程差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条若已知初始条件和激励件和激励，利用迭代法可求得其数值解利用迭代法可求得其数值解。例例1：若描述某系统的

180、差分方程为若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k)y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 注注：一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解解。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -5 5 5页页页电子教案电子教案3.13.1LTI离散系统

181、的响应离散系统的响应二二、差分方程的经典解差分方程的经典解y(k) + an- 1y(k- 1) + + a0y(k- n) = bmf(k)+ b0f(k- m)与微分方程经典解类似与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由上述差分方程的解由齐次齐次解解和和特解特解两部分组成两部分组成。齐次解用齐次解用yh(k)表示表示，特解用特解用yp(k)表示表示，即即y(k) = yh(k) + yp(k)1. 齐次解齐次解yh(k)齐次解齐次解是齐次差分方程是齐次差分方程y(k) + an- 1y(k- 1) + + a0y(k- n) = 0的解的解。yh(k)的函数形式的函数形式由上述差分方程的

182、由上述差分方程的特征根特征根确定确定。（齐次解的函数形式见齐次解的函数形式见P87P87表表3 3- -1 1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -6 6 6页页页电子教案电子教案3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应齐次方程齐次方程 y(k) + an- 1y(k- 1) + + a0y(k- n) = 0其其特征方程特征方程为为 1 + an- 11+ + a0n= 0，即即n+ an- 1n1+ + a0= 0其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。特征根r重实根1 2jajbe，

183、一对共轭复根r重共轭复根( )hy k齐次解kC121210()rrkrrCkCkC kC cos()sin()cos()kkCkDkAkCjD j或其中Ae12112200cos()cos()cos()krrrrrrAkkAkkAk 单实根信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -7 7 7页页页电子教案电子教案( )f k激励cos()sin()kk或( )pyk特解mkka1110mmmmP kPkPkP 1110rmmmmkP kPkPkP 所有的特征根均不等于1；有r重等于1的特征根；kPa1110()rrkrrPkP kPk

184、P a 10()kPkP aa不等于特征根；a等于特征单根；a等于r重特征根；cos()sin()Pkk+Qcos()kj或A,其中Ae =P+jQje所有的特征根均不等于3.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 特解特解 yp(k)特解特解的函数形式与激励函数的形式有关的函数形式与激励函数的形式有关。P87P87表表3 3- -2 2列列出了几种典型得出了几种典型得f(k)所对应的特解所对应的特解yp(k)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -8 8 8页页页电子教案电子教案例例2 2：若描述某系统的差分方程为若描述某

185、系统的差分方程为y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励激励f(k)=2k，k0。求方程的全解求方程的全解。解解：特征方程为特征方程为 2+ 4+ 4=0可解得特征根可解得特征根1=2= 2，其齐次解其齐次解yh(k)=(C1k +C2) (2)k特解为特解为 yp(k)=P (2)k, k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k 2= f(k) = 2k，解得解得P=1/4所以得特解所以得特解： yp(k)=2k 2, k0故全解为故全解为 y(k)= yh+yp= (C1k +

186、C2) (2)k+ 2k 2, k0代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/43.13.1LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -9 9 9页页页电子教案电子教案3.13.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应三三、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应系统的全响应系统的全响应y(k)可以分解为零输入响应可以分解为零输入响应yx(k)和零状和零状态响应态响应yf(k) 。y(k) = yx(k) + yf(k)零输入响应和零状态响应可以零输入响应和零状态响应可以分别分别用经典

187、法求解用经典法求解。1010( )(1)()( )(1)()(1)nmmy kay ka y knb f kbf kb f km 已知单输入已知单输入- 单输出单输出LTI离散系统的激励为离散系统的激励为f(k)，其其全响应为全响应为y(k)，那么那么，描述该系统激励描述该系统激励f(k)与响应与响应y(k)之间的关系的数学模型是之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程，表示如下表示如下：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -101010页页页电子教案电子教案3.13.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应1

188、.1. 零输入响应零输入响应系统的激励为零系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应仅由系统的初始状态引起的响应，称为称为零输入响应零输入响应，用用yx(k)表示表示。在零输入条件下在零输入条件下，(1)式可化为式可化为齐次齐次方程方程：10( )(1)()0(2)xnxxykayka ykn 通常通常，用用y(- 1)，y(- 2)，y(- n)描述系统的描述系统的初始状态初始状态。( 1)( 1)( 2)( 2)(3)()()xxxyyyyynyn 一般设定激励是在一般设定激励是在k=0时刻接入系统的时刻接入系统的，在在k1时时，f (k)的实的实虚部均为指数增虚部均为指数增长的正弦序列

189、长的正弦序列。r 0时时为零为零，因而在因而在k0时时，系统的单位序列响应与系统的系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列这样就把求解单位序列响应的问题转换为求解响应的问题转换为求解齐次方程齐次方程的问题的问题。而而k=0处的处的值值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定可按零状态的条件由差分方程确定。3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -272727页页页电子教案电子教案2.2.阶跃响应阶跃响应当当LTI系统的系统的

190、激励激励为单位序列为单位序列(k)(k)时时，系统的系统的零状态响应零状态响应称为称为阶跃响应阶跃响应，用用g(k)表示表示。若已知系统的差分方程若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应得系统的单位阶跃响应g(k)。此外此外0( )( )()kijkikj 0( )( )()kijg kh ih kj ( )( )( )(1)kkkk ( )( )( )(1)h kg kg kg k 由于由于由线性和移位不变性由线性和移位不变性由于由于那么那么3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科

191、技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -282828页页页电子教案电子教案例例1.求如图所示离散系统的单位序列响应求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响和阶跃响应应g(k)。3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应( )f k(2)y k ( )y k(1)y k 解解：（1）列写差分方程列写差分方程，求初始值求初始值由加法器的输出可列出系统的方程为由加法器的输出可列出系统的方程为( )( )(1)2 (2)y kf ky ky k 整理得整理得：( )(1)2 (2)( )y ky ky kf k 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大

192、学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -292929页页页电子教案电子教案3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应根据单位序列响应的定义根据单位序列响应的定义，它应满足方程它应满足方程由由迭代迭代得得：( )(1)2 (2)( )( 1)( 2)0h kh kh kkhh 初始条件：(0)( 1)2 ( 2)(0)1(1)(0)2 ( 1)(1)1hhhhhh （2）求求h(k)当当k0时时，h(k)满足齐次方程满足齐次方程( )(1)2 (2)0h kh kh k 其其特征方程特征方程为为：22(1)(2)0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学

193、电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -303030页页页电子教案电子教案3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应1212 其特征根：，得方程的齐次解12( )( 1)(2)0kkh kCCk，代入初始值得代入初始值得：12(0)1hCC1212,33CC于是于是，系统的系统的单位序列响应单位序列响应12( )( 1)(2)033kkh kk，注意注意：这时已将这时已将h(0)的值代入的值代入，因而方程的解也满足因而方程的解也满足k=0。由上式可解得由上式可解得：12(1)21hCC 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3

194、 3- - -313131页页页电子教案电子教案3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应12( )( 1)(2)0kkg kCCk1- ，2（3）求求 g(k)根据阶跃响应的定义根据阶跃响应的定义，它应满足方程它应满足方程( )(1)2 (2)( )( 1)( 2)0g kg kg kkgg 初始条件：由由迭代迭代得得：(0)( 1)2 ( 2)(0)1(1)(0)( 1)(1)2ggggggh 容易求得其特解为容易求得其特解为：1( )02pgkk ，于是于是，得得：解法解法I信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- -

195、 -323232页页页电子教案电子教案3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应代入初始值得代入初始值得：121(0)12gCC 1214,63CC于是于是，系统的系统的阶跃响应阶跃响应14( )( 1)(2)063kkg kk1，2由上式可解得由上式可解得：121(1)222gCC 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -333333页页页电子教案电子教案3 3.2.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应11214( )1 ( 1) 2(2)1( 1)(2)032363kkkkg kk 1，2考虑到考虑到

196、k0，得得：解法解法II12( )( 1)(2)033kkh kk，0012( )( )( 1)(2)33kkkiiiiig kh i 101 ( 1)1( 1)1 ( 1) 1 ( 1)2kkiki101 (2)(2)2(2)11 2kkiki由级数由级数求和公式求和公式得得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -343434页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和3.33.3 卷积和卷积和一一、卷积和卷积和1 . .序列的时域分解序列的时域分解012ik- 1f(k)f(- 1)f(0)f(1)f(2)f(i)任意离散序

197、列任意离散序列f(k) 可表示为可表示为 iikif)()( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)( ) ()f kfkfkfkfkf iki 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -353535页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和2 . .任意任意序列作用下的零状态响应序列作用下的零状态响应LTILTI系统系统零状态零状态yf(k)f (k)根据根据h(k)的定义的定义：(k)h(k)由时由时不变性不变性：(k - -i)h(k - -i)f (i)(k - -i)由由齐次性齐次性：f (i)

198、h(k- -i)由由叠加性叠加性：f (k)yf(k)卷积和卷积和 iikif)()( iikhif)()( ifikhifky)()()(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -363636页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和3 . .卷积和的定义卷积和的定义已知定义在区间已知定义在区间（，）上的两个函数上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和则定义和为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称简称卷积卷积；记为记为f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量求和是在虚设的变量 i 下进行

199、的下进行的， i 为为求和变求和变量量，k 为参变量为参变量。结果仍为结果仍为k 的函数的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyif 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -373737页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和若有两个序列若有两个序列f1(k)与与f2(k)，如果序列如果序列f1(k)是因果序是因果序列列，即有即有f1(k)=0,k0,则卷积和可改写为则卷积和可改写为：120( )( )()if kf i fki若有两个序列若有两个序列f1(k)与与f2(k)，如果

200、序列如果序列f2(k)是因果序是因果序列列，即有即有f2(k)=0,k0,则卷积和可改写为则卷积和可改写为：12( )( )()kif kf i fki 如果序列如果序列f1(k)与与f2(k)均为因果序列均为因果序列，即若即若f1(k)=f2(k)=0,k0, 则卷积和可写为则卷积和可写为：120( )( )()kif kf i fki信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -383838页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和例例1：f (k) = ak(k), h(k) = bk(k) ，求求yf(k)。解解： yf(k)

201、 = f (k) * h(k)当当i k时时，(k - i) = 0 iikiiikbiaikhif)()()()(1001( ),( )( )( )1(1) ( ),kikkkik ikfiikababkabyka bkbkabbbkkab 这种卷积和的计算方法称为这种卷积和的计算方法称为解析法解析法。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -393939页页页电子教案电子教案)() 1(1)()()(*)(0kkikikkkii )(*)(kk例例2：求)4(*)(kkak例例3：求3.33.3 卷积和卷积和403( )* (4)(

202、 )* (4)() (4)1(4),11(3) (4),1kkiiiikakkaikiakakaakka 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -404040页页页电子教案电子教案)7()6(1)4()3()4(*)3(43 kkikikkkii)4(*)3(kk例例4：求求3.33.3 卷积和卷积和0(0.5)( )*1(0.5)( ) 11(0.5)2,1 0.5kiiiikik (0.5)( )*1,kkk 例例5：求求信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -41414

203、1页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和二二、卷积的图解法卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为五步五步：（1）换元换元： k换为换为 i得得 f1(i)， f2(i)；（2）反转反转：将将f2(i)以纵坐标为轴线反转以纵坐标为轴线反转，成为成为f2( i)；（3）平移平移：将将f2( i)沿沿i轴正方向平移轴正方向平移k 个单位个单位 f2(k i);（4）乘积乘积： f1(i) f2(k i) ;（5）求和求和： i 从从到到对乘积项求和对乘积项求和。注意注意：k 为参变量为参变量。下面举例说明下面举例说明。 iikfifkf)()()(21信号与系统信号与系统信号与系统

204、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -424242页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和例例1：f1(k)、 f2(k)如图所示如图所示，已已知知f(k) = f1(k)* f2(k)，求求f(2) =？解解：（1）换元换元（2） f2(i)反转得反转得f2(i)（3） f2( i)右移右移2得得f2(2 i)（4） f1(i)乘乘f2(2 i)（5）求和求和，得得f(2) = 4.5 iififf)2()()2(21iiiif2( i )f2(2 i)012i- 1f1(i)f2( k- -i)11.523信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安

205、电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -434343页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和)(*)(21kfkf: )(),(),(221ififif解解：（1）换元换元，反转反转，得得1 2 3-1-2012)(1ifi1 2 3-1-2012i)(2ifk1 2 3-1-2012)(1kfk1 2 3-1-2012)(2kf例例2 2 求求信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -444444页页页电子教案电子教案012ikk-1)(2ikf)()(),(212ikfifikf（2）平移平移，求求)()(

206、21ikfif)()(21ikfif012i1- 1)()(21ikfifk=2012i1- 1)()(21ikfifk=- 13.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -454545页页页电子教案电子教案)()()(*)(2121ikfifkfkfi 30211, 3)1 ()(0, 3)0()(1, 1)1()(2, 0212121kkkififkififkififkiii: )(*)(21kfkf（3）求求3.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第

207、第第3 3 3- - -464646页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和三三、不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)= +f1(- 1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 例例1 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0 iikfifkf)()()(211212121212( 1)(1)(0)( )(1)(1)(2)(2)( )()ffkffkf

208、fkffkf i fki 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -474747页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和f1(1) ，f1(2) ，f1(3)f2(0) ，f2(1) f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0)f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1)+ f1(3) f2(1)f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+

209、f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成排成乘法乘法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -484848页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和3 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解解: 15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12+ 6 ，11，19，32，6，30例例2 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0k=1f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0k=0求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) =0，6 ，1

210、1，19，32，6，30k=1注注：教材中提到的教材中提到的列表法列表法与这里介绍的与这里介绍的不进位乘法不进位乘法本质是一样的本质是一样的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -494949页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和四四、卷积和的性质卷积和的性质1.1. 满足乘法的三律满足乘法的三律1221( )*( )( )*( )f kfkfkf k(1) 交换律交换律：1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f kfkf kf kfkf kf k(2) 分配律分配律：(3) 结合律结合律：1231

211、23( )*( )*( )( )*( )*( )f kfkf kf kfkf k证明证明： ( (仅证明交换律仅证明交换律，其它类似其它类似。) )1212122121( )*( )( )()()( )( )()( )*( )ijjf kfkf i fkif kj fjfj f kjfkf k 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -505050页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和2.2. 复合系统的单位序列响应复合系统的单位序列响应1( )h k2( )h k( )f k( )y k12( )( )( )h kh kh

212、k1( )h k2( )h k( )f k( )y k1221( )( )*( )( )*( )h kh kh kh kh k2( )h k1( )h k( )f k( )y k3. f(k)*(k) = (k) *f(k)=f(k)，f(k)*(kk0) = f(k k0)4. f(k)*(k) = kiif)(5. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1k2)* f2(k)6. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -515151

213、页页页电子教案电子教案);()(*)() 1 (kfkkf);()(*)()2(00kkfkkkf);()(*)()3 (kkk);()(*)()4(2121kkkkkkk);(*)()(*)()5 (121211kkfkfkfkkf)(*)()(*)()6(12212211kkfkkfkkfkkf)(*)()(*)(22112121kfkkkfkkkfkf3.33.3 卷积和卷积和常用卷积和公式常用卷积和公式求求卷积和卷积和是本章的重点是本章的重点。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -525252页页页电子教案电子教案(1):(

214、 )* ( )( )*( )f kkkf k( ) ()if iki ( )f k iikikk)()()(*)(: ) 3( )k证明证明:3.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -535353页页页电子教案电子教案0212k1)(a)(1kf)(2kf3110212k1331)(b)(1kf)(2kf) 1(1f)0(1f) 1 (1f)2(1f2(0)f2(1)f2(2)f2(3)f121032101236302124000000。的图形如图所示，求和已知序列)()()()(2121kfkfkfkf例例1

215、30312418081310)()(21kkkkkkkkfkf解法解法I：（列表法列表法）3.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -545454页页页电子教案电子教案1213213632421213884130312418081310)()(21kkkkkkkkfkf解法解法II：（：（不进位乘法不进位乘法）3.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -555555页页页电子教案电子教案0212k1)(a)(1if)(2if3110

216、212k1331)(b)(2if2210k3131)(c解法解法III：（图解法图解法） iikfifkfkf)()()()(21210212i1)(kf3114k31)2(2if231254301213248802121311)1(2if23124302121311)(2if 2312302121311)1(2if3202121311)2(2if231202121311)3(2if23202121311)4 (2if231244)(1if)(1if)(1if)(1if)(1if)(1if)(1ifiiiiii3.33.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学

217、电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -565656页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和12( )(1)2 ( )(1)( )3 ( )2 (1)(2)f kkkkfkkkk )()()()()()()()()()()()(1111111111kkkkkkkkkkfkkkkfkkfkkkfkfkkf解法解法IV：（解析法解析法）12( )( ) (1)2 ( )(1) 3 ( )2 (1)(2)3 (1)2 ( )(1) 6 ( )4 (1)2 (2)3 (1)2 (2)(3)3 (1)8 ( )8 (1)4 (2)(3)f kfkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 信

218、号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -575757页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和应。应、零状态响应和全响的离散系统的零输入响求下列差分方程所描述例例20)2(, 1) 1(),()(),()2(2) 1(3)(yykkfkfkykyky解解：（1）求零输入响应求零输入响应：零输入响应满足方程零输入响应满足方程：( )3(1)2(2)0(1)xxxy ky ky k 方程方程特征根特征根为为：2, 121上式的上式的特征方程特征方程：2320(P.1103.6 (4) )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子

219、科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -585858页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和4, 121 CC解以上两式得解以上两式得：( )( 1)4( 2) ,0kkxy kk 于是系统的于是系统的零输入响应零输入响应为为：所以其齐次解为所以其齐次解为：0,)2() 1()(21kCCkykkx将将初始值初始值代入得代入得：12121(1)(1)121(2)(2)04xxyyCCyyCC信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -595959页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和PCCkykkf)2()

220、1()(21系统的零状态响应是非齐次方程的解系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出分别求出非齐次方程的非齐次方程的齐次解齐次解和和特解特解，得得（2）求零状态响应求零状态响应：零状态响应满足方程零状态响应满足方程( )3(1)2(2)( )(2)fffykykykf k )2(2) 1(3)()(kykykfkyfff初始状态初始状态0)2() 1(ffyy由由（2）式得式得：2) 1(2)0(3) 1 () 1 (1)2(2) 1(3)0()0(ffffffyyfyyyfy迭代得迭代得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -6

221、06060页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和181( )( )( ) ( 1)( 2),0236kkxfy ky kykk （3）系统的全响应为系统的全响应为：的初始值代入，得将)(kyf1622) 1 (1)0(2121PPCCyPCCyff另外：61,34,2121PCC解以上三式得解以上三式得：)(61)2(34) 1(21)(kkykkf于是系统的于是系统的零状态响应零状态响应为为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -616161页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和1( )( )( )2kf kk

222、如图所示系统，若激励，求系统的零状态响应。例例3:3:( )f k( )y k3/41/8解解：(1) 求系统的差分方程求系统的差分方程：31( )( )(1)(2)48y kf ky ky k 整理得整理得：31( )(1)(2)( )48y ky ky kf k (P.1123.17)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -626262页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和系统的系统的零状态响应零状态响应满足满足：311( )(1)(2)( )( )(1)482( 1)( 2)0kfffffykykykkyy 由由迭代迭

223、代得得：31(0)( 1)( 2)(0)148fffyyyf 315(1)(0)( 1)(1)484fffyyyf (2) 求零状态响应的齐次解求零状态响应的齐次解差分方程的差分方程的特征方程特征方程为为：231048 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -636363页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和1211( )( )( )24kkfhykCC可解得可解得特征根特征根为为：1211,24因此因此，齐次解齐次解为为：(3) 求零状态响应的特解求零状态响应的特解1( )( )( )2kf kk因为激励因为激励的底数与特

224、征根的底数与特征根1 1相等相等。其其特解特解为为：101( )()( )02kpykPkPk，将将特解特解代入代入（1），），得得：12101010131111()( ) (1)( ) (2)( )( )242822kkkkPkPP kPP kP 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -646464页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和102,PP任意解得解得：（4）求零状态响应求零状态响应1210111( )( )( )( )( )()( )242kkkffhpykykykCCPkP120(0)1fyCCP1210111

225、5(1)()2424fyCCPP代入代入初始条件初始条件得得：21010CCP，解得解得：所以所以，系统的零状态响应为系统的零状态响应为：11( )( )2 ( )042kkfykkk，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -656565页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和例例4:4: 已知某已知某LTI系统的输入为系统的输入为解解：1,0( )4,1,20,kf kk其余时时，其零状态响应为其零状态响应为0,0( )9,0fkykk求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应。( )( )4 (1)4 (2)f kkkk (

226、 )9 ( )fykk由题意知由题意知：(P.1123.19)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -666666页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和( 1)0h ( 2)0h 初始条件初始条件：( )( )4 (1)4 (2)9 ( )fykh kh kh kk 设系统的单位序列响应为设系统的单位序列响应为h(k)，根据零状态响应根据零状态响应的的线性线性性质性质：由迭代得由迭代得：(0)94 ( 1)4 ( 2)9hhh (1)94 (0)4 ( 1)27hhh （1）特解特解：( ),0ph kPk代入得代入得：1P

227、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -676767页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和特征方程特征方程：2440 特征根特征根：122 （2）齐次解齐次解齐次解齐次解：12( )()( 2)khh kC kC12( )( )( )()( 2)1,0khph kh kh kC kCk（3）零状态响应全解零状态响应全解代入代入初始条件初始条件：2(0)19hC 12(1)2() 127hCC 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -686868页页页电子教案电子教

228、案3.33.3 卷积和卷积和解得解得：28C 16C ( )(68)( 2)( )( )kh kkkk系统的系统的单位序列响应单位序列响应为为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -696969页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和123( )( )( )()( )( )h kkh kkNNh kk如图所示的复合系统由3个子系统组成，它们的单位序列响应分别为，为常数，求复合系统的单位序列响应。例例5:5:解解：1( )h k2( )h k( )f k( )y k3( )h k123( ) ( )( )*( )h kh k

229、h kh k由复合系统各个子系统之间的连接关系得由复合系统各个子系统之间的连接关系得: ( )()* ( )( )* ( )()* ( )kkNkkkkNk( )()kkN(3.21)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -707070页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和例例6:6: 某人向银行贷款某人向银行贷款M=10万元万元，月利率月利率=1%，他定期他定期于每月初还款数为于每月初还款数为f(k)，尚未还清的款数为尚未还清的款数为y(k)，列列出出y(k)的方程的方程。如果他从贷款后第一个月如果他从贷款后第一个月(可设

230、为可设为k=0)还款还款，则有则有f(k)=N(k)万元和万元和y(- 1)=M=10万元万元。解解：(1) 如每月还款如每月还款N=0.5万元万元，求求y(k)。(2) 他还清贷款需要几个月他还清贷款需要几个月？(3) 如他想在如他想在10个月内还清贷款个月内还清贷款，求每月还款数求每月还款数N。（1）列出列出y(k)的差分方程的差分方程。( )(1)(1)( )y ky kf k整理得整理得：( )(1) (1)( )y ky kf k (3.23)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -717171页页页电子教案电子教案3.33

231、.3 卷积和卷积和齐次解齐次解：( )(1)( )khy kCk 特解特解：( )pykP( )( )( )(1)10.1(1)kkhpNNy ky kykCPN ( 1)10y 初始条件初始条件：迭代得迭代得：(0)( 1) 110.19.6yyNN （）全解全解：代入初始条件代入初始条件：(0)9.6yCP 特解代入得特解代入得：10050NPN信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -727272页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和解得解得：40.4C ( )40.4(10.01)50,0ky kk 所以所以：（2）

232、还清贷款需要满足还清贷款需要满足y(k) 0，即即：( )40.4(1 0.01)500ky k 解得解得：50lg40.421.43lg1.01k k取整数取整数，故故k=22。k从从0开始计算开始计算，所以还清贷款需所以还清贷款需要要23个月个月。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -737373页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和（3）如果想如果想10个月还清贷款个月还清贷款，需要满足需要满足y(9) 0。( )( )( )(1)10.1(1)kkhpNNy ky kykCPN 9(9)10.1(1)0NNyN 9

233、10.1 101 (1)1000NN99101(1 0.01)10010.1(1 0.01)N9910.1(1 0.01)1.06()101(1 0.01)100N万元信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -747474页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和例例7:7: 求图示系统的单位序列响应求图示系统的单位序列响应。( )f k( )y k4331x(k)x(k- 1)x(k- 2)解解：设一中间变量设一中间变量x(k)，则左边的加法器输出为则左边的加法器输出为：( )( )4 (1)3 (2)x kf kx kx k

234、( )3 ( )(1)y kx kx k右边加法器输出为右边加法器输出为：( )4 (1)3 (2)( )(1)x kx kx kf k 整理得整理得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -757575页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和( )4 (1)3 (2)3 ( )(1)(2)y ky ky kf kf k 所以所以，图示系统的差分方程为图示系统的差分方程为：k2时时，(2)式的式的零状态响应零状态响应化为齐次方程化为齐次方程：( )4 (1)3 (2)0(3)h kh kh k 初始状态初始状态：( 1)( 2

235、)0hh 迭代得迭代得：(0)4 ( 1)3 ( 2)33hhh (1)4 (0)3 ( 1) 111hhh 由由(2)得得：( )4 (1)3 (2)3 ( )(1)h kh kh kkk 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -767676页页页电子教案电子教案3.33.3 卷积和卷积和（3）式的特征根为式的特征根为：121,3所以所以：12( )(1)(3) ( )kkh kCCk代入代入初始条件初始条件得得：12(0)3hCC12(1)311hCC解得解得：121,4CC 由于由于h(0),h(1)作为初始值代入作为初始值代入

236、，因而方程的解因而方程的解也满足也满足k=0和和k=1。所以系统的所以系统的单位序列响应单位序列响应为为：( ) 14(3) ( )kh kk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -777777页页页电子教案电子教案3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析2 2、LTI离散系统的响应离散系统的响应（1）零输入响应零输入响应yx(k) :输入输入f(k)为零为零，由初始状态产生的响应称零输入由初始状态产生的响应称零输入响应响应。设初始时刻为设初始时刻为k0=0，系统系统初始状态初始状态通常指通常指：（对对n阶系统阶系统）。

237、）。( 1), ( 2), ()yyyn)(kf)(ky* *3.43.4 离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析);()()(kykykyfx1 1、描述描述：LTI离散系统的基本概念离散系统的基本概念复习信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -787878页页页电子教案电子教案3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析初始状态为零初始状态为零，由输入由输入f(k) 产生的响应称零状态响应产生的响应称零状态响应。（3）完全响应完全响应y(k)：3 3、线性时不变因果系统的性质线性时不变因果系统的性质：（2）零状态响应

238、零状态响应yf(k):（2）时不变性时不变性：)()(kykff).()(00kkykkff由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。可分解性可分解性：y(k)=yx(k)+yf(k)；零输入线性零输入线性： yx(k)与初始状态满足线性与初始状态满足线性；零状态线性零状态线性： yf(k)与输入与输入f(k)满足线性满足线性。（1）线性线性：包括以下三个方面包括以下三个方面：若若则则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -797979页页页电子教案电子教案若若kk0时时，输入输入f(k)

239、=0 ；则则kk0时时，零状态响应零状态响应yf(k)=0 。3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析1010( )(1)()( )(1)()nmmy kay ka y knb f kbf kb f km 已知单输入已知单输入单输出单输出LTI离散系统的激励为离散系统的激励为f(k)，其全响应为其全响应为y(k)，那么那么，描述该系统激励描述该系统激励f(k)与响应与响应y(k)之间的关系的数学模型是之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方阶常系数线性差分方程程，表示如下表示如下：4.4. LTI离散系统的差分方程离散系统的

240、差分方程（3）因果性因果性：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -808080页页页电子教案电子教案2、n阶离散系统的差分算子方程阶离散系统的差分算子方程：)()()()(02211kyEakyEakyEakynnn12120( )( )( )( )mmmmb f kbEf kbEf kb Ef k 1( )(1),( )(1),Ef kf kEf kf k22( )(2),( )(2),Ef kf kE f kf k( )(),( )(),nnEf kf knE f kf kn1EE- - - - - - - - - 延迟算子延迟

241、算子- - - - - - - - - 超前算子超前算子3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析1、差分算子差分算子：一一、离散系统的差分算子及方程离散系统的差分算子及方程由后向差分方程形式得由后向差分方程形式得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -818181页页页电子教案电子教案算子方程也可写成算子方程也可写成：)()1 (02211kyEaEaEannn).()(02211kfEbEbEbbmmmm进一步写成进一步写成：)()1 ()()(0221102211kfEaEaEaEbEbEbbkynnnmmmm)(

242、)(kfEHnnnmmmmEaEaEaEbEbEbbEH02211022111)(H(E)称为称为系统的传输算子系统的传输算子。3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -828282页页页电子教案电子教案3、关于差分算子方程的说明关于差分算子方程的说明：3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析（3）算子方程两边的公因子或算子方程两边的公因子或H(E)的公因子不能随

243、的公因子不能随意消去意消去。（2）其中其中，A(E)、B(E)为为E的正幂或负幂多项式的正幂或负幂多项式；);()()()()()(kfEAEBkfEBEA（1）E的正幂多项式可以相乘的正幂多项式可以相乘，也可以进行因式分解也可以进行因式分解；例例：).() 1)(2()()23(2kfEEkfEE110110( )nnn mmmnnnb EbEb EH EEaEa H(E)的的E正幂形式正幂形式：（由前向差分方程形式得到由前向差分方程形式得到）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -838383页页页电子教案电子教案例例1图示图示L

244、TI离散系统离散系统，写出系统的差分算子方程写出系统的差分算子方程，和传输算子和传输算子H(E)。由系统框图得由系统框图得：)()()()(2011kfkxEakxEakx)()()1 (2011kfkxEaEa)()1 (1)(2011kfEaEakx)(kf) 1( kf)(kf)(1kfE1E3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析( )f k( )y k1a0a1b0b解解：x(k)E- 1x(k)E- 2x(k)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -848

245、484页页页电子教案电子教案)()()(2011kxEbkxEbky)()(2011kxEbEb)()1 ()(20112011kfEaEaEbEb01201201120111)(aEaEbEbEaEaEbEbEH差分方程差分方程：)2() 1()2() 1()(0101kfbkfbkyakyaky)() 1()() 1()2(0101kfbkfbkyakyaky或或：3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析传输算子传输算子：系统的差分系统的差分算子方程算子方程：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系

246、统教研中心第第第3 3 3- - -858585页页页电子教案电子教案nnmmmEaEaEbEbbEAEBEH011011111)()()(011)()()(aEaEEBEAEBnnn)()()()()()(kfEAEBkfEHky)()()()(kfEBkyEA系统算子方程为系统算子方程为（前向差分方程前向差分方程）：）：3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析二二、离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应1. 零输入响应零输入响应yx(k)的方程的方程：设设n阶系统的传输算子为阶系统的传输算子为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3

247、 3 3- - -868686页页页电子教案电子教案零输入响应零输入响应yx(k)的方程的方程：令令f(k)=00)()(kyEAx0)()(0111kyaEaEaExnnn2. 零输入响应零输入响应yx(k) 的计算的计算：设初始时刻设初始时刻k0=0( )(),A EErr为常数( )xy k 的方程：()( )0xEr y k0)() 1(krykyxx(1)( )xxy kry k0,)(0krCkykx3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析(1) 情况情况1：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -87878

248、7页页页电子教案电子教案情况情况1的推广的推广：11211()( )0,()()( )0xxEr ykErEr yk即且22122()( )0,()()( )0xxEr ykErEr yk即且0)()()(2121kykyrErExx0,)()()(221121krCrCkykykykkxxx（1）+（2）得得：3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析),)()(21rErEEA. 0)()(21kyrErEx设设11 1( )( )kxxy kykCr；（1）1()( )0,xE r y k令令得得22 2( )( )kxxy kykC r；（2）2()( )0,xE r y

249、k令令得得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -888888页页页电子教案电子教案. 0)()(kyEAx1,0.nki iiC rk).()()(21nrErErEEA设设1 12 2( ),0kkkxn ny kC rC rC rk 则则（2）情况情况2：2)()(rEEA0)()(2kyrExdrEEA)()(. 0)()(kyrExd0,)()(1110krkCkCCkykddx0,)()(10krkCCkykx则则推广推广：3.43.4离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电

250、子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -898989页页页电子教案电子教案321)()(rErEEA0)()(321kyrErEx0,)()(2222212011krkCkCCrCkykkx（3）一般情况一般情况：求求yx(k)方法小结方法小结：设方程为设方程为：0)()(kyEAx（2）根据情况根据情况1、2求各分式对应的零输入响应求各分式对应的零输入响应；（3） yx(k)等于各因式对应的零输入响应之和等于各因式对应的零输入响应之和；（4）由初始条件由初始条件 yx(- 1),yx(- 2), 或或yx(0),yx(1), 确定待定系数确定待定系数Ci。3.43.4离散系统

251、的离散系统的E E算子分析算子分析（1）对对A(E)进行因式分解进行因式分解；信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3 3 3- - -909090页页页电子教案电子教案3. 关于初始条件的说明关于初始条件的说明：（初始时刻初始时刻k0=0）(0)(0)(0)(1)(1)(1)xfxfyyyyyy(0)(0)(0)(1)(1)(1)xfxfyyyyyy( 1)( 1)( 1)( 2)( 2)( 2)xfxfyyyyyy ( )( )( )xfy ky kyk(1)对因果系统对因果系统，因果输入因果输入f(k) (k010tf(t)jjtjFtjtjt1

252、e1dee)(0)(02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = e t, 010tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -383838页页页电子教案电子教案4.44.4傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(2 4. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信号与系统信号与系统信号与系统

253、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -393939页页页电子教案电子教案4.44.4傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如如1， (t)等等，但傅里叶变换却存在但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t) ，即即而而fn(t)满足绝对可积条件满足绝对可积条件，并且并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的是极限收敛的。则可定义则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F(j

254、 )为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -404040页页页电子教案电子教案4.44.4傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f(t)=e- - t， 0222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此因此，1 12 2 ( ( ) )另一种求法另一种求法： (t)(t)1 1代入反变换定义式

255、代入反变换定义式，有有)(de21ttj将将 t t，t t- -)(de21ttj再根据傅里叶变换定义式再根据傅里叶变换定义式，得得)(2)(2de1 ttj信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -414141页页页电子教案电子教案6. 符号函数符号函数4.44.4傅里叶变换傅里叶变换0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)- 1)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 阶跃函数阶跃函数 (t) jtt1)()sgn(2121)(10t(t)00,e0

256、,e)(tttftt构造信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -424242页页页电子教案电子教案4.44.4傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对变换对：t域域域域 tetfjFtjd)()( d)(21)(tjejFtf(t)(t)j1)(e- - t(t)j1g(t)2Sasgn(t)j2e |t|222112()信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -434343页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变

257、换的性质4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一一、线性线性(Linear Property)Proof: ttbftaftjde)()(21 ttfttftjtjde)(bde)(a1112()()aF jbFj12( )( )af tbf tF F1212( )( )()()af tbftaFjbFjthenIf1122( )() ,( )()ftFjftFj信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -444444页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F( j) = ?( )f

258、 tAns: f(t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F( j) = 2() - - 2Sa()1( )f t2( )g t- -信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -454545页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二二、奇偶性奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that (1) R()= R

259、( ) , X() = X ( )|F(j)| = |F( j)| ,() = ( )(2) If f(t) = f(- t) ,then X() = 0, F(j) = R()If f(t) = - f(- t) ,then R() = 0, F(j) = jX()( )( )RjX信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -464646页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三三、对称性对称性(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof: de)(21)(tjjF

260、tf（1）in (1) t ，t then tjtFftjde)(21)(（2）in (2) - - then tjtFftjde)(21)( F( jt) 2f ( )endF( jt ) 2f ( )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -474747页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四四、尺度变换性质尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) thenwhere “ a” is a nonzero real constant.Proof: F f

261、 (a t ) = teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j)ajFaatf|1)(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -484848页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Given that f (t)F( j),

262、find f (at b) ?Ans:f (t b)e- -jbF( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) = )(abtafajFeabaj|1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -494949页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211jtUsing symmetry,using scaling property with a = - -1,

263、so that,信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -505050页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2e tif=1,2| |12e t|2e212 t|2e11 t* if2232)(22tttttfF(j) = ?信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -515151页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五五、时移性质时移性质(Time s

264、hifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “ t0”is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0) tttftjde)(0 00ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -525252页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?f1(t) = g6(t- 5) ,f2(t) = g2(t- 5)g6(t -5) g2(t -5) F(j) =5e)3S

265、a(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1( t )t221468+0f2( t )t221468Ans: f(t) = f1(t) + f2(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -535353页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六六、频移性质频移性质(Frequency Shifting Property)Iff (t) F(j)thenProof:where “0”is realconstant.F ej0tf(t) ttftjtjde)(e0

266、ttftjde)()(0= F j(- -0)end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans:1 2()ej3t1 2(- -3)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -545454页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)For example 3Given that f(t) F(j)The modulat

267、ed signal f(t) cos0t ?信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -555555页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七七、卷积定理卷积定理(Convolution Property)1、Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Thenf1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)2、Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Thenf1(t) f2(

268、t) F1(j)*F2(j)21信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -565656页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf1212( )()ded( )()ed djtjtff ttff tt Using time shiftingjtjjFttfe)(de)(22So that,1221( )()ed()( )edjjfFjFjf 12()()F jFj12( )*( )f tf tF F12( )*( )f tf tF F信号与系统信号与系统信号与系

269、统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -575757页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -585858页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八八、时域的微分和积分

270、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then)()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )nF(j)f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -595959页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2?F

271、or example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -606060页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t)F1(j) + f(- )+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11 ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1

272、 ffjFjfjFSo)()()()(1)(1 ffjFjjFSummary: if f(n)(t) Fn(j)，and f(- )+ f() = 0Thenf (t) F(j) = Fn(j)/ (j)n信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -616161页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F(j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(- 2)f (t)Ans:f ” ” (t) = (t

273、+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ” ” (t) = ej22 + ej2= 2cos(2) 2F(j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -626262页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九九、频域的微分和积分频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then( jt)nf

274、 (t) F(n)( j)xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor example 1Determine f(t) = t(t) F(j)=? jt1)()(Ans: jtjt1)(dd)(21)( )( jtt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -636363页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice:t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(It s wrong.Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defin

275、ed.For example 2Determined)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -646464页页页电子教案电子教案4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质十十、相关定理相关定理(Correlation Theorem)If1122( )(),( )()f tF jf tFjthen*12122112( )()(),( )()()RF jFjRFjFjFFFFProof:

276、*1212121212*2112121212( )( )*()( )()()()()()( )()*( )()( )()()()()RffffF jFjF jFjRffffFjFjFjFjFFFFFFFFFFFFFFFF两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这这就是就是相关定理相关定理。对自相关函数对自相关函数：2*111 ( )()()()RF jFjF jF F信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4-

277、 - -656565页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱一一、能量谱能量谱2lim( ) dTTTEf tt1. 信号能量的定义信号能量的定义：时间时间（- , ）区间上信号的能量区间上信号的能量。2( ) dTTf tt信号信号(电压或电流电压或电流)f(t)在在1电阻上的瞬时功率为电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间在区间（- T, T）的能量为的能量为如果信号能量有限如果信号能量有限，即即0E，信号称为能量有信号称为能量有限信号限信号，简称简称能量信号能量信号。例如门函数例如门函数，三角形脉冲三角形脉冲，单边或双边指数

278、衰减信号等单边或双边指数衰减信号等。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -666666页页页电子教案电子教案证明证明:ttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtj*1() ()d2FjF j 4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱2. 帕斯瓦尔方程帕斯瓦尔方程（能量方程能量方程）：）：2221lim( ) d( ) d() d2TTTEf ttf ttF j 21|()| d2F j 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4

279、 4- - -676767页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱在频带在频带df内信号的能量为内信号的能量为E E() df，因而信号在整因而信号在整个频率区间个频率区间（- , ）的总能量为的总能量为：1( )d( )d2Ef EEEE上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱能量密度谱E E() 为为：2( )()F jE E3. 能量密度谱能量密度谱E E()：(Energy- density Spectrum)为了表征能量在频域中的分布情况为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密可以借助于密度的概念度的概念，定义一个能量密度函数

280、定义一个能量密度函数，简称为简称为能量频谱能量频谱或或能量谱能量谱。能量频谱能量频谱E E()定义为单位频率的信号能量定义为单位频率的信号能量。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -686868页页页电子教案电子教案例例1：计算信号的能量计算信号的能量sin5( )2cos(997 )tf ttt解解:10sin5( )tgt1010sin52cos(997 )(997)(997)ttggt221110( ) d|()| d(10 10)22Ef ttF j 4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱由由相关定理相关定理：- 1( )

281、 ( )( ) ( )RREFEFFEFE信号的能量谱信号的能量谱E E()与自相关函数与自相关函数R()是一对傅里叶变换是一对傅里叶变换信号的能量谱信号的能量谱E E() 是是的偶函数的偶函数，它只取决于它只取决于频谱函数的模量频谱函数的模量，而与相位无关而与相位无关。单位单位：J s。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -696969页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱二二、功率谱功率谱21lim( ) d2defTTTPf ttT由信号能量和功率的定义可知由信号能量和功率的定义可知，若信号能量若信号能

282、量E有有限限，则则P=0；若信号功率若信号功率P有限有限，则则E=。1. 信号功率信号功率：定义为时间定义为时间（- , ）区间上信号区间上信号f(t)的的平均功率平均功率，用用P表示表示。如果信号功率有限如果信号功率有限，即即0P，信号称为功率有信号称为功率有限信号限信号，简称简称功率信号功率信号。如阶跃信号如阶跃信号，周期信号等周期信号等。如果如果f(t)为实函数为实函数，则则21lim( )d2defTTTPfttT信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -707070页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱

283、功率有限信号的能量趋于无穷大功率有限信号的能量趋于无穷大，即即2( )dftt 从从f(t)中截取中截取|t|T/2的一段的一段，得到一个截尾函数得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为它可以表示为：( )( ) ()()22TTTftf ttt如果如果T是有限值是有限值，则则fT(t)的能量也是有限的的能量也是有限的。令令()( )TTFjft F FfT(t)的能量的能量ET可表示为可表示为：221( )()2TTTEft dtFjd 由于由于2222( )( )TTTft dtft dt 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -

284、717171页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱f(t)的平均功率为的平均功率为：2222()11lim( )dlim2TTdefTTTFjPfttdTT 当当T增加时增加时，fT(t)的能量增加的能量增加，|FT(j) |2也增加也增加。当当T时时， fT(t) f(t) ，此时此时|FT(j) |2/T可能趋于可能趋于一极限一极限。1( )d( )d2Pf PPPP比较得比较得：2()( )limTTFjTP P2. 功率密度谱功率密度谱：类似于能量密度谱类似于能量密度谱，定义功率密度谱定义功率密度谱函数函数P P() 为单位频率的信号功率为单位频率的信号功率。从

285、而平均功率从而平均功率：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -727272页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱信号的功率谱信号的功率谱P P() 是是的偶函数的偶函数，它只取决于它只取决于频谱函数的模量频谱函数的模量，而与相位无关而与相位无关。单位单位：W s。自相关函数自相关函数：221( )lim( ) ()d TTTRf t f ttT3. 功率密度谱与自相关函数的关系功率密度谱与自相关函数的关系：若若f1(t)和和f2(t)是是功率有限信号功率有限信号，此时相关函数的定此时相关函数的定义为义为：22

286、22121221121( )lim( )()d 1( )lim()( )d TTTTTTRf t f ttTRf tf ttT信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -737373页页页电子教案电子教案4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换，得得：221 ( )lim( ) ()d TTTRf t f ttTFFFF1lim( )()d TTTft fttT F F1lim( )*()TTTffTF F21lim()TTFjT比较前面推导比较前面推导：- 1( ) ( )( )( )RRPFPFFPFP

287、功率有限信号的功功率有限信号的功率谱函数率谱函数P P() 与与自相关函数自相关函数R()是是一对傅里叶变换一对傅里叶变换。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -747474页页页电子教案电子教案4.74.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.74.7周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一一、正正、余弦的傅里叶变换余弦的傅里叶变换12()由频移特性得由频移特性得ej 0t 2( 0)e j 0t 2(+0)cos(0t)= (ej 0t+ e j 0t)/2 ( 0) +(+0)sin(0t)= (ej 0t+ e j 0t

288、)/(2j) j(+0) ( 0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -757575页页页电子教案电子教案4.74.7周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二二、一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTF nnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期为周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解解：)()()(2)( nnTnnTt(1)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子

289、科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -767676页页页电子教案电子教案4.74.7周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图周期信号如图，求其傅里叶变换求其傅里叶变换。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信号周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的周的周期拓展期拓展。即即f(t) = T(t)* f0(t)F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) = nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本题本题 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较式比较，得得)2

290、(1)(200TnjFTjnFFn这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -777777页页页电子教案电子教案4.74.7复习复习：傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对变换对：t域域域域 tetfjFtjd)()( d)(21)(tjejFtf(t)(t)j1)(e- - t(t)j1g(t)2Sasgn(t)j2e |t|222112()信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教

291、研中心第第第4 4 4- - -787878页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和率的虚指数函数之和。 ntjnnFtfe)(对周期信号对周期信号：对非周期信号对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其其基本信号基本信号为为 ej t一一、基本信号基本信号ej t作用作用于于LTI系统的响应系统的响应说明说明：频域分析中频域分析中，信号的定义域为信号的定义域为( ，)，而而t= 总可认为系统的状态为总可认

292、为系统的状态为0，因此本章的响应指零状因此本章的响应指零状态响应态响应，常写为常写为y(t)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -797979页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率当激励是角频率的基的基本信号本信号ej t时时，其响应其响应tjjtjhhty ede)(de)()()(而上式积分而上式积分正好是正好是h(t)的傅里叶变换的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数常称为系统的频率响应函数。所以所以：

293、de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -808080页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析二二、一般信号一般信号f(t)作用作用于于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j ) ej t21F(j ) d ej t21F(j )H(j ) d ej t齐次性齐次性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )

294、H(j ) Y(j ) = F(j ) H(j )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -818181页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析LTI*h(t)=傅氏傅氏变换变换傅氏傅氏反变换反变换f(t)傅氏傅氏变换变换y(t)F(j)H(j)Y(j)频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变换换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比之比，即即)()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH

295、H(j ) 称为称为幅频特性幅频特性（或或幅频响应幅频响应）；）；( ( ) )称为称为相相频特性频特性（或或相频响应相频响应）。）。 H(j ) 是是的偶函数的偶函数，( )是是的奇函数的奇函数。频域分析法步骤频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -828282页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数分析法对周期信号还可用傅里叶级数分析法：周期信号周期信号 ntjnnTFtfe)( ntjnnntjnnTjnHFthFtfthty

296、e)(e*)()(*)()(若若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH则则可推导出可推导出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -838383页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：某某LTI系统的系统的 H(j ) 和和( ( ) )如图如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应求系统的响应。|H(j)| ()10- -1001- -解法一解法一：用傅里叶变换用傅

297、里叶变换F(j ) = 4() +4( 5) + (+5)+ 4( 10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) =4() H(0) + 4( 5) H(j5 5) + (+5) H(- j5 5)+ 4( 10) H(j1010) + (+10) H(- j1010) H(j )= = H(j ) ej( )= 4() + 4- j0.5( 5) + j0.5(+ 5) y(t) = F- 1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -848484页页页电子教案电子教案4.8LTI4

298、.8LTI系统的频域分析系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数分析法求解用三角傅里叶级数分析法求解f(t)的基波角频率的基波角频率 =5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e- j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5)= 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -858585页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析三三、频率响应频率响应H(jH(j ) )的的求法求法

299、1. H(j ) = F h(t)2. H(j ) = Y(j )/F(j )(1)由微分方程求由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为某系统的微分方程为y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e- t(t)时的时的响应响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j )21)()()(jjFjYjH信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -868686页页页电子教案

300、电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析f(t) = e- t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -te- -2t)(t)例例2：如图电路如图电路，R=1，C=1F，以以uC(t)为输出为输出，求其求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解解：画电路频域模型画电路频域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -878787页页页电子教案电子教案

301、4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析四四、无失真传输与滤波无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是一类是信号的传信号的传输输，一类是一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真传输要求信号尽量不失真，而滤波则而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真必然伴随着失真。1、无失真传输无失真传输（1）定义定义：信号信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比输入信号相比，只有只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同同，而没有波形上的变化而没有波形上的变化。

302、即即输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后经过无失真传输后，输出信号应为输出信号应为y(t) = K f(t td)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j )=Kej tdF(j )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -888888页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析系统要实现无失真传输系统要实现无失真传输，对系统对系统h(t)，H(j )的要求是的要求是：(a)对对h(t)的要求的要求：h(t)=K (t td)(b)对对H(j )的要求的要求：H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -

303、j td即即 H(j ) =K ,( )= tdK|H(j)|()0 0上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件条件。当传输有限带宽当传输有限带宽的信号是的信号是，只要在信号占有频带范围内只要在信号占有频带范围内，系统的幅频系统的幅频、相频特性满足以上条件即可相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件无失真传输条件：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -898989页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：系统的幅频特性系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如和相频特性如图图(

304、a)(b)所示所示，则下列则下列信号通过该系统时信号通过该系统时，不产生失真的是不产生失真的是(a)(b)1010-10-105 5-5-500| |H H(j(j)|)|( () )5 5-5-5(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -909090页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析2、理想低通滤波

305、器理想低通滤波器1|H(j)|()0 0C C- -C C具有如图所示幅频具有如图所示幅频、相频特性相频特性的系统称为的系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。c称为截止角频率称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应可写为可写为：dCdtjCCtjgjHe)(, 0,e)(2(1)冲激响应冲激响应h(t)= - -1g2 c( )e)e- -j j t td d =)(Sadcctt 可见可见，它实际上是它实际上是不可实现的非因果系统不可实现的非因果系统 (why?)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -91

306、9191页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应g(t)=h(t)* (t)=d)()(sind)(dcdctcttth经经推导推导，可得可得)(0sin121)(dcttdxxxtgxxxyydsin)Si(0称为正弦积分称为正弦积分)(Si121)(dCtttg1t td dCdtg(t)0 0t t特点特点：有明显失真有明显失真，只要只要c，则必有则必有振荡振荡，其过冲其过冲比稳态值高约比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现这一由频率截断效应引起的振荡现象称为象称为吉布斯现象吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.0

307、895信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -929292页页页电子教案电子教案4.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析3、物理可实现系统的条件物理可实现系统的条件就就时域特性时域特性而言而言，一个一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激其冲激响应在响应在t0时必须为时必须为0，即即 h(t)=0 ,t0即即响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。就就频域特性频域特性来说来说，佩利佩利（Paley)和维纳和维纳（Wiener)证证明了物理可实现的幅频特性必须满足明了物理可实现的幅频特性必须满足djH2)

308、(djH21)(ln并且并且称为称为佩利佩利- 维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件）从该准则可看出从该准则可看出，对于物理可实现系统对于物理可实现系统，其幅频特性其幅频特性可在某些孤立频率点上为可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带但不能在某个有限频带内为内为0。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -939393页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理4.94.9取样定理取样定理取样定理取样定理论述了在一定条件下论述了在一定条件下，一个连续信号完一个连续信号完全可以用全可以用离散样本值离散样本值表示表示。这些

309、样本值包含了该连续这些样本值包含了该连续信号的全部信息信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号利用这些样本值可以恢复原信号。可以说可以说，取样定理取样定理在连续信号与离散信号之间架起了在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据为其互为转换提供了理论依据。一一、信号的取样信号的取样所谓所谓“ 取样取样” 就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“ 抽取抽取” 一系列一系列离散样本值离散样本值的过程的过程。这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学

310、电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -949494页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理如图一连续信号如图一连续信号f(t)f(t)0 0t t用用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)(开关函开关函数数）进行取样进行取样，取样间隔取样间隔为为TS，fS=1/TS称为称为取样频率取样频率。t ts(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0得取样信号得取样信号fS(t) = f(t)s(t)f(t)s(t)fs(t)t tf(t)s(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0取样信号取样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为FS( j )=(1/2 )F( j)

311、*S( j)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -959595页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理冲激取样冲激取样若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列Ts(t),则称为则称为冲激取样冲激取样。如果如果f(t) 是是带限信号带限信号即即f(t)的频谱只在区间的频谱只在区间（- - m，m)为有限值为有限值，而其余区间为而其余区间为0 。设设f(t)F(j )，取样信号取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数FS(j )= (1/2 )F(j )* Ss() nSSnjFT)(1S=2/TSs(t)

312、=s(t)=Ts(t)Ss() nSnTt)( nSSn)(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -969696页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理f(t)t0(1)Ts(t)t0 Ts 2Ts- Ts=0tfs(t)Ts2Ts- Ts1F(j)0 0 m m- -m m( (S S) )Ss(t)0S S- -S S21*=0 0 m m- -m mS S- -S SFS(j)1/TS上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时的频谱时，设定设定S2 2m, ,这时这时其频谱其频谱不发生混叠不发生混叠，因此能设法

313、因此能设法( (如利用低通滤波器如利用低通滤波器) )，从从FS(j )中取出中取出F(j )，即即从从fS(t)中中恢复原信号恢复原信号f(t)。否则否则将发生混叠将发生混叠，而无法恢复原信号而无法恢复原信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -979797页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理二二、时域取样定理时域取样定理当当S2 2m时时，将取样信号通过下面的低通滤波器将取样信号通过下面的低通滤波器CCSTjH|, 0|,)(其截止角频率其截止角频率C取取m C S- -m。即可恢复原信即可恢复原信号号。由于由于

314、 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) nssnsnTtnTfnTt)()()(H(j ) h(t) =)(tSaTccS为方便为方便，选选C= 0.5= 0.5S, ,则则TsTsC/ /=1=1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -989898页页页电子教案电子教案4.94.9取样定理取样定理)2()(tSathS所以所以根据根据f(t)=fS(t)*h(t) ，有有 )(2Sa)()2Sa(*)()()( nsssnsssnTtnTftnTtnTftf只要已知各取样值只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号

315、就出唯一地确定出原信号f(t)。时域取样定理时域取样定理：一个频谱在区间一个频谱在区间（- m，m)以外为以外为0的带限信号的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔可唯一地由其在均匀间隔TsTs2fm，或者说或者说，取样间隔不能太大取样间隔不能太大，必须必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠否则将发生混叠。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -999999页页页电子教案电子教案通常把最低允许的取样频率通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为称为奈奎斯特奈奎斯特（Nyquist)频率频率，把最大允许的取样间隔把最大允许的取样间隔Ts

316、=1/(2fm)称为称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔。频域取样定理频域取样定理：根据根据时域与频域的对偶性时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理可推出频域取样定理。一个在时域区间一个在时域区间（- -tm,tm)以外为以外为0的的时限信号时限信号f(t)的频的频谱函数谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs 时时，其拉氏变换存其拉氏变换存在在。收敛域如图所示收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -6 6 6页页页电子教案电子教案5.5.1 1拉普拉斯变换

317、拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (- t) ，求其拉普拉斯变换求其拉普拉斯变换。解解:eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF ，不定无界)(1.Re,ss可见可见，对于反因果信号对于反因果信号，仅当仅当Res= 时时，其收敛域其收敛域为为 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf3 2可见可见，象函数相同象函数相同，但收敛域不同但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域须标出收敛域。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4

318、4 4- - -9 9 9页页页电子教案电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换结论结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和和收敛域一起收敛域一起，可以唯一地确定可以唯一地确定f(t)。即即：3、不同的信号可以有相同的不同的信号可以有相同的F(S)，但它们的收敛域不同但它们的收敛域不同；不同信号不同信号如果如果有相同的收敛域有相同的收敛域，则它们的则它们的F(S)必然不同必然不同！（1）部分部分s平面收敛平面收敛；（2）整个整个s平面均收敛平面均收敛；（3）整个整个s平面均不收敛平面均不收敛。2、收敛域收敛域：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技

319、大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -101010页页页电子教案电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义：对于给定的对于给定的f(t)，把凡是满足下式的把凡是满足下式的s组成的点集组成的点集，称作称作f(t)的绝对收敛域的绝对收敛域：收敛域的确定方法收敛域的确定方法（因为因为：s=+jw+jw）：）：求解适合于如下条件的所有求解适合于如下条件的所有值或范围值或范围:lim( )0tf t et ( )tft ed t 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -111111页页页电子教案电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉

320、斯变换j0j0a- a(a) 因果信号(b) 双边信号(c) 反因果信号1( ) () ( )atatf teet0,0,)(2tetetfatat3() () ( )atatf teet 222()aFSaS0a注意：以上3个信号，具有相同的F(S), 但收敛域不同：aaaas0- aj信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -121212页页页电子教案电子教案5.5.1 1拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为不妨设其初始时刻为坐标原点坐标原点。这样这样，t，可以省略可以省略

321、。本课程主要讨论单边拉氏变换本课程主要讨论单边拉氏变换。三三、单边拉氏变换单边拉氏变换0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为简记为F(s)= f(t)f(t)= - 1F(s)或或f(t) F(s)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -131313页页页电子教案电子教案5.5.1 1拉普拉斯变换拉普拉斯变换四四、常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换1、 (t) 1， - 2、 (t)或或1 1/s ， 03、指数函数指数函数e- s0t01ss - Res0cos0t = (

322、ej0t+ e e- -j j0t)/2 202sssin0t = (ej0te e- -j j0t)/2j 2020st 1/s2信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -141414页页页电子教案电子教案5.5.1 1拉普拉斯变换拉普拉斯变换4、周期信号周期信号fT(t)020(1)0( )( )ed( )ed( )ed.( )edstTTTTststTTTnTstTnTnF sfttfttfttftt0001e( )ed( )ed1 eTTnsTststTTsTnttnTfttftt 令信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安

323、电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -151515页页页电子教案电子教案“ 周期信号周期信号”的的F(s):若若f tF s则则1TsTF sfte( )Tft( )f t0T2T3Tt特例特例：T(t) 1/(1 e- sT)5.25.2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -161616页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质0 0、引言引言利用利用常用信号的拉普拉斯变换对常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变

324、换和拉普拉斯变换的的性质性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。常用信号的拉普拉斯变换对常用信号的拉普拉斯变换对 f(t) F(s) (t) 1 (t) 1/s1!)(nnsntt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -171717页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质常用信号的拉普拉斯变换对常用信号的拉普拉斯变换对（续续） f(t) F(s)asteat1)(1)(!)(natnasntet22)()cos(sstt22)()sin(stt信号与系统信号与系统信号与系

325、统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -181818页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质一一、线性性质线性性质例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0二二、尺度变换尺度变换01()( )Re sf atFsaaa则0( )( )Re 0f tF ssa若且有实数111222( )( )Re ,( )( )Re f tF ssf tF ss若122112212( )( )( )( )Re max(,)af ta f ta F sa F ss 则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心

326、第第第4 4 4- - -191919页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例：如图信号如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换2e( )(1 ee )sssF sss求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。解解： )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss( )4 2 (2 )Y sFs ( )4 (0.5 )y tft信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -202020页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三三、时移时移（延

327、时延时）特性特性与尺度变换相结合与尺度变换相结合001e0,0tsasFataa 例例1:求如图信号的单边拉氏变换求如图信号的单边拉氏变换。解解：f1(t) = (t) (t- 1)，f2(t) = (t+1) (t- 1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)00() ()f attatt00( )( )Re 0f tF sst若且有实常数0000() ()( )Re stf tttteF ss则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -212121页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例

328、2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t- 2)011f1(t)t0241tf2(t)- 1f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t- 2) 2F1(2s)e- 2sf2(t) 2F1(2s)(1 e- 2s)例例3:求求f(t)= e- 2(t- 1)(t) F(s)=?信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -222222页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质四四、复频移复频移（s s域平移域平移）特性特性例例1:已知因

329、果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数2( )1sF ss求求e- tf(3t- 2)的象函数的象函数。解解：e- tf(3t- 2) )1(322e9) 1(1sss例例2:f(t)=cos(2t /4) F(s)= ?解解: cos(2t /4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4)42222242224)(222ssssssF0( )( )Re aaaf tF sssj若且有复常数0( )()Re as taaf t eF sss则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -232323页页页电子教

330、案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五五、时域的微分特性时域的微分特性（微分定理微分定理）1( )1()0( )( )(0 )nnnnmmmfts F ssf例例1:(n)(t) ?例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt0( )( )Re f tF ss若( )( )(0 )f tsF sf 则2( )( )(0 )(0 )fts F ssff若若f(t)为因果信号为因果信号，则则( )( )( )nnfts F s信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -242424页页页电子教案电子教案5.5

331、.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六六、时域积分特性时域积分特性（积分定理积分定理）)(1d)(0sFsxxfnnt)0()(d)()()1(11)1( fssFsxxftft)(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt0( )( )Re f tF ss若，则例例1:2( )tt？信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -252525页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)解解：)0()(d)( 0ft

332、fxxfttxxftf0d)( )(2211( )(1 e)2essF ss2212( )12( )(1 e)essF sF ssss( )( )f tf t对求导得，如图( )0 )0f tf由于是因果信号，故（( )( )(2)2 (2)f tttt 结论结论：若若f(t)为因果信号为因果信号，已知已知( )( )( )nnftF s( )( )nnF sf ts则：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -262626页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七七、卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积定理

333、复频域复频域（s域域）卷积定理卷积定理jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121例例1：t (t) ?例例2：已知已知21( )?(1 e)sF ss00( )*(2 )(2 )nnttntn211 e( )1 e1 esTsTs TF s已知？例例3：111222( )( ) Re ,( )( ) Re f tF ssf tF ss若因果信号1212( )*( )( )( )f tf tF s F s则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -272727页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质

334、八八、s s域微分和积分域微分和积分ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(sdFttf)()(0( )( )Re f tF ss若，则例例1：22( )?tt et21( )2tets22223d12( )()d2(2)tt etsss解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -282828页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：?)(sinttt11)(sin2stt2sin11( )darctanarctanarctan12ssttsts 例例3：21 e?tt211e

335、12sst2111111112()dlnln22tsssesstssss信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -292929页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而不必求出原函数而不必求出原函数f(t)。初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数及其各阶导数（即即F(s)为真分式为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式为假分式化为真分式），），则则0

336、(0 )lim( )lim( )tsff tsF s终值定理终值定理若若f(t)当当t 时存在时存在，并且并且 f(t) F(s) , Res0,00，则则)(lim)(0ssFfs信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -303030页页页电子教案电子教案5.5.2 2拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2

337、ssssF信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -313131页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换- - - 复变函数积分复变函数积分，比较困难比较困难。通常的方法通常的方法:（1）查表法查表法（2）利用性质利用性质（3）部分分式展开部分分式展开 - - - - - 结合结合若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式的有理分式，可写为可写为11101110.( ).mmmmnnnb sbsbsbF ssasa sa 若若mn

338、（假分式假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和与有理真分式之和。)()()()(sAsBsPsF信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -323232页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L- 11= (t)， L- 1sn=(n)(t)，故多项式故多项式P(s)的拉普的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成拉斯逆变换由冲激函数及其各阶

339、导数构成。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式的实系数有理真分式（mn)，则可写为则可写为11101110.( )( )( ).mmmmnnnb sbsb sbB sF sA ssasa sa 式中式中A(s)称为系统的称为系统的特征多项式特征多项式，方程方程A(s)=0称为称为特特征方程征方程，它的根称为它的根称为特征根特征根，也称为系统的也称为系统的固有频率固有频率（或自然频率或自然频率）。）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安

340、电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -333333页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点为单极点（单根单根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii特例特例：F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2= j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2= K1*信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -34

341、3434页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF例例1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆变换。312( )13kkkF smnsss解：部分分式分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其中11( )2|cos() ( )tf tKett 1,21,( )2cos()sin() ( )tkAjBf teAtBtt 若写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -353535页页页电子教案电

342、子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 1002010( )313(3)Fssss)(e310e203100)(3ttftt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -363636页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例2:2:32597( ),(1)(2)sssF sss已知求其逆变换( )F s解：长除法23277223795232223232ssssss

343、ssssssss信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -373737页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12( )212kkF ssss 分式分解法11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中21( )212F ssss 2( )( )2 ( )(2ee) ( )ttf tttt-信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -383838页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例3 3223( ),(25)(2

344、)sF ssss已知求其逆变换23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2 )pj2112312(12)(2)5sjsjksjs 其中信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -393939页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12, (,)55AjBAB1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj 121275555( )12125(2)jjF ssjsjs 1,212,55AB)(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttf

345、tt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -404040页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例4：求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数f(t)。)22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解解：A(s)=0有有6个单根个单根，它们分别是它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故故jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321K1= sF(s)|s=0= 2， K2= (s+1)F(s)|s=- 1= 1K3= (s j)F(s)|s=j=j/2

346、 =(1/2)ej( /2),K4=K3*=(1/2)e- j( /2)K5= (s+1 j)F(s)|s=- 1+j=43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -414141页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点有重极点（重根重根）若若A(s) = 0在在s = p1处有处有r重根重根，)(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr1)()(dd)!1(11111psrrrrsF

347、pssrK1!)(nnsnttL)(e!1)(11111ttnpsLtpnn1111()( )rs pKspF s1121()( )rs pdKspF sds信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -424242页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换举例举例: :32( ),(1)sF ss s已知求其逆变换。131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sFssF ss令11111( )23spskFsss 其中11 2121()(2 ) 12spsdkFsd s

348、sss信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -434343页页页电子教案电子教案5.35.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换121 312411()21422spsdkFsd sss2030()22(1)ssksFsss32( )(1)(1)()Fsssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -444444页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析一一、微分方程的变换解微分方程的变换解描述描述n阶系统的微分方程的一般形

349、式为阶系统的微分方程的一般形式为nimjjiiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的初始状态为y(0- ) ,y (0- ), ，y(n- 1)(0- )。取拉普拉斯变换取拉普拉斯变换)0()()()(101)(pippiiiyssYsty( )( )0( )( )jjf ttfts F s若在时接入，则5.5.4 4复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -454545页页页电子教案电子教案 niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()

350、()()(sYsYsFsAsBsAsMsYfx例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为y (t)+5y (t)+6y(t)=2f(t)已知初始状态已知初始状态y(0- )=1，y (0- )=- 1，激励激励f(t)=5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)。解解：取拉氏变换得取拉氏变换得)(65265)0(5)0( )0()(22sFssssyysysY15)(2sssF5.5.4 4复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -464646页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域

351、分析复频域分析15) 3)(2(2)3)(2(4)()()(2ssssssssYsYsYfxjsejsessssjj442121332431222323( )2432cos() ( )4tttty teeeett二二、系统函数系统函数系统函数系统函数H(s)定义为定义为def( )( )( )( )( )fYsB sH sF sA s它只与系统的结构它只与系统的结构、元件参数有关元件参数有关，而与激励而与激励、初始初始状态无关状态无关。 h(t) H(s)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -474747页页页电子教案电子教案5.5

352、.4 4复频域分析复频域分析例例已知当输入已知当输入f(t)=e- t (t)时时，某某LTI系统的零状态响应系统的零状态响应yf(t)=(3e- t- 4e- 2t+e- 3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解解：65823224)3)(2()4(2)()()(2sssssssssFsYsHf23( )(42) ( )tth teet( )5 ( )6 ( )2( )8 ( )y ty ty tf tf t微分方程为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -484848页页

353、页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析三三、系统的系统的s域框图域框图1/s1/sF(s)F(s)/s积分器的系统框图积分器的系统框图：1s1s4132F(s)Y(s)求求H(s)。X(s)S- 1X(s)S- 2X(s)例例：已知系统框图如图所示已知系统框图如图所示：H(S)H(S)F(s)Y(s)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -494949页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析四四、电路的电路的s域模型域模型对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换1、电阻电阻 u(t)= R i(t)2、电

354、感电感ttiLtuLd)(d)(sisUsLsILL)0()(1)(i(t)u(t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)= R I(s)( )( )(0 )LLU ssLIsLi信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -505050页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析3、电容电容ttuCtiCd)(d)(susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0-)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)4、电源的电源的S域模型域模型us(t)， is(t)Us(s)， Is

355、(s)( )( )(0 )CCI ssCUsCu信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -515151页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析例例：如图所示电路如图所示电路，已知已知uS(t) =(t) V，iS(t) =(t)，起始状态起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压求电压u(t)。5、 S域的域的KCL，KVL0)(0)(kkLkkSIti节点节点：0)(0)( kkLkkSUtu回路回路：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- -

356、-525252页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析五五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系0de)()(ttfsFstRes0ttfFtde)()(jj要讨论其关系要讨论其关系，f(t)必须为因果信号必须为因果信号。根据收敛坐标根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况的值可分为以下三种情况：（1）00，F(j )不存在不存在。例例：f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变换不存在其傅里叶变换不存在。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -535353页页页电子教案

357、电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析（3）0=0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴轴，)(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=1/s2202200limlim1lim)(jjjF= ( ) + 1/j(2)0- 2；则则 F(j )=1/( j +2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -545454页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析1( )( )NiaiiKF sF ssj1( )( )( )iNjtaiif tf tK et设设A(s)=0有有N个虚根个虚根（单根单根） j1

358、， j2，， jN。将将F(s)展开成部分分式展开成部分分式，并把它分为两部分并把它分为两部分，其中极点其中极点在左半开平面的部分令为在左半开平面的部分令为Fa(s)：取其拉普拉斯逆变换取其拉普拉斯逆变换：11 ( )()( )()Nasjiiiif tF jF sKjj F取其傅立叶变换取其傅立叶变换：由于由于傅立叶变换为傅立叶变换为：( )ijtet1()iijj 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -555555页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析1111 ( )()( )()( )()NasjiiiiN

359、Niasjiiiiif tF jF sKjjKF sKjj F1()( )()NsjiiiF jF sK 例例：0220cos() ( )( ),sttF ss 已知的象函数为求其傅里叶变换。220001122( )sF sssjsj2002210()( )() ()()2sjiiijF jF sK 解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -565656页页页电子教案电子教案5.5.4 4复频域分析复频域分析如果如果Fa(s) 极点全左半开平面极点全左半开平面，F(s)对应的傅立叶变换为对应的傅立叶变换为：12(1)(2)1112

360、1( )( )()( )()()(1)!(2)!()rrrrsjiiriKjKjF jF srrK 111211111( )( )rarrKKKF sF ssjsjsj 如果如果F(s)在在j1处有处有r重极点重极点，其余极点全左半开平面其余极点全左半开平面，F(s)的部分分式展开为的部分分式展开为：111111d()( )(1)!drrrsjrKsjF srs1111()( )rsjKsjF s信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第六第六章章离散系统离散系统z z域分析域分析6.6.1 1z z

361、变换变换一一、从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到z变换变换二二、收敛域收敛域6.6.2 2z z 变换的性质变换的性质6.6.3 3逆逆z z变换变换6.4z6.4z 域分析域分析一一、差分方程的变换解差分方程的变换解二二、系统的系统的z域框图域框图三三、s域与域与z域的域的关系关系四四、系统的频率响应系统的频率响应五五、借助借助DTFT求离散系统的频率响应求离散系统的频率响应点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -2 2 2页页页电子教案电子教案第第六六章章离散系统离散系统z z域分析域分析在

362、连续系统中在连续系统中，为了避开解微分方程的困难为了避开解微分方程的困难，可以可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的出于同样的动机动机，也可以通过一种称为也可以通过一种称为z变换的数学工具变换的数学工具，把差分方把差分方程转换为代数方程程转换为代数方程。6.6.1 1z z变换变换一一、从拉普拉斯到从拉普拉斯到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号就得到离散信号。 kTSkTtkTfttftf)()()()()(取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换两边取双边拉普拉斯变换，得得第六章第六章离散系统离散

363、系统z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -3 3 3页页页电子教案电子教案 kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式将成为复变量上式将成为复变量z的函数的函数，用用F(z)表示表示；f(kT) f(k) ，得得 kkzkfzF)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzF称为序列称为序列f(k)的的单单边边z z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边则单边、双边双边z 变换相等变换相等，否则不否则不等等。今后在不致混淆的情况下今后在不致混淆的情况下，统称它们

364、为统称它们为z变换变换。F(z) = Zf(k) , f(k)= Z- 1F(z) ；f(k)F(z)6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -4 4 4页页页电子教案电子教案6.6.1 1z z变换变换二二、收敛域收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级显然只有当该幂级数收敛数收敛，即即 kkzkf)(时时，其其z变换才存在变换才存在。上式称为上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分条件充分条件。收敛域的定义收敛域的定义：

365、对于序列对于序列f(k)，满足满足 kkzkf)(所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -5 5 5页页页电子教案电子教案（1）整个整个z平面收敛平面收敛；6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -6 6 6页页页电子教案电子教案6.6.1 1z z变换变换例例1 求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换 (1) f1(k)= (k)k=0(2) f2(k)=1 , 2

366、, 3 , 2,1解解(1)1)()()(1 kkkkzkzkzF可见可见，其单边其单边、双边双边z变换相等变换相等。与与z 无关无关，所以所以其收敛域为其收敛域为整个整个z 平面平面。(2) f(k)的双边的双边z 变换为变换为F(z) = z2+ 2z + 3 + 2z- 1+ z- 2收敛域收敛域为为0 z 0对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时有时它在它在0或或/和和也收敛也收敛。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -7 7 7页页页电子教案电子教案（2）部分部分z平面收敛平面收敛；6

367、.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -8 8 8页页页电子教案电子教案例例2求求因果序列因果序列0,0, 0)()(kakkakfkky的的z变换变换（式中式中a为常数为常数）。）。解解：代入定义代入定义1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见可见，仅当仅当 az- 1 a 时时，其其z变换存在变换存在。azzzFy)(RezjImz|a|o收敛域收敛域为为|z|z|a|6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

368、教研中心第第第6 6 6- - -9 9 9页页页电子教案电子教案) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkf例例3求求反因果序列反因果序列的的z变换变换。解解:zbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()( 可见可见， b- 1z 1,即即 z b 时时，其其z变换存在变换存在，bzzzFf)(收敛域收敛域为为|z|z| |b|b|RezjImzo6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -101010页页页电子教案电子教案例例4双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)

369、=解解:0,0,kakbkk的的z变换变换。)()()(zFzFzFfy可见可见，其收敛域为其收敛域为 a z bo|a|b|RezjImzazzbzz a b6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -111111页页页电子教案电子教案（3）整个整个z平面均不收敛平面均不收敛；6.6.1 1z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -121212页页页电子教案电子教案例例5双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解:,0,0kk

370、bkak的的z变换变换。( )yzF zzb a b z 222( )2(1)( )2kzfkkF zz , z 1， z 0(),| 0mkmzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -161616页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质6.26.2z z变换的性质变换的性质本节讨论本节讨论z变换的性质变换的性质，若无特殊说明若无特殊说明，它既适它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换变换。例例1：2 ( )3 ( )kk一一、线性线性设设1111|),()(zzFkf2222|),()(zzFkf

371、则则:)()()()(22112211zFazFakfakfa1212max(,) | min(,)z 注注：其收敛域至少是其收敛域至少是F1(z) 与与F2(z)收敛域的相交部分收敛域的相交部分。12,a a 为任意常数32,| 11zzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -171717页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质解解：)(2) 1(2)(kkkfkk2|,2)1(2zzzkZk21|,12221)(2zzzzzkZk2|21,)2)(12(32122)(zzzzzzzzzF例例2：，求求的双边

372、的双边z变换变换。| |( )2kf k( )f k( )F z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -181818页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质二二、移位移位（移序移序）特性特性单边单边、双边差别大双边差别大！双边双边z变换的移位变换的移位：若若 f(k) F(z) , z 0，则则证明证明： ()()( )( )n k mknmmknZ f kmf km zf n zzz F z 单边单边z变换的移位变换的移位：若若 f(k) F(z), |z| ，且有整数且有整数m0, 则则10()( )()mm

373、kkf kmzF zf km z()( ),|mf kmzF zz 1(1)( )( 1)f kz F zf 21(2)( )( 2)( 1)f kz F zffz 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -191919页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质证明证明（右移右移）：）：1()00 ()()()()mkkk mmkkk mZ f kmf km zf km zf km zz 上式第二项令上式第二项令k m=n，则则：)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk10()(

374、)( )mmm kkf kmz F zf k z(1)( )(0)f kzF zfz 22(2)( )(0)(1)f kz F zfzfz特例特例：若若f(k)为因果序列为因果序列，则则()( )mf kmzF z() ()( )mf kmkmzF z即即：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -202020页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列0)(mmNk的的z变换变换。111)(00NNNmmNmzzzzmNk解解: z 1例例2：求求f(

375、k)= k(k)的单边的单边z变换变换F(z).解解:( )(0)( )1zzF zzfF zz2( )(1)zF zz(1)(1) (1)(1) ( )( )( )f kkkkkf kk 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -212121页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质三三、序列乘序列乘（a可为实数可为实数、虚数虚数、复数复数） ( (z z域尺度变换域尺度变换) )0:)(akfaakk( )( ), | |kza f kFazaa 则则证明证明：( )( )( )( )( )kkkkkkzzZ a

376、 f ka f k zf kFaa 设设( )( ),| |f kF zz ,且有常数且有常数a |)()(1zzFkfk若若a=- 1，有有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -222222页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质例例1：( )?kak( )1zkz( )1kzzaakzzaa解解:例例2：cos() ( )?kk 10.50.5cos() ( )() ( )2eej kj kjjzzkkeekzz 解解:22coscos() ( ),| 12 cos1zzkkzzz sin() ( )?kk

377、 110.50.5sin() ( )() ( )22eej kj kjjzzkkeekjj zz 2sinsin() ( ),| 12 cos1zkkzzz 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -232323页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质四四、卷积性质卷积性质：设设1111|),()(zzFkf2222|),()(zzFkf则则),min(|),max().()()()(21212121zzFzFkfkf证明证明：kkikkzikfifzkfkf )()()()(2121 ikkzikfif)()(2

378、1)()()()(2121zFzFzFzifii 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列 iizFzif)()(21注注：其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分收敛域的相交部分。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -242424页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质例例：，求求的双边的双边变换变换。( )( )f kkk)(kfz)(zF解解：( )( )( )* (1)f kkkkk1|,1)(zzzk2( ),| 1(1)zF zzz1(1),| 11z zkz

379、z 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -252525页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质五五、序列乘序列乘k k（z z域微分域微分）设设|),()(zzFkf则则)()()(zFdzdzkkf)()()()(2zFdzdzdzdzkfk|, )()()()()(zzFdzdzdzdzdzdzkfkmm次证明证明： kkzkfzF)()( kkkkzdzdkfzkfdzdzFdzd)()()( kkkzkf)(1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6-

380、- -262626页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质 kkzkkfzFdzdz)()()(令令)()(),()()(11kkfkfzFdzdzzF则则 kkzkfzF)()(11即即：11( )( )F zZ f k)()()(zFdzdzkkf解解：1)(zzk22d(1)( ),| 1d1(1)(1)zzzzkkzzzzzzz 例例：求求的双边的双边变换变换。( )( )f kkkz)(zF信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -272727页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质

381、六六、序列除序列除(k+m)(k+m)(z z域积分域积分）则则1( )( ),|mmzf kFzdzkm 若若( )( ),|f kF zz，设有整数设有整数m，且且k+m0证明证明：(1)11()()( )( )( )( )( )( )()( )kk mkmmzzzkk mk mmkzkkkmf kFddf kdf kf kf kzzzkmkmkmf kzkm Z Z( )( )kkF zf k z 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -282828页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质例例：求序列求序列

382、的的z变换变换。)(11kk解解：1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzzz若若m=0 ,且且k0，则则( )( ),|zf kFdzk 即即1( )( ),|mmzf kFzdzkm 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -292929页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质设设|),()(zzFkf111()(),|fkF zz 则则证明证明：()( )k mkmkmfk zf m z ( )kkf k z 1()F z七七、k域反转域反转( (仅适用双边仅适用双边

383、z变换变换）1( )()kkf kz 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -303030页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质111(1), |1kz zakzazaz 1111(1), |kakzzaa 利用齐次性利用齐次性，k域和域和z域同时乘以域同时乘以a得得11(1), |kaakzzaa 例例2：已知已知( ), |kzakzaza，求求的的z变换变换。(1)kak 解解：例例1：求求),()(),()(zFkfkkf)(zF1|,1)(zzzk1|,111)(11zzzzzF解解：信号与系统信号与

384、系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -313131页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质八八、部分和部分和若若 f(k) F(z) , z ，则则)(1)(zFzzifki , max( ,1) z max(|a|,1)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -323232页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质九九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理初值定理适用于初值定理适用于右边序列右边序列，即适用于即适用于kM(M为整数为整数)时时f(k

385、)=0的序列的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值它用于由象函数直接求得序列的初值f(M), f(M+1), 而不必求得原序列而不必求得原序列。初值定理初值定理：如果序列在如果序列在kM时时，f(k)=0，它与象函数的关系为它与象函数的关系为f(k)F(z) ， z 则序列的初值则序列的初值)(lim)(zFzMfmz对因果序列对因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -333333页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质证明证明： MkkkkzkfzkfzF)()()(

386、两边乘两边乘zM，得得)(lim)(zFzMfMz.)2() 1()()2()1(MMMzMfzMfzMf.)2() 1()(21zMfzMfMfzFzM上式取上式取z，得得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -343434页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质终值定理终值定理：终值定理适用于终值定理适用于右边序列右边序列，用于由象函数直接求用于由象函数直接求得序列的终值得序列的终值，而不必求得原序列而不必求得原序列。如果序列在如果序列在kM时时，f(k)=0，它与象函数的关系为它与象函数的关系为f(k) F

387、(z) ， z 且且0 1则序列的终值则序列的终值含含单位圆单位圆11( )lim( )lim( )kzzff kF zz 1( )lim( )lim(1) ( )kzff kzF z 或或信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -353535页页页电子教案电子教案6.6.2 2z z变换的性质变换的性质证明证明：1( )(1)( )( )( )(1)lim( )(1)kk MNkNk Mf kf kF zz F zf kf kzf kf kzZ Z1111lim(1) ( )lim lim( )(1)lim lim( )(1)lim(

388、 )(1)lim()( )NkzzNk MNkNzk MNNk MNzF zf kf kzf kf kzf kf kf Nf 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -363636页页页电子教案电子教案设设)()(zFkf |,)()(zzkfzFkk上式两边乘以上式两边乘以，为整数为整数，在在的收敛域的收敛域内作围线积分内作围线积分：1nzn1)(nzzF111( )( )( )nk nk nccckkF z zdzf k zdzf kzdz 柯西公式柯西公式：1, 01,2mmjdzzcm6.6.3 3逆逆z变换变换6.36.3逆

389、逆z变换变换一一、逆逆z变换变换knknnkjdzzcnk, 0, 11,21即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -373737页页页电子教案电子教案令令，得得：kn ,)()(21dzzzFkjfckkdzzzFjkfck,)(21)(1上式称为上式称为 F(z) 的逆的逆z变换变换.Z Z逆变换的计算方法逆变换的计算方法：（1）反演积分法反演积分法（留数法留数法）；）；（2）幂级数展开法幂级数展开法；（3）部分分式展开法部分分式展开法；（4）用用 z 变换性质求逆变换性质求逆 z 变换变换。6.6.3 3逆逆z z变换变换信号

390、与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -383838页页页电子教案电子教案6.6.3 3逆逆z z变换变换双边双边Fb(z) + 收敛域收敛域f(k)一一对应一一对应单边单边F (z)一一对应一一对应f(k)一般而言一般而言，双边序列双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和和反因果序列反因果序列f2(k)两部分两部分，即即其中其中21( )( )( )( ) (1)( ) ( )f kfkf kf kkf kk 相应地相应地，其其z变换也分为两部分变换也分为两部分21( )( )( ),|F zF zF zz 10(

391、) ( ) ( )( ), |kkF zZ f kkf k zz12( ) ( ) (1)( ), |kkF zZ f kkf k zz 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -393939页页页电子教案电子教案6.6.3 3逆逆z z变换变换已知象函数已知象函数F(z)时时，根据给定的收敛域不难由根据给定的收敛域不难由F(z)求求得得F1(z)和和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和和f2(k)，根据线性性质根据线性性质，将两者相加得到将两者相加得到F(z) 所对应的原所对应的原序列序列f

392、(k)。二二、幂级数展开法幂级数展开法根据根据z变换的定义变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数因果序列和反因果序列的象函数分别是分别是z- 1和和z的幂级数的幂级数。其系数就是相应的序列值其系数就是相应的序列值。例例：已知象函数已知象函数2)2)(1()(222zzzzzzzF其收敛域如下其收敛域如下，分别求其相对应的原序列分别求其相对应的原序列f(k)。(1) | 2; (2) | 1; (3) 1 | 2zzz 。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -404040页页页电子教案电子教案6.6.3 3逆逆z z变换变换解解:（

393、1）由于由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为2的圆外的圆外，故故f(k)为因果序列为因果序列。用长除法将用长除法将F(z)展开为展开为z- 1的幂级数的幂级数：123221352zzzzzz 2z 22zz 11 2zz 132z222zzzzF321531zzz( )1,1,3,5,0f kk 于是于是，得原序列得原序列：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -414141页页页电子教案电子教案6.6.3 3逆逆z z变换变换（2）由于由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为1的圆内的圆内，故故f(k)为为反因果序列反因

394、果序列。用长除法将用长除法将F(z)（其分子其分子、分母按分母按z 的的升幂排列升幂排列）展开为展开为z 的幂级数如下的幂级数如下：222zzzzF2345113524816zzzz 于是于是，得原序列得原序列：2345221135248162zzzzzzz 2341122zzz341122zz345111244zzz453144zz5311( ),0168421f kk 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -424242页页页电子教案电子教案6.6.3 3逆逆z z变换变换(3) F(z)的收敛域为的收敛域为1 z )和和F2(z

395、)( z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，f(k)为因果序列为因果序列)()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 当当 z 1，f(k)为反因果序列为反因果序列) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)当当1 z 2， f(k)为双边序列为双边序列) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -474747页页页电子教案电子教案6.36.3逆逆z z变换变换例例2：已知象函数已知象函数)3)(2)(1)(21()21294()(23zzzzzzzzzF,1 z 1，后两项满

396、足后两项满足 z 1)，则逆变换为则逆变换为：razz)( 若若 z a a ,对应原序列为因果序列对应原序列为因果序列：)()!1()2).(1(1karrkkkrk1111( )()(1)!iriz aidF zKzaidzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -525252页页页电子教案电子教案6.36.3逆逆z z变换变换以以 z a a 为例为例：)() 1(212kakkk当当r=3时时，为为)(1kkak当当r=2时时，为为可这样推导记忆可这样推导记忆：( )kzZ akza两边对两边对a求导得求导得:12( )()k

397、zZ kakza再对再对a求导得求导得:232 (1)( )()kzZ k kakza故故:231(1)( )2()kzZk kakza信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -535353页页页电子教案电子教案6.36.3逆逆z z变换变换例例：已知象函数已知象函数323) 1()(zzzzF， z 1。求原函数求原函数。解解:1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF;2)() 1(1311zzzFzK3121d( )(1)3;dzF zKzzz2313211 d( )(1)1.2 dzF zKzzz

398、1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzF kkkkkkkf21131! 22信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -545454页页页电子教案电子教案例例1 1：求逆变换求逆变换。3|,) 3)(2(1)(zzzzF)(kf解解：33122161) 3)(2(1)(zzzzzzzzF33122161)(zzzzzF)()331221()(61)(kkkfkk)()32 ()(6111kkkk6.36.3逆逆z z变换变换四四、用性质求逆用性质求逆z z变换变换方法方法1 1：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大

399、学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -555555页页页电子教案电子教案方法方法2 2：3121) 3)(2(1)(zzzzzF)32(1zzzzz) 1(3) 1(2)(11kkkfkk) 1()23(11kkk6.36.3逆逆z z变换变换11(32) ( )( )kkkk)()32()(6111kkkk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -565656页页页电子教案电子教案例例2、因果周期信号因果周期信号如图如图，求求的单边的单边变换变换。)(kf)(kfz)(zF设第一周期内信号为设第一周期内信号为，则则可表示为可表

400、示为)(kfT)(kf)2()()()(NkfNkfkfkfTTT0)(mTmNkf设设)()(),()(zFkfzFkfTT)()()()(2zFzzFzzFzFTNTNT)1)(2NNTzzzF1|1)(zzzFNT6.36.3逆逆z z变换变换( )f k( )Tfkk0122NN解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -575757页页页电子教案电子教案五五、反演积分法反演积分法（留数法留数法）* *11( )2kCf kF z zdzkj 1C( )k- 1fkF z z根据复变函数理论中的留数定理，因果序列等于积分路径

401、内的极点留数之和，即：( )f kF zz100ikzCkfkF z z-1内极点Res ( )k0C0Re zIm z6.36.3逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -585858页页页电子教案电子教案2C( )k- 1fkF z z根据复变函数理论中的留数定理，反因果序列等于积分路径外部区域内的极点留数之和并取负号，即：200ikzCkfkF z z-1外极点Res ( )k012( )( )( )f kf kfk等于与之和，即：120( )( )iikzCkzCF z zkf kf kfkF z z-1内

402、极点-1外极点Res ( )Res ( )k06.36.3逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -595959页页页电子教案电子教案1( )( )kF zF z z为有理分式时，的极点留数为：1( )kiF z zzz若在有一阶极点，则()iikkiz zzF z zzz F z z-1-1=Res ( )=( )1( )kiF z zzzr若在有重极点，则11()(1)!iirkrkiz zrzdF z zzzF z zrdz-1-1=1Res ( )=( )6.36.3逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号

403、与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -606060页页页电子教案电子教案24( ),13,( )(1) (3)zF zzf kzz 已知求原函数。例例：解解：124( )(1) (3)kkzF z zzz121,3zz12114(1)3kkkzzzddzF z zzF z zdzdz z-1-1=Res ( )( )(21)k 23(3)kkzzF z zzF z z -1-1=Res ( )( )3k6.36.3逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -616161页页页电子教案

404、电子教案0( )iikzCkzCF z zkf kF z z-1内极点-1外极点Res ( )Res ( )k0(21)030kkkk(21) ( )3(1)kkkk 6.36.3逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -626262页页页电子教案电子教案6.4离散系统的离散系统的z域分析域分析单边单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中中，可求得零输入可求得零输入、零状态响应和全响应零状态响应和全响应。一一、差分方程的差分方程的z域解域解mjjmniinjkfbik

405、ya00)()(设设f(k)在在k=0时接入时接入，系统初始状态为系统初始状态为y(- 1),y(- 2), y(- n)。取单边取单边z变换得变换得：1000( )()( )nimikjn imjikjaz Y zy ki zbzF zmjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()(6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -636363页页页电子教案电子教案)()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYfx)()()()()(zA

406、zBzFzYzHf令令称为系统函数称为系统函数。h(k)H(z)例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y(2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统求系统的的yx(k)、yf(k)、y(k)。6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -646464页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析1212122222(1 2) ( 1)2 ( 2)1 2( )( )12

407、1242221zyyzY zF zzzzzzzzzzzzzz )() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkxx)(23) 1(212)(12312122)(1kkyzzzzzzzYkkff解解：方程取方程取z变换变换，得得：1212( ) ( )( 1)2( )( 2)( 1)( )2( )Y zz Y zyz Y zyyzF zz F z 整理得整理得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -656565页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析例例2：1( )()

408、( )23 1191( ) ( )4()() ( )2 2322( )kkkkff kkykkh k 某系统，已知当输入时，其零状态响应求系统的单位序列响应和描述系统的差分方程。解解：31221361612)()()(22zzzzzzzzzFzYzHf) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky11( )32( )23kkh kk 系统的差分方程为系统的差分方程为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -666666页页页电子教案电子教案例例3 ： (求求LTI系统差分方程的系统差分方程的3种响应种响应)已知离散系统的

409、方程为已知离散系统的方程为：)2()2(2) 1(3)(kfkykyky)()(, 0)2(, 1) 1(kkfyy求求：).(),(),(kykykyfx1、求完全响应求完全响应：)(ky由单边由单边z变换的右移性质变换的右移性质：,)()()(10mkkmzmkfzFzmkf6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -676767页页页电子教案电子教案根据右移性质根据右移性质，对系统差分方程取单边对系统差分方程取单边z变换变换，得得0112200( )3( )(1)2( )(2)

410、( )kkkkY zz Y zy kzz Y zy kzz F z由上式得由上式得：)()2(2) 1()23()231)(2121zFzyyzzzzY)(231231)2(2) 1()23()(212211zFzzzzzyyzzY1)(,)2)(1)(1(3323zzzFzzzzzz2|,)2(311) 1(21) 1(61zzzzzzz0,)2(311) 1(21161)(kkykkk6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -686868页页页电子教案电子教案2、求零输入响应求零输入

411、响应0)2()2(, 1) 1() 1(: )(yyyykyxxx的方程的方程：)(kyx0)2(2) 1(3)(kykykyxxx根据右移性质根据右移性质，对对的方程取单边的方程取单边变换变换，得得：)(kyxz0)2()( 2) 1()( 3)(102001kkxxkkxxxzkyzYzzkyzYzzY由上式得由上式得：2|,)2)(1(23231)2(2) 1()23()(2211zzzzzzzyyzzYxxx241zzzz0,)2() 1()(2kkykkx6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第

412、6 6 6- - -696969页页页电子教案电子教案3、求零状态响应求零状态响应0)2() 1(),()(: )(fffyykkfky)(kyf的方程的方程：)2()2(2) 1(3)(kfkykykyfff由右移性质由右移性质，对对的方程取单边的方程取单边变换变换，得得)(kyfz)()(2)(3)(221zFzzYzzyzzYfff1)(),()231 ()(212zzzFzFzzzzYf2|,)2)(1)(1(zzzzz,)2(31) 1(21) 1(61zzzzzz)()2(31) 1(21161)(kkykkkf6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统

413、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -707070页页页电子教案电子教案说明说明：前向差分方程的解法前向差分方程的解法：（1）用左移性质用左移性质：,)()()(10mkkmmzkfzFzmkf初始条件初始条件：对对、) 1 ()0(: )(yyky对对、) 1 ()0(: )(xxxyyky（2）转变为由后向差分方程转变为由后向差分方程，用右移性质求解用右移性质求解，初始条件初始条件：对对、)2() 1(: )(yyky对对、 )2() 1(: )(xxxyyky若初始条件不适用若初始条件不适用，则用则用递推法递推法由相应的差分由相应的差分方程递推得

414、到需要的初始条件方程递推得到需要的初始条件。6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -717171页页页电子教案电子教案二二、系统函数系统函数H(z):1 1、定义定义：)()()(zFzYzHf)()(),()(kfZzFkyZzYff2 2、物理意义物理意义：)()(khZzH3 3、计算计算：)()()(zFzYzHf（1）（2）)()(khZzH（3）由系统差分方程求由系统差分方程求)(zH6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统

415、西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -727272页页页电子教案电子教案例：1010( )(1)(2)(1)(2)( )fffyka yka ykb f kb f kH z 已知：；求：。)()()()()(20112011zFzbzFzbzYzazYzazYfff)()()()1 (20112011zFzbzbzYzazaf201120111)()()(zazazbzbzFzYzHf01201azazbzb6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析解：由于是零状态响应由于是零状态响应，对方程取对方程取z变换变换，得得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安

416、电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -737373页页页电子教案电子教案4 4、应用应用：（4）表示系统特性表示系统特性：频率特性频率特性、稳定性等稳定性等。（1）求求);()()(),()(1zFzHzYzYZkyfff（2）求求);()(1zHZkh（3）求求;)()()(),()(1zHzYzFzFZkff6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -747474页页页电子教案电子教案三三、系统的系统的z域框图域框图:6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析

417、z数乘器（标量乘法器）k 域模型名称z 域模型( )f k( )af kaa( )f k( )af k或( )F z( )aF za( )F z( )aF z或a加法器2( )fk1( )f k12( )( )f kfk2( )F z1( )F z12( )( )F zF z( )f k(1)f k 迟延单元D( )F z1z1( )( 1)z F zf ( 1)f 迟延单元（零状态）( )f k(1)f k D( )F z1z1( )z F z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -757575页页页电子教案电子教案6.46

418、.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析例例1:1: 求图示求图示LTILTI因果系统的单位序列响应因果系统的单位序列响应。( )f k( )y k4331x(k)x(k- 1)x(k- 2)解解：画出画出z域框图域框图：( )F z( )Y z43311z1zX(z)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -767676页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析12( )( )4( )3( )X zF zz X zzX z由右边加法器可得由右边加法器可得：系统函数系统函数为为：2( )31414331H

419、 zzzzzzz1122( )( )( )3(31)( )( )( )( )1 4343Y zY zX zzzzH zF zX z F zzzzz由由部分分式展开部分分式展开得得：由左边加法器可得由左边加法器可得：1( )3( )( )Y zX zz X z所以系统的所以系统的单位序列响应单位序列响应为为：( ) 14(3) ( )kh kk4( )13zzH zzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -777777页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析所以系统的所以系统的单位序列响应单位序列响应为

420、为：( ) 14(3) ( )kh kk4( )13zzH zzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -787878页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析例例2:2: 求图示求图示LTILTI因果系统的单位序列响应因果系统的单位序列响应。( )f k( )y k4331x(k)x(k- 1)x(k- 2)解解：设一中间变量设一中间变量x(k)，则左边的加法器输出为则左边的加法器输出为：( )( )4 (1)3 (2)x kf kx kx k ( )3 ( )(1)y kx kx k右边加法器输出为右

421、边加法器输出为：( )4 (1)3 (2)( )(1)x kx kx kf k 整理得整理得：例例1经典解法经典解法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -797979页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析( )4 (1)3 (2)3 ( )(1)(2)y ky ky kf kf k 所以所以，图示系统的差分方程为图示系统的差分方程为：k2时时，(2)式的式的零状态响应零状态响应化为齐次方程化为齐次方程：( )4 (1)3 (2)0(3)h kh kh k 初始状态初始状态：( 1)( 2)0hh 迭

422、代得迭代得：(0)4 ( 1)3 ( 2)33hhh (1)4 (0)3 ( 1) 111hhh 由由(2)得得：( )4 (1)3 (2)3 ( )(1)h kh kh kkk 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -808080页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析（3）式的特征根为式的特征根为：121,3所以所以：12( )(1)(3) ( )kkh kCCk代入代入初始条件初始条件得得：12(0)3hCC12(1)311hCC解得解得：121,4CC 由于由于h(0),h(1)作为初始值代入作

423、为初始值代入，因而方程的解因而方程的解也满足也满足k=0和和k=1。所以系统的所以系统的单位序列响应单位序列响应为为：( ) 14(3) ( )kh kk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -818181页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析sz平面与平面的映射关系s=,2,TjsTsjzzee设又其中为序列时间间隔,TjTj TTeee e 则即1lnsTzeszT 复变量复变量s与与z的关系的关系：四四、s域与域与z域的关系域的关系信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路

424、与系统教研中心第第第6 6 6- - -828282页页页电子教案电子教案s平面的左半平面平面的左半平面（ z平面的单位圆内部平面的单位圆内部（ z = z平面的单位圆平面的单位圆（ z = =1)s平面上的原点平面上的原点（ =0， =0）- - - - z平面上平面上z=1的点的点（ =1， =0）s平面的右半平面平面的右半平面（ 0)- - - z平面的单位圆外部平面的单位圆外部（ z = 1)6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析s平面上实轴平面上实轴（ =0)- - - z平面的正实轴平面的正实轴（ =0)j0Im z0Re z|1z s平面z平面信号与系统信号与系统信号

425、与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -838383页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析z 平面到平面到 s 平面的映射是多值的平面的映射是多值的。在在z平面上的一点平面上的一点jez映射到映射到s平面将是无穷多点平面将是无穷多点，即即,2ln1ln1TmjTzTs,2,1,0m信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -848484页页页电子教案电子教案五五、离散系统的频率响应离散系统的频率响应：1、LTI离散系统对正弦序列的响应离散系统对正弦序列的响应：设系统输入

426、设系统输入kTkAkf,cos)(初始时刻初始时刻 0k响应为响应为)(ky)(kf表示为表示为：)(2)(TkjTkjeeAkf6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析（1）系统对系统对的响应的响应：Tkje设输入设输入，响应为响应为Tkjekf)()(1ky则则1( )( )j Tky kh ke信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -858585页页页电子教案电子教案即即 mmkTjTkjemhekhky)(1)()()(为因果信号）)( ,)(0khemhemTmjTkj0)(mmTjTkjemhe6.46.4离散系

427、统的离散系统的z z域分析域分析设设的收敛域含单位圆的收敛域含单位圆，令令z为为：)()(khZzH则则10( )( )j Tj Tkmz emy keh m z)(| )(TjTkjezTkjeHezHeTjjj Tzree信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -868686页页页电子教案电子教案*( )|()j Tj Tkz ej Tkj TeH zeH e其中其中，的收敛域含单位圆的收敛域含单位圆。)(zH6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析（2）系统对系统对的响应的响应：j Tke设输入设输入，响应为响应为( )

428、j Tkf ke2( )y k则则2( )( )j Tky kh ke（3）系统对正弦序列的响应系统对正弦序列的响应：系统输入系统输入)(2)cos()(TkjTkjeeATkAkf响应为响应为)(ky信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -878787页页页电子教案电子教案由系统的线性性质由系统的线性性质，得得：)()(2)(21kykyAky)()(2TjTkjTjTkjeHeeHeA设设()() |()|j Tj TjTH eH ee()() |()|j Tj TjTHeH ee则则()()( )|()|2j TjTkTjTkT

429、Ay kH eee |()|cos(),j TA H eTkTk 一般情况一般情况：)cos()(TkAkf( )|()|cos()j Ty kA H eTkT 称称LTI离散系统的离散系统的正弦稳态响应正弦稳态响应。)(ky6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -888888页页页电子教案电子教案2、LTI离散系统的频率响应离散系统的频率响应：若若LTI因果离散系统得系统函数因果离散系统得系统函数H(z)得收敛域包含得收敛域包含单位圆单位圆，则则称为称为LTI因果离散系因果离散系统

430、的统的频率响应频率响应。其中其中) 1,|(|z)(TjeHTjezTjzHeH| )()()() |()|j Tj TjTH eH ee| )(|TjeH称为系统的称为系统的幅频响应幅频响应；()T称为系统的称为系统的相频响应相频响应；6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -898989页页页电子教案电子教案（2）是是的连续函数的连续函数；)(TjeHT（3）表示系统对不同频率表示系统对不同频率的正弦序列的正弦序列的稳态响应特性的稳态响应特性。)(TjeHT（1）是是的周期函数的周期

431、函数，周期为周期为；)(TjeHT26.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析说明说明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -909090页页页电子教案电子教案例例1 1：01()j TH e 已知离散系统如图所示，求。),() 1()(kfkayky为因果信号为因果信号)(kf系统函数系统函数：)(zH)() 1()(kfkaykyff)()()(1zFzYazzYffazazzazzFzYzHf|,11)()()(16.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析( )y ka( )f k系统差分方程为系统差分方程为：

432、解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -919191页页页电子教案电子教案因为因为，所以所以的收敛域含单位圆的收敛域含单位圆，系统的频率响应为系统的频率响应为：10 a)(zH6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析aeezHeHTjTjezTjTj| )()(|sincos|1|1| )(|aTjTaeeHTjTjTaT22sin)(cos1Taacos2)1 (12信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -929292页页页电子教案电子教案幅频响应曲线幅频响

433、应曲线：（：（称数字角频率称数字角频率）TaeHTTj11| )(|, 0aeHTTj11| )(|,aeHTTj11| )(|,26.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析T|()|,0.5j TH ea02342信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -939393页页页电子教案电子教案系统函数为系统函数为kkkkf),42cos(9)4cos(99)(例例2：已知离散系统的输入已知离散系统的输入为为)(kf求稳态响应求稳态响应。,21|,121)(zzzH)(ky因为因为，所以所以收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆。21|z

434、)(zH1()21j Tj TH ee31)( TjeH6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析解解：设系统对设系统对的响应为的响应为，则则)(1kf)(1ky11( )9|()|cos()93,03j Ty kH eTkTT 1( )99cos(),0f kTkT 设（1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -949494页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析3 .3036. 0121)(4jTjeeH2( )9|()|cos(),4j Ty kH eTkTT )3 .304cos(36

435、. 09k)3 .304cos(24. 3k设系统对设系统对的响应为的响应为，则则2( )fk2( )y k2( )9cos(),44fkkT 设（2）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -959595页页页电子教案电子教案4 .6345. 0211121)(2jeeHjTj6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析3( )9|()|cos(),42j Ty kH eTkTT )4 .6342cos45. 09k)4 .182cos(05. 4k设系统对设系统对的响应为的响应为，则则3( )f k3( )y k3( )9co

436、s(),242f kkT 设（3）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -969696页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析)()()()(321kykykyky)4 .182cos(05. 4)3 .304cos(24. 33kkk(4) 设系统对设系统对的响应为的响应为：( )f k( )y k信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6 6 6- - -979797页页页电子教案电子教案6.46.4离散系统的离散系统的z z域分析域分析3、借助借助DTFT求

437、离散系统的频率响应求离散系统的频率响应()( )|jjz eH eH z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第七章第七章系统函数系统函数7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性一一、系统函数的零点与极点系统函数的零点与极点二二、系统函数与时域响应系统函数与时域响应三三、系统函数与频域响应系统函数与频域响应7.7.2 2系统函数的因果性与稳定性系统函数的因果性与稳定性一一、系统的因果性系统的因果性二二、系统的稳定性系统的稳定性7.7.3 3信号流图信号流图一一、信号流图信号流图二二、梅森公

438、式梅森公式7.47.4系统的结构系统的结构一一、直接实现直接实现二二、级联和并联实现级联和并联实现点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -2 2 2页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性一一、系统的零点和极点系统的零点和极点：LTI系统的系统的系统函数系统函数是复变量是复变量s或或z的有理分式的有理分式，即即：1、对于连续系统对于连续系统：011011)(asasbsbsbsHnnnmmmm)()()()(2

439、121nmmpspspssssb( )( )( )BHA其中其中：，mii21称称 H(s) 的的零点零点；，njpj21称称 H(s) 的的极点极点。11(),()mmjjniibsmnsP 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -3 3 3页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性2、对于离散系统对于离散系统：011011)()()(azazbzbzbzAzBzHnnnmmmm1212()()()()()()mmnbzzzzPzPzP11(),()mmjjniibzmnzP其中其中：，mii21称称

440、H(z) 的的零点零点；，njpj21称称 H(z) 的的极点极点。零零/极点的种类极点的种类：实数实数、复数复数 (复数零复数零、极点必共轭极点必共轭 )一阶一阶、二阶及二阶以上极点二阶及二阶以上极点信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -4 4 4页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性二二、系统函数与时域响应系统函数与时域响应：1、连续系统连续系统H(s) 的零的零、极点与时域响应极点与时域响应 h(t)的关系的关系：在负实轴上在负实轴上：二阶极点二阶极点：1211122()( )()ttkk

441、sk tekets 不在负实轴上不在负实轴上：)(tkeskt一阶极点一阶极点：一阶极点一阶极点：)()cos()()(22ttkessBt二阶极点二阶极点：11222( )cos() ( )()tB sk tetts 22cos()( )tk ett （1）极点在左半平面极点在左半平面：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -5 5 5页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性（2）极点在极点在 j轴上轴上：在原点在原点：)(1tksk 二阶极点二阶极点：)(2tktsk不在原点不在原点：)()cos(

442、)(22ttkssB二阶极点二阶极点：11222( )cos()( )B sk ttts 22cos()( )ktt 一阶极点一阶极点：一阶极点一阶极点：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -6 6 6页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性（3）极点在右半平面极点在右半平面：在正实轴上在正实轴上：)(teskt1211122() ( )()ttkk sk tek ets 不在实轴上不在实轴上：222( )cos() ( )()tB sketts 1122 2( )cos() ( )()tB sk t

443、etts 22cos() ( )tk ett 二阶极点二阶极点：一阶极点一阶极点：二阶极点二阶极点：一阶极点一阶极点：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -7 7 7页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性H(s) 的零的零、极点与极点与 h(t) 的关系的关系：(1) 零点影响零点影响 h(t) 的幅度的幅度、相位相位；(2) 极点决定极点决定 h(t) 的函数形式的函数形式：a)左半平面极点对应左半平面极点对应 h(t)，随时间增加随时间增加，是按是按指数函数规律衰减的指数函数规律衰减的；b)虚轴

444、上一阶极点对应虚轴上一阶极点对应 h(t) 是阶跃函数或正弦是阶跃函数或正弦函数函数，二阶及二阶以上极点对应二阶及二阶以上极点对应 h(t) 是随时间增是随时间增加而增大的加而增大的；c)右半平面极点对应右半平面极点对应 h(t) 都是随时间增加按指都是随时间增加按指数函数规律增加的数函数规律增加的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -8 8 8页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性H(s) 的一阶极点与所对应的响应函数的一阶极点与所对应的响应函数：ttttttj0信号与系统信号与系统信号与系统信

445、号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -9 9 9页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性2、离散系统离散系统 H(z)的零的零、极点与极点与h(k)的关系的关系：（1）单位圆内的极点单位圆内的极点：在实轴上在实轴上：1|),(akAaazAzk二阶极点二阶极点：)()(2kAkaazAzk不在实轴上不在实轴上：1112|cos() ( ),1kjjAzA zAkkzeze二阶极点二阶极点：1111222|cos (1) ( )()()kjjA zA zAkkzeze 一阶极点一阶极点：一阶极点一阶极点：信号与系统信号与系统信号与系统

446、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -101010页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性（2）单位圆上的极点单位圆上的极点：在实轴上在实轴上：)() 1(1kAzAzk)() 1() 1(2kAkzAzk不在实轴上不在实轴上：jjAzA zzeze)()cos(|2kkA22()()jjAzA zzeze)() 1(cos|2kkkA信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -111111页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性（3）单位圆外

447、的极点单位圆外的极点：在实轴上在实轴上：)()(12kAkaazAzk不在实轴上不在实轴上：2|cos() ( ),1kjjAzA zAkkzeze1|),(akAaazAzk1111222|cos (1) ( )()()kjjA zA zAkkzeze 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -121212页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性结论结论：（2）H(z)的极点在单位圆上的极点在单位圆上一阶极点对应一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列为阶跃序列或正弦序列；二阶及二阶以上极点对应二阶及二

448、阶以上极点对应h(k)增长增长。（3）H(z)的极点在单位圆外的极点在单位圆外，对应对应h(k)按指数按指数规律增长规律增长。（1）H(z)的极点在单位圆内的极点在单位圆内，对应对应h(k)按指数按指数规律衰减规律衰减；信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -131313页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性H(z) 的一阶极点与所对应的响应序列的一阶极点与所对应的响应序列：kkkkRe zIm zz平面0k| 1z k信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4

449、 4 4- - -141414页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性三三、系统函数与频域响应系统函数与频域响应（1）H(s) 与与 H(j) 关系关系：设设 h(t) 为因果信号为因果信号00( )( )stH sh t edt dtethdtethjHtjtj0)()()(jssHjH)()(1、连续系统连续系统H(s) 的零的零、极点与系统频率响应极点与系统频率响应：当当0 且且时时，（，（H(s) 极点在左半平面极点在左半平面）00这种情况下这种情况下，h(t) 对应的系统称为对应的系统称为因果稳定系统因果稳定系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系

450、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -151515页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性（2）H(s) 零零、极点与连续系统频率特性极点与连续系统频率特性：设设：11()()( )()()mmnbssH sspsp的极点全部在左半平面的极点全部在左半平面；则则：()( ),sjH jH sH(j) 又称系统又称系统频率响应频率响应。1111()()()()()()()mmimminniibjbjjH jjpjpjp 设设mieBjijii，21nieApjijii，21则则：1212()()12()12()|()|mnjjmmjnb B

451、 BB eH jH jeA AA e 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -161616页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性1212|()|;mmnb B BBH jA AA1212( )()()mn 例例：一阶一阶RL系统系统，U1(s)为输入为输入， U2(s)为输出为输出，求系统求系统频率响应频率响应 H(j)。LRssRsLsLsUsUsH)()()(12极点极点：,LR在左半平面在左半平面。解解：1( )U sRsL2( )Us信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路

452、与系统教研中心第第第4 4 4- - -171717页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性jjAeBeLRjjLRjjjH)(0)()() |()|()|( )jBH jH jeH jA ，()02jBeA ，，讨论讨论：0 |() |:BHjA0:0|( 0)| 0RBAH jL，；:|()|BAH j，；:|()| 1BAH j ，；j2jjBeejAe/R L0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -181818页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性():2

453、0:0(0)22，；:( )2，；:( )022 ，0|()|H j10( )2信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -191919页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性2、离散系统离散系统H(z)与系统频率响应与系统频率响应：设设H(z)的的收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆，对因果系统对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为则系统的频率响应为：TjezTjzHeH| )()()()()(11iniimimPzzzbzH设设)()()(11iTjniiTjmim

454、TjPezebeH则则令令iijiiTjjiiTjeAPeeBze,则则()11()|()|iimjmij Tj TjTinjiibBeH eH eeAe信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -202020页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性nmmTjAAABBBbeH2121| )(|1212()()()mnT 例例：画出系统幅频响应曲线画出系统幅频响应曲线。,21|,121)(zzzzH因为因为H(z)的收敛域为的收敛域为,故系统频率响应为故系统频率响应为：21|z,)21(21)(TjTjTj

455、eeeH令令jTjjTjTjAeeBeee21,) 1(1把把和和画在画在z复平面上复平面上，如图所示如图所示：jBejAe解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -212121页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与系统特性系统函数与系统特性0, 0, 2,21:0BAT|()|2,()02j TBH eTA ,:BATRe zIm z12ABj Te110| 1z 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -222222页页页电子教案电子教案7.7.1 1系统函数与

456、系统特性系统函数与系统特性,:BAT2,2, 2,21:2BAT|()| 2,()0j TH eT,2, 0,23:BAT|()| 0,()2j TH eT 0T()T2|()|j TH e2T2022信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -232323页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性一一、系统的因果性系统的因果性：因果系统因果系统（连续的或者离散的连续的或者离散的）指的是指的是，系统的系统的零状态响应零状态响应不出现于激励不出现于激励之前的

457、系统之前的系统。也就也就是说是说，对于对于t=0(或或k=0)接入的任意激励接入的任意激励，即对于即对于任意的任意的( )fy( )f ( )f ( )0, ()0ftk或就称该系统为因果系统就称该系统为因果系统，否则为非因果系统否则为非因果系统。( )0, ()0fytk或如果系统的零状态响应都有如果系统的零状态响应都有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -242424页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性( )0,0h tt连续因果系统的充要条件连续因果系统的充要条件：或者或者，系统函数系统函

458、数H(s)的收敛域为的收敛域为：0Re s( )0,0h kk离散因果系统的充要条件离散因果系统的充要条件：或者或者，系统函数系统函数H(z)的收敛域为的收敛域为：0| z即其收敛域为收敛坐标即其收敛域为收敛坐标以右的半平面以右的半平面。0即其收敛域为半径等于即其收敛域为半径等于的圆外区域的圆外区域。0证明略证明略。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -252525页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性二二、系统的稳定性系统的稳定性：系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题系统的稳定性是系统设计和

459、分析中的关键问题；系统传输函数系统传输函数 H(s) 的零的零、极点分布与系统的稳定性极点分布与系统的稳定性有密切的关系有密切的关系。1、稳定系统的定义稳定系统的定义：一个系统一个系统（连续的或离散的连续的或离散的），），如果对任意有界如果对任意有界输入输入，其零状态响应也是有界的其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界则称该系统是有界输入有界输出输入有界输出(BIBO)稳定系统稳定系统。00( )( )fyffyMMfMyM 设，。对所有的激励，其零状态响应为。则称该系统是稳定的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -262626

460、页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性2 2、连续系统的稳定性连续系统的稳定性：（1）连续系统稳定的充分必要条件连续系统稳定的充分必要条件：时域充要条件时域充要条件：dtth)(证明证明：充分性充分性：dtfhtyf)()()(dhMtyff)()()(tyf即即： dtfhtyf)()()( )( )ff tMh t dt ，设设信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -272727页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性必要性必要性：令令0)(10)(00)(1

461、)()(ththththSgntf则则)()()(ththtfdtfhtyf)()()(dhdfhyf)()()()0( S 域充要条件域充要条件：)()(thLsH的极点全部在左半开平面的极点全部在左半开平面。( )( )fftMh tdt ，设设信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -282828页页页电子教案电子教案( )( )( )fXsFsK Ys11( )( )( )( )( )( )ffYsXs HsFsK YsHs11( )( )( )1( )fHsYsF sK Hs121( )1( )1( )32HsHsK Hsss

462、K7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性( )F s( )X s( )Y s( )fY s1( )H sK例例1:11( )(1)(2)Hsss图示线性时不变系统图示线性时不变系统，K为何值为何值，系统稳定系统稳定?解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -292929页页页电子教案电子教案21,233222pK 7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性H(s)的极点的极点：为了使极点均在左半开平面为了使极点均在左半开平面，必须必须:2233222K 2K 解得解得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系

463、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -303030页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性（2）稳定系统的稳定系统的 S 域判别方法域判别方法：设设)()()(sAsBsH0111)(asasasasAnnnn若系统稳定若系统稳定，则则0012iain，，，，必要条件必要条件：充分必要条件充分必要条件：霍尔维兹多项式霍尔维兹多项式：所有根均在左半开平面的多项式所有根均在左半开平面的多项式。连续系统稳定准则也称为连续系统稳定准则也称为罗斯罗斯- 霍尔维兹准则霍尔维兹准则。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电

464、路与系统教研中心第第第4 4 4- - -313131页页页电子教案电子教案罗斯阵列罗斯阵列：0111asasasaAnnnnn7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性na2na4na1na3na5na1nc3nc5nc1nd3nd5nd1n 12342n 00000( R- H排列排列 )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -323232页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第第3行及以后各行计算公式行及以后各行计算公式：，514133121111nnnnnnnnnnnnaaaaac

465、aaaaac，51511331311111nnnnnnnnnnnnccaacdccaacd罗斯罗斯- 霍尔维茨准则霍尔维茨准则 ( R- H 准则准则 )：若罗斯阵列若罗斯阵列 ( R- H 排列排列 ) 第一列元素第一列元素 ( 第一行至第一行至n+1行行 )的符号相同的符号相同 ( 全为全为 “ +” 号或全为号或全为 “ - ” 号号 )，则则 H(s) 的极点的极点(A(s)的零点的零点 ) 全部在左半平面全部在左半平面，系统稳定系统稳定。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -333333页页页电子教案电子教案例例1:254

466、12)(23sssssH判别系统稳定性判别系统稳定性。罗斯阵列罗斯阵列：140012 3.inai ，，，第一列元素全为正第一列元素全为正，故系统稳定故系统稳定。7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性解解：2143421510104041514.542442124.504.540104.504.5信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -343434页页页电子教案电子教案)()()(sYsFsXf11( )( )( )( )( )( )ffYsXs HsFsYsHs)()(1)()(11sFsHsHsYf121( )(

467、2)( )1( )(1)(22)HsKsHsHssKsK7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性( )F s( )X s( )Y s( )fYs1( )H s例例2:1(1)( )(1)(2)KsHsss图示线性时不变系统图示线性时不变系统，K为何值为何值，系统稳定系统稳定。解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -353535页页页电子教案电子教案罗斯阵列罗斯阵列：31 n当当10(22)0KK，即即，当当时时，系统稳定系统稳定。1K7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性1K 0122K 022K 信号

468、与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -363636页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性例例3:12210( )( )( )( )B sB sHsA sa sa sa对于二阶系统对于二阶系统，求系统稳定的条件求系统稳定的条件。解解：罗斯阵列罗斯阵列：31 n1a02a0a00a根据罗斯根据罗斯霍尔维兹准则霍尔维兹准则:2100,0,0aaa2100,0,0aaa或或信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -373737页页页电子教案电子教案3、

469、离散系统稳定性离散系统稳定性：（1）离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件：设系统的单位响应为设系统的单位响应为h(k)充要条件充要条件： kkh| )(|7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性证明证明： mfmkfmhkfkhky)()()()()( mmfmkfmhmkfmhky| )(| )(| )()(| )(| )(| )(| mffmhMky即即：充分性充分性： | )(|mmh若若| )(|kyf则则fMkf| )(|设设信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -383838页页页电子教案电子

470、教案必要性必要性：7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性( )sgn (),f kh rkr设为一整数。( )sgn ()mh mh rkm kr令，得： mfmhmhry)(sgn)()( )( )( )( ) ()fmykf kh kh m f km 则若若，则至少有一个则至少有一个有界输入有界输入产生产生无界输出无界输出。)(kyf kkh| )(|)(kf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -393939页页页电子教案电子教案0)(, 10)(,00)(,1)(sgnmhmhmhmh| )(|)(sgn)(m

471、hmhmh mfmhry| )(|)(若若 mmh| )(|则则)(ryf即即无界无界。)(kyf7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -404040页页页电子教案电子教案（2）离散系统稳定性判别离散系统稳定性判别：离散系统稳定性的离散系统稳定性的z域充要条件域充要条件：若若LTI因果离散系统的系统函数因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内，则系统为稳定系统则系统为稳定系统。朱里准则朱里准则：朱里排列朱里排列：设设，z的正幂分式的正幂分式)()()

472、(zAzBzH011)(azazazAnnnn对系数对系数排列如下排列如下：ia7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -414141页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性na1na2na1nc2nc3nc123423n2r1r0r1a0a1a0a2a1nana1c0c1nc2nc1c2c0c2nd3nd4nd560d1d2d0d2nd01212300102,nnnnnnnnnaaaaaacccaaaaaa101112234010203,nnnnnn

473、nnnccccccdddcccccc信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -424242页页页电子教案电子教案朱里准则朱里准则：10102020(1)( )|0( 1)( 1)0|znnnnAA zAaaccddrr 上式上式关于元素的条件关于元素的条件就是就是：各奇数行各奇数行，其第一个元素其第一个元素必大于最后一个元素的绝对值必大于最后一个元素的绝对值。7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性A(z)=0的所有根都在单位圆内的的所有根都在单位圆内的充要条件充要条件是是：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科

474、技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -434343页页页电子教案电子教案12( )()( )( )XzzK zXzFz 122122( )12323( )( )1YzzzzzHzFzzK zzzK 7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性例例1:图示图示LTI离散系统离散系统，K满足什么条件时满足什么条件时，系统稳定系统稳定?解解：( )F z( )X z( )Y zK1z1z213由左端加法器列方程由左端加法器列方程：12( )(123)( )YzzzXz由上式可解得由上式可解得系统函数系统函数由右端加法器列方程由右端加法器列方程：1,21142Kp H(z)的极点的

475、极点：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -444444页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性11 404KK当，即时为实极点，为使极点在单位圆内，必须同时满足不等式1141141,122KK 2,0KK分别解得分别解得：因而因而0K 11 404KK当，即时为复极点，可写为1,21412jKp 104K此时此时：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -454545页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性

476、1K 可解得可解得：2214114K01K综合以上结果可知综合以上结果可知：时系统是稳定的时系统是稳定的。1,21p为使极点在单位圆内，必须满足114K此时有此时有：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -464646页页页电子教案电子教案7.27.2系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性例例2：判断系统是否稳定判断系统是否稳定。,134121612)(232zzzzzzH解解：朱里阵列朱里阵列：(1)1243 160A 3( 1)( 1)1243 1120A 12 |1|143 | 32|由上表可见由上表可见：根据朱里准则可知根据

477、朱里准则可知，系统稳定系统稳定。12431121434532123314信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -474747页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图7.37.3信号流图信号流图一一、连续系统的方框图表示连续系统的方框图表示方框图表示方框图表示：系统的串联系统的串联：)()()()(21ththththn(a) 时域时域:)(thi若若为因果信号为因果信号.12( )( )( )( )nH sHsHsHs (b) S域域:( )f t( )y t( )f t( )y t1( )h t2( )h t( )nh t

478、( ) t( )h t( )F s( )Y s1( )H s2( )Hs( )nHs信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -484848页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图系统的并联系统的并联：12( )( )( )( )nh th ththt(a) 时域时域:12( )( )( )( )nH sHsHsHs(b) S域域:( )f t( )y t1( )h t2( )h t( )nh t( )F s( )Y s1( )H s2( )Hs( )nHs)(thi若若为因果信号为因果信号.信号与系统信号与系统信号与系统信号与

479、系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -494949页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图例例：LTI连续系统的框图如下连续系统的框图如下，求描述系统的微分方程求描述系统的微分方程。系统方程系统方程：210( )( )( )( )s X sa sX sa X sF s 210( )()( )X s sa saF s( )F s( )Y s1s1s1b1a0b0a2101( )( )X sF ssa sa10( )( )( )Y sbsX sb X s解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -50

480、5050页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图式代入式代入式式：)()(01201sFasasbsbsY)()()()(01012sFbsbsYasas由由单边拉氏变换的时域微分性质单边拉氏变换的时域微分性质，得得：)()()()()(0101tfbtfbtyatyaty二二、连续系统的信号流图表示连续系统的信号流图表示：(1) 用点表示用点表示信号信号 (变量变量)：(2) 用有向线段表示用有向线段表示信号方向和传输函数信号方向和传输函数：211( )( )( )x sH s x s1. 信号流图的有关规定信号流图的有关规定：( )X s1( )x s2( )xs1( )H s信

481、号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -515151页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图31122( )( )( )( )( )x sH s x sHs x s(3) 基本规则基本规则：211( )( )( )x sH s x s321( )( )( )x sHs x s4112233( )( )( )( )( )( )( )x sH s x sHs x sHs x s544( )( )( )x sHs x s654( )( )( )x sHs x s1( )x s2( )xs1( )H s2( )Hs3( )x s2(

482、)x s3( )x s1( )H s2( )Hs1( )x s1( )x s2( )x s1( )H s2( )Hs3( )x s5( )x s6( )x s4( )Hs3( )Hs4( )Xs5( )Hs信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -525252页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图2、系统的信号流图表示系统的信号流图表示：可用信号流图表示系统框图等可用信号流图表示系统框图等：( )F s( )Y s1s1s1b1a0b0a1x2x3x例例：LTI连续系统的框图如下连续系统的框图如下，画出系统的信号流图画出系统

483、的信号流图。( )F s( )Y s11b1s0b1s1a0a1x2x3x信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -535353页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图一般步骤一般步骤：(1) 选输入选输入、输出输出、积分器输出积分器输出、加法器输出为变量加法器输出为变量；(2) 建立变量间的传输关系和传输函数建立变量间的传输关系和传输函数，根据变量间根据变量间的传输关系和信号流图的规定画信号流图的传输关系和信号流图的规定画信号流图。3、由信号流图求系统函数由信号流图求系统函数梅森公式梅森公式（Mason s rule）(1

484、) 流图术语流图术语：支路支路：两点间的有向线段称一条支路两点间的有向线段称一条支路；通路通路：从某一节点出发从某一节点出发，沿支路方向沿支路方向，连续经过节点连续经过节点和支路到达另一节点和支路到达另一节点，所经过的路径称所经过的路径称通路通路；开路开路：从一节点到达另一节点从一节点到达另一节点，并且节点不重复的通并且节点不重复的通路称为开路路称为开路；信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -545454页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图环环：从一节点出发从一节点出发，经过节点和支路又回到该节点的经过节点和支路又回到

485、该节点的闭合通路闭合通路称为环或回路称为环或回路；开路传输函数开路传输函数：组成一条开路的所有支路传输函数的组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数乘积称为该条开路的传输函数, pi；环传输函数环传输函数：组成一个环的所有支路传输函数的乘积组成一个环的所有支路传输函数的乘积称为该环的环传输函数称为该环的环传输函数, Li。(2) 梅森公式梅森公式：设设)()(,)()(tyLsYtfLsFffimiifpsFsYsH1)()()(则则：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -555555页页页电子教案电子教案7.37

486、.3信号流图信号流图其中其中：称为流图行列式称为流图行列式（特征行列式特征行列式）jnmrqprqpnmjLLLLLL,1jjL 流图中所有流图中所有环传输函数环传输函数之和之和；jLi 除去第除去第i条开路条开路，剩余流图剩余流图的的流图行列式流图行列式；nmnmLL, 流图中所有两两流图中所有两两不相接触的环不相接触的环传输传输函数乘积之和函数乘积之和；rqprqpLLL, 流图中所有三个不相接触环的环传流图中所有三个不相接触环的环传输函数乘积之和输函数乘积之和；从从 F(s) 到到的所有开路数的所有开路数。m)(sYfip 由由 F(s)到到的第的第i条开路的传输函数条开路的传输函数；

487、)(sYf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -565656页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图例例1：求求 H(s)。rqprqpnmnmjjLLLLLL,1112233412311331 ()H GH GH GH GG GH G H G 2 :m )(1,221541GHHHp1,253212HHHHp221121)(pppsHiii( )F s( )Y s14H1H3H2H1G2G5H13G解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -575757页页页

488、电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图例例2：求求 H(s)。)11(1201sasa20222120201102( )1iiibpbb sbsH saasa sass( )F s( )Y s11b1s0b1s1a0a解解：2 :m 121,1pb20221,1pbs 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -585858页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图三三、离散系统的方框图表示离散系统的方框图表示：1、简单的方框图表示简单的方框图表示：2、系统的串系统的串、并联并联：（：（LTI因果系统因果系统）串联串联：ni

489、zHkhii, 2 , 1),()(设串联复合系统的冲激响应为设串联复合系统的冲激响应为，)(kh)()(zHkh则则)()()()(21khkhkhkhn)()()()(21zHzHzHzHn( )f k( )y k( )f k( )y k1( )h k2( )h k( )nh k( )F z( )Y z1( )H z2( )Hz( )nHz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -595959页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图并联并联：设并联复合系统的冲激响应为设并联复合系统的冲激响应为，)()(zHkh)(kh则则

490、)()()()(21khkhkhkhn( )f k( )y k1( )h k2( )h k( )nh k( )F z( )Y z1( )H z2( )Hz( )nHz12( )( )( )( )nH zH zHzHz 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -606060页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图3、用基本运算器表示系统用基本运算器表示系统：( )f k(1)f k ( )f k( )af k( )F z( )aF z( )f k( )af k( )F z( )aF z12( )( )f kfk1( )f k2(

491、 )fk12( )( )F zF z1( )F z2( )F z( )F z1( )( 1)z F zf 1z( 1)f ( )f k(1)f k ( )F z1z1( )z F z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -616161页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图例例1：图示离散系统图示离散系统，求系统差分方程求系统差分方程。( )F z( )Y z1z1z1b1a0b0a1z1z2b)()()()()()(201122011zFzbzFzbzFbzYzazYzazY)2() 1()()2() 1()(01201k

492、fbkfbkfbkyakyaky解解：121210210( )( )( )( )( )( )Y za z Y za z Y zb F zb z F zb z F z系统差分方程为系统差分方程为：由加法器输出端可列出方程由加法器输出端可列出方程：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -626262页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图( )F z( )Y z1z1z1a0a0b1b2b1( )z X z2( )zX z( )X z例例2：图示离散系统图示离散系统，求系统差分方程求系统差分方程解解：设左边加法器输出为设左边加法

493、器输出为X(z),由两个加法器可得方程由两个加法器可得方程：)()()()(2011zFzXzazXzazX,1)()(2011zazazFzX- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - （1）)()()()(20112zXzbzXzbzXbzY- - - - - - - - - （2）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -636363页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图（1）式代入式代入（2）式得式得：)(1)(201120112zFzazazbzbbzY)()()()

494、1 (201122011zFzbzbbzYzaza)2() 1()()2() 1()(01201kfbkfbkfbkyakyaky信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -646464页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图四四、离散系统的信号流图表示离散系统的信号流图表示：1、框图表示与信号流图对应关系框图表示与信号流图对应关系：( )F z1z1( )z F z1z( )F z1( )( )Y zz F z1112( )( )F zF z1( )F z2( )F z12( )( )F zF z1( )F z2( )F za

495、( )F z( )aF z( )F z( )( )Y zaF z( )F z( )H z( )Y z( )F z( )H z( )( ) ( )Y zH z F z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -656565页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图2、信号流图规则信号流图规则：同于连续系统信号流图规则同于连续系统信号流图规则1( )x z2( )xz1( )H z2( )Hz3( )xz5( )x z6( )x z4( )Hz3( )Hz4( )Xz5( )Hz31122( )( )( )( )( )x zH z x

496、 zHz x z211( )( )( )x zH z x z321( )( ) ( )x zHz x z4112233( )( )( )( )( )( )( )x zH z x zHz x zHz x z544( )( )( )x zHz x z654( )( )( )x zHz x z1( )x z2( )xz1( )H z2( )Hz3( )xz2( )x z3( )x z1( )H z2( )Hz1( )x z信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -666666页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图3、从框图表示到信

497、号流图表示从框图表示到信号流图表示：方法方法：（2）根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图信号流图。（1）选输入选输入、输出输出、加法器输出加法器输出、单位延迟器输出单位延迟器输出为变量为变量，用点表示用点表示；( )F z( )Y z1z1z1b1a0b0a1x2x3x例例：LTI离散系统的框图如下离散系统的框图如下，画出系统的信号流图画出系统的信号流图。( )F z( )Y z11b1z0b1z1a0a1x2x3x信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -676767页页页电子教案电

498、子教案7.37.3信号流图信号流图4、梅森公式梅森公式：设设LTI离散系统的输入为离散系统的输入为，零状态响应为零状态响应为)(kf)(kyf)()(),()(zYkyzFkfff（单边单边Z变换对变换对）miiifPzFzYzH1)()()(：流图行列式流图行列式（特征行列式特征行列式）qpljijiiLLLLLL,1i：除去第除去第条开路后条开路后剩余流图的流图行列式剩余流图的流图行列式；iiP：第第条开路的开路传输函数条开路的开路传输函数；im：从从到到的开路数的开路数。)(zF)(zYf其中其中：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4

499、- - -686868页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图例例：图示离散系统图示离散系统，求系统函数求系统函数H(z)。（1）流图的环传输函数流图的环传输函数及及：iL2312113,2,zLzLzL两个不接触环的环传输函数两个不接触环的环传输函数：33113221123,2zLLLzLLLjijiiiLLL,1)32()32(132211zzzzz3213531zzz1)(zF)(zY1z1z1z3212111解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -696969页页页电子教案电子教案7.37.3信号流图信号流图（

500、2）流图的开路传输函数流图的开路传输函数及及：iPi2132111321)(1,2zzLLzP21221,11PzLz （3）由梅森公式求由梅森公式求)(zH2111221123232( )2(123)(1)1 353257353iiiPH zzzzzzzzzzzzzz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -707070页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构7.47.4系统的结构系统的结构一一、连续系统的模拟连续系统的模拟由由 H(s) 到信号流图到信号流图、框图框图：1、直接形式直接形式：例例1：.)(001as

501、bsbsH画出系统的信号流图画出系统的信号流图。)(11)(001001sasbbsasbbsH由梅森公式由梅森公式：流图包含两条开路流图包含两条开路，一个环一个环。解解：( )F s( )Y s11b0b0a1s（形式形式1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -717171页页页电子教案电子教案例例2：.)(0120122asasbsbsbsH画出系统信号流图画出系统信号流图。22102100122012( )1()b sb sbH ssa sabbbssaass 由梅森公式由梅森公式：流图包含流图包含3条开路和两个相接触环条开

502、路和两个相接触环。7.47.4系统的结构系统的结构( )F s( )Y s11b0b0a1s（形式形式2）解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -727272页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构( )F s( )Y s11b0b0a1s2b1a1s1( )F s( )Y s1b0b0a1s2b1a1s1（形式形式2）（形式形式1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -737373页页页电子教案电子教案2. 串联形式串联形式：例例：) 4(1) 65(

503、) 1() 4)(65() 1()(22sssssssssH)()(21sHsH)65(111651)(2221ssssssssH)4(1141)(2ssssH7.47.4系统的结构系统的结构( )F s1161s51s1( )Y s1s411信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -747474页页页电子教案电子教案3. 并联形式并联形式：例例：312312)3)(2)(1(5)(ssssssssH)()()(321sHsHsH7.47.4系统的结构系统的结构122( ),111()sH sss233( )221()sHsss311(

504、 )331 ()sH sss信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -757575页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构( )F s111s( )Y s21s31s11111231信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -767676页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构二二、离散系统的模拟离散系统的模拟由由 H(z) 到信号流图到信号流图、框图框图：1、由由H(z)差分方程差分方程框图框图流图流图例例1：已知系统函数已知系统函数，画出系统框图

505、画出系统框图。0120)(azazbzH设设)()(),()(zYzyzFkfff20110012201)()()(zazabazazzbzFzYzHf)()()1 (02011zFbzYzazaf)()2() 1()(001kfbkyakyakyfff)()2() 1()(001kfbkyakyaky)()2() 1()(001kfbkyakyaky解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -777777页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构由上式得框图由上式得框图：( )f k( )y k0aDD1a0b例例2：

506、已知系统函数已知系统函数，求系统框图求系统框图。01201)(azazbzbzH201120111)(zazazbzbzH设设)()(),()(zYkyzFkfff)()()(zFzHzYf解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -787878页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构)()()()1 (20112011zFzbzbzYzazaf)2() 1()2() 1()(0101kfbkfbkyakyakyfff)2() 1()2() 1()(0101kfbkfbkyakyaky- - - （1）引入辅助函数引入

507、辅助函数 x(k)，令令10( )(1)(2)( )x ka x ka x kf k - - - - - - - - - - - （2）（2）式代入式代入（1）式式，比较等式两边得比较等式两边得10( )(1)(2)y kb x kb x k - - - - - - - - - - - - - - - - - （3）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -797979页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构( )f k( )x k0a1a(1)x k (2)x k 0b( )y k1b先模拟先模拟（2）式对应的框图式对应

508、的框图，然后在然后在（2）式框图式框图基础上画出基础上画出（3）式的框图式的框图：( )f k( )x k0aDD1a(1)x k (2)x k (2)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -808080页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构2、由由H(z)信号流图信号流图系统框图系统框图（1）直接形式直接形式：例例1:)223(13222332)(3213223zzzzzzzzzzH根据梅森公式根据梅森公式，系统信号流图有系统信号流图有3个相互接触的环个相互接触的环和两条开路组成和两条开路组成。环传输函数分别为环传输

509、函数分别为：113;Lz 222;Lz 开路传输函数为开路传输函数为:332Lz 212;Pz323;Pz信号流图如图所示信号流图如图所示:121;1 解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -818181页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构( )F z( )Y z1221z31z31z2( )F z( )Y z3221z31z11z2（直接形式直接形式2）（直接形式直接形式1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -828282页页页电子教案电子教案7

510、.47.4系统的结构系统的结构（2）串联形式串联形式：例例2：)()() 3() 1(265)(2122zHzHzzzzzzzzzH,2)(1zzzH31)(2zzzH分别对分别对、用直接形式信号流图模拟用直接形式信号流图模拟，然然后联接成串联形式后联接成串联形式。)(1zH)(2zH1z1211( )H z1z13112( )Hz信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -838383页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构（3）并联形式并联形式：例例3：43112744)(22zzzzzzzzH)()(21zHzH,31

511、)(1zzH4)(2zzzH分别分别和和用直接形式信号流图模拟用直接形式信号流图模拟，然后然后联接成并联形式联接成并联形式。)(1zH)(2zH1z1411z131( )F z( )Y z1111信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4 4 4- - -848484页页页电子教案电子教案7.47.4系统的结构系统的结构信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第第8 8章章系统的状态空间分析系统的状态空间分析8.18.1状态变量与状态方程状态变量与状态方程8.2

512、8.2连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立8.38.3离散系统状态方程的建立与模拟离散系统状态方程的建立与模拟8.48.4连续系统状态方程的求解连续系统状态方程的求解8.58.5离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第第8 8章章系统的状态空间分析系统的状态空间分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -2 2 2页页页电子教案电子教案一一、系统的状态变量分析法简介系统的状态变量分析法简介1、系统的状态空间描述系统的状态空间描述：用系统的状态方程和输出方程描述系统输入用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变状态变量量

513、、输出之间的关系输出之间的关系。状态方程状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系表示系统状态变量与输入之间的关系/ /方程方程。对对n n阶阶系统系统，状态方程是由状态方程是由n n个一阶微分方程个一阶微分方程（差分方程差分方程）组组成的方程组成的方程组。输出方程输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ /方程方程。对对n n阶系统阶系统，若有若有q q个输出个输出，输出方程是由输出方程是由q q个代数方程组个代数方程组成的方程组成的方程组。第第8 8章章系统的状态变量分析系统的状态变量分析第第8 8章章系统的状态变量分析系统的状态变量分析

514、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -3 3 3页页页电子教案电子教案2、系统状态方程的解系统状态方程的解A.连续系统状态方程、输出方程的解：（1）时域解（2）s 域解B.离散系统状态方程、输出方程的解：（1）时域解（2）z 域解二二、状态空间分析法的应用及优点状态空间分析法的应用及优点：1 1、可以提供系统的内部信息可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解使人们能够比较容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。2 2、不仅适用于线性不仅适用于线性、时不变时不变、单输入单输出系统分析

515、单输入单输出系统分析，也适用于非线性也适用于非线性、时变时变、多输入多输出系统分析多输入多输出系统分析。3 3、描述方法规律性强描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分便于用计算机解决复杂系统的分析设计问题析设计问题。引言引言信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -4 4 4页页页电子教案电子教案8.18.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述一一、连续系统的状态变量连续系统的状态变量、状态方程状态方程、输出方程输出方程：1、状态变量状态变量：（1 1）初始状态初始状态：设初始时刻为设初始时刻为t0t0时刻的状态通常指电容元件

516、上电压时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电和电感元件上电流感元件上电流iL(t0)。n阶系统有阶系统有n个初始状态个初始状态。初始状态的一般定义初始状态的一般定义：系统在系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数时刻的状态是最少数目的一组数。知道知道了这组数和区间了这组数和区间t0，t上的输入上的输入，就可以完全确就可以完全确定系统在定系统在t时刻的输出时刻的输出。表示表示：n阶系统的初始状态表示为阶系统的初始状态表示为：).().,(),(00201txtxtxn8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研

517、中心第第第8 8 8- - -5 5 5页页页电子教案电子教案1020101 10220201 10220( ),( )( )( )( )( )( )( )x tx tg ta x ta x tg tb x tb x t设二阶系统的初始状态为并且8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述说明说明：系统状态的数目是一定的系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一但状态的选择不唯一。例例：10200( ),( )g tg tt则也可作为系统在时刻的状态。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -6 6 6页页页电子教案电子教案

518、010200( ),( ).,( ).ntx tx tx t设时刻的初始状态为：12( ),( ).,( )nx tx tx t8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述（2）状态变量状态变量：表示状态随时间变化的一组变量称表示状态随时间变化的一组变量称状态变量状态变量。则系统的状态变量则系统的状态变量任一时刻任一时刻t的状态为的状态为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -7 7 7页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述（3）状态矢量状态矢量、状态空间状态空间：状态矢量状态

519、矢量：由状态变量构成的列矢量由状态变量构成的列矢量X(t) 称状态矢量称状态矢量。12( )( )( )( )nx tx ttx tX状态空间状态空间：状态矢量状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间所在的空间称状态空间。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -8 8 8页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例例：2、状态方程和输出方程状态方程和输出方程：

520、（1 1）状态方程状态方程：C1( )f tCiLi2( )f tRCuLuL信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -9 9 9页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述1212,CLcLux ixdudixxdtdt令由由KCL和和KVL得得：121()CCLLCduCfuidtRdiLufdt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -101010页页页电子教案电子教案212121111111fLxLxfRCxCxRCx上面的方程组称图示上面

521、的方程组称图示RLC系统的状态方程系统的状态方程，其矩阵形式为其矩阵形式为：21212110010111ffLRCxxLCRCxx8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -111111页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述状态方程状态方程：状态方程的一般形式状态方程的一般形式：.,21nxxx设设n阶系统的状态变量为阶系统的状态变量为：.,21pfff系统有系统有p个输入个输入：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组描述系统状态与输入之间的

522、关系的一阶微分方程组。111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnppnnppnnnnnnnnnppxa xa xa xb fb fb fxa xa xa xb fb fbfxa xa xa xb fbfb f 则状态方程为则状态方程为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -121212页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述令令121212,TTnnTpijijn nn pxxxxxxfffab XXfAB则则XAXBf矩阵形式矩阵形式：11121

523、1111211121222222122221212pnpnpnnnnnnnnnpbbbfaaaxxbbbfxaaaxfxxaaabbb 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -131313页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例例：（2 2）输出方程输出方程：C1( )f tCiLi2( )f tRCuLuL信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电

524、子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -141414页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述由由KCL和和KVL得得：121()CCCLLCduiCfuidtRuuf112121211yxxfRRyxf 上式称图示上式称图示RLC系统的输出方程系统的输出方程，其矩阵形式为其矩阵形式为：11122211101001yxfRRyxf 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -151515页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程输出方程：输出方程一般

525、形式输出方程一般形式：pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111描述系统输出描述系统输出、输入输入、状态之间关系的代数方程组状态之间关系的代数方程组。设设n阶系统有阶系统有n个状态个状态、p个输入个输入、q个输出个输出，则输出方程为则输出方程为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -161616页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式矩阵形式

526、：pqpqqppnqnqqnnqfffdddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121令令12,Tqijijq nq pYyyyCcDd 则则YCXDf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -171717页页页电子教案电子教案二二、离散系统状态变量离散系统状态变量、状态方程状态方程、输出方程输出方程：8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述（1）初始状态初始状态：设初始时刻设初始时刻，对对n n阶系统阶系统，初始状态通常指初始状态通常指：00K.)(,)2(,)

527、 1(nyyy0K时刻状态的时刻状态的一般定义一般定义：0K时刻的状态是数目最少的一组数时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数知道了这组数和和区间上的输入区间上的输入，就可完全确定系统在就可完全确定系统在K时时刻的输出刻的输出。KK ,01 1、状态变量状态变量：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -181818页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述（2）状态变量状态变量、状态矢量状态矢量：状态变量状态变量：表示状态随时间变化的一组变量表示状态随时间变化的一组变量。12( ) ,( ) ,(

528、 )nx kx kx k。状态矢量状态矢量：由状态变量构成的列矢量由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量称状态矢量。12( )( )( )( )nx kx kkx kX表示表示：对对n阶系统阶系统，状态变量表示为状态变量表示为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -191919页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述2 2、状态方程和输出方程状态方程和输出方程：例例1.1. 设系统的方程为设系统的方程为100( )(1)(2)( )y ka y ka y kb f k 则有则有设设12( )(

529、2) ,( )(1)x ky kx ky k12010( )( )( )( )y ka x ka x kb f k 12201120(1)( )(1)( )( )( )x kx kx ka x ka x kb f k 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -202020页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式矩阵形式：式称系统的状态方程式称系统的状态方程；式称系统的输出方程式称系统的输出方程。110021200(1)1( )( )(1)( )x kx kf kabx kax k 10102(

530、 )( )( )( )x ky kaab f kx k信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -212121页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述)()() 1()()()() 1() 1() 1(212122221112112121222211121121kfBkXAkXfffbbbbbbbbbkxkxkxaaaaaaaaakxkxkxpnpnnppnnnnnnnn(1)( )( )kkk XAXBf离散系统状态方程离散系统状态方程、输出方程的一般形式输出方程的一般形式：状态方程状态方程：描述系统

531、状态与输入关系的一阶前向差分描述系统状态与输入关系的一阶前向差分方程组方程组。一般形式一般形式：n n阶系统阶系统，p p个输入个输入。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -222222页页页电子教案电子教案8 8. .1 1系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程输出方程：描述系统输出描述系统输出、输入输入、状态之间关系的状态之间关系的代数方程组代数方程组。一般形式一般形式： n阶系统阶系统，p个输入个输入，q个输出个输出。)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121kfDk

532、XCkYfffdddddddddkxkxkxccccccccckykykypqpqqppnqnqqnnn( )( )( )kkkYCXDf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -232323页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立12CCLuui、11CLui（）、22CLui（）、8.28.2 状态方程的建立状态方程的建立一一、连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立：（1 1）状态变量的选择状态变量的选择: :1、RLC系统状态方程的建立系统状态方程的建立直观编写法直观编写法：1CSULi1R1

533、CuL2C2Cu2R1CSULi1R1CuL2C2Cu2R例例：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -242424页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立1C1Cu3C3Cu2C2Cu121CCuu（）、132CCuu（）、233CCuu（）、1LSUSiR2LCCu2Li1Li1R1L3Li2L2Li1Li3L11LCiu（）、22LCiu（）、121LLii（）、132LLii（）、233LLii（）、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8

534、8 8- - -252525页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立（2 2）直观编写法步骤直观编写法步骤: :1L1fR2LC2f2Li1Liba1Lu2LuCuCi例例：选状态变量选状态变量: :11223,LLCxixixi 。设输出为设输出为: :122,Labyuyu列状态方程列状态方程: :第一步第一步: :1 122,KVLL x L x关于（电感电压）列方程：1 111312212312()LL xufxR xxfRxRxxff 22231221232()LL xuxR xxfRxRxxf 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路

535、与系统教研中心第第第8 8 8- - -262626页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立第二步第二步: :3KCLCx 关于（电容电流）列方程：312CCxixx 第三步第三步: :消去除了状态变量和输入以外的其它变量，把状态方程整理成标准形式：112312111112123222223121111111RRxxxxffLLLLLRRxxxxfLLLLxxxCC 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -272727页页页电子教案电子教案1111111122222223311111011000RRLLLL

536、LxxfRRxxfLLLLxxCC 列输出方程列输出方程：122212322232122LabcyuL xRxRxxfyui RfCx RfRxRxf 8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式矩阵形式：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -282828页页页电子教案电子教案1112223101001xyfRRxyRRfx 2 2、由系统微分方程编写状态方程由系统微分方程编写状态方程：（1）选择状态变量选择状态变量：令令 , ,321yxyxyx8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立)()()()()(001

537、2 tfbtyatyatyaty列出系统的状态方程和输出方程列出系统的状态方程和输出方程。例例1 1：已知系统方程为已知系统方程为解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -292929页页页电子教案电子教案（2）状态方程状态方程：fbxaxaxaxxxxx032211033221（3）输出方程输出方程：1xy 矩阵形式矩阵形式：fbxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第

538、第8 8 8- - -303030页页页电子教案电子教案（1）选择状态变量选择状态变量：令令123,xqxqxq引入引入：)(tq)()()( )( )( 012tftqatqatqatq18 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立例例2. 已知系统方程为已知系统方程为)()()()()()(0101 2 tfbtfbtyatyatyaty列出系统状态方程和输出方程列出系统状态方程和输出方程。式式代入原方程得代入原方程得：)()( )(01tqbtqbty21信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -313131页页页电子教案电子教

539、案（2）列状态方程列状态方程：fxaxaxaxxxxx32211033221（3）列输出方程列输出方程：1021xbxby矩阵形式矩阵形式：fxxxaaaxxx100100010321210321321100xxxbby8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -323232页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立( )F s( )Y s1a0a1b0b2b2x1x2x 1x 3、由系统框图由系统框图、流图编写状态方程流图编写状态方程：例例：某某LTILTI二阶

540、系统框图和流图如图所示二阶系统框图和流图如图所示，列写状态列写状态方程和输出方程方程和输出方程。( )F s( )Y s0a1b0b2b111s1s1a2x1x2x 1x (1)选状态变量选状态变量：选积分器输出为状态变量选积分器输出为状态变量，如图所示如图所示；信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -333333页页页电子教案电子教案(2) 状态方程状态方程：fxaxaxxx2110221(3) 输出方程输出方程：011220112002111 22()()()yb xb xba xa xfba b xbab xf8 8. .2 2

541、状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式矩阵形式：1101220101xxfaaxx 100211 22xyba bbabfx 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -343434页页页电子教案电子教案(1) 状态变量选择状态变量选择：(2) 状态方程状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kbfkxakxakxkxkx8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立例例1：已知系统方程为已知系统方程为)()2() 1()(01kbfkyakyaky列状态方程和输出方程列状态方程和输出方程。二二、离散系统状态方程离散系统状态

542、方程、输出方程的编写输出方程的编写：1 1、由差分方程编写由差分方程编写：) 1()(,)2()(21kykxkykx令令解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -353535页页页电子教案电子教案(3) 输出方程输出方程：)()()()(2110kbfkxakxaky矩阵形式矩阵形式：)(0)()(10) 1() 1(211021kfbkxkxaakxkx)()()()(2110kfbkxkxaaky8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8

543、8 8- - -363636页页页电子教案电子教案(1) 状态变量选择状态变量选择：(2) 状态方程状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kbfkxakxakxkxkx)()(1kxky(3) 输出方程输出方程：8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立例例2：已知系统方程为已知系统方程为)()() 1()2(01kbfkyakyaky列写系统状态方程和输出方程列写系统状态方程和输出方程。) 1()(,)()(21kykxkykx令令解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -373737页页页电子教案电子教案

544、1（1）状态变量的选择状态变量的选择：( )q k引入：)()() 1()2(01kfkqakqakq22式式代入代入式得式得：1)() 1()2()(012kqbkqbkqbky令令) 1()(,)()(21kqkxkqkx8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立解解：例例3：已知系统方程为已知系统方程为)() 1()2()() 1()2(01201kfbkfbkfbkyakyaky列状态方程列状态方程、输出方程输出方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -383838页页页电子教案电子教案(2) 状态方程状态方程：)()

545、()() 1()() 1(2110221kfkxakxakxkxkx(3) 输出方程输出方程：21020112120100 2111 222( )(2)(1)( )( )( )( )( )( )() ( )()( )( )y kb q kbq kb q kba x ka x kf kb x kb x kba b x kbab x kb f k 8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -393939页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立2 2、由系统框图由系统框图

546、、信号流图编写状态方程信号流图编写状态方程例例：已知系统框图已知系统框图、流图如图所示流图如图所示，列写状态方程和列写状态方程和输出方程输出方程。( )F z( )Y z1a0a1b0b2b2( )x k1( )x k( )F z( )Y z0a1b0b2b111z1z1a2( )x k1( )x k(1)选状态变量选状态变量：选迟延单元输出为状态变量选迟延单元输出为状态变量，如图所示如图所示；信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -404040页页页电子教案电子教案8 8. .2 2状态方程的建立状态方程的建立(2) 状态方程状态方

547、程：1220112(1)( )(1)( )( )( )x kx kx ka x ka x kf k (3) 输出方程输出方程：0 11220112002111 22( )( )( )( )( )( )() ( )()( )( )y kb x kb x kba x ka x kf kba b x kbab x kf k矩阵形式矩阵形式：11012201(1)( )0( )(1)( )1x kx kf kaax kx k 100211 22( )( )( )( )x ky kba bbabf kx k信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- -

548、-414141页页页电子教案电子教案8.38.3连续系统连续系统状态状态方程的解方程的解一一、矩阵函数矩阵函数:8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解1.1.矩阵函数的定义矩阵函数的定义: :0( )iiif xx定义矩阵函数定义矩阵函数，)(Af0)(iiiAAf设设A为为n阶方阵阶方阵，对于收敛的幂级数对于收敛的幂级数A类比类比x信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -424242页页页电子教案电子教案8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解2.2.矩阵指数函数的定义矩阵指数函数的定义: :(

549、 )xAnf xe设为阶矩阵，对于指数函数201112!xiiexxxi AAtee定义矩阵指数函数和分别为:20112!AiieIAAAi 2202!iAtiitteIAtAAi 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -434343页页页电子教案电子教案3.3.矩阵的导数矩阵的导数、积分和卷积积分和卷积: :( )( )ijn mA ta t设矩阵(2) 卷积卷积:( )( ),( )( )ijm nijn mA ta tB tb t设( )( )( )( )A tB tA t B t等于运算中元素的相乘变成卷积运算。8 8.

550、.3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解(1) 导数导数、积分积分:( )( )( )( )ttijn mijn mA t dta t dtddA ta tdtdt 例例：111211121111122111121222212221222111222121122222aabbababababaabbabababab 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -444444页页页电子教案电子教案4.矩阵运算的几个定理：设设A、B为为n阶方阵阶方阵。AeAeedtdAtAtAt)(（1）)(2121ttAAtAteee（2）()AtB

551、tA B tABBAeee 设，则（3）（4）设设X为为n维列向量维列向量，A为为n阶方阵阶方阵，则则XAeXeXedtdAtAtAt)(8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解（6）设设A、P为为n阶方阵阶方阵，P为为非奇异阵非奇异阵（det（P）0），则则11PPeeAttPAP（5）设设A为方阵为方阵，则则恒有逆恒有逆，且且。AtAtee1)(Ate信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -454545页页页电子教案电子教案二二、状态方程的时域解状态方程的时域解：状态方程状态方程：BftAXtXBftAXtX)

552、()()()(1)()()(tBfetAXetXeAtAtAt8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解1 式式两边乘以两边乘以，得得Ate根据矩阵函数运算的定理根据矩阵函数运算的定理（4），），上式可写成上式可写成：)()(tBfetXedtdAtAt21 1、状态方程的时域解状态方程的时域解：对对n阶系统阶系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -464646页页页电子教案电子教案2对对式两边积分式两边积分，得得：00000( )( )( )( )( )ttAAtttAtAtAtdeXdeBfddteX teX

553、 teBfd 8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解00()()0( )( )( )tA t tA ttX teX teBfd 设设，得得：00t()0( )(0 )( )tAtA tX te XeBfd 设设称称状态转移矩阵状态转移矩阵。Atet )(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -474747页页页电子教案电子教案则则 )()(0)()()0()()()()0()()(tXtXtfxtfBtXtdBftXttX零零输入分量输入分量零状态分量零状态分量8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方

554、程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -484848页页页电子教案电子教案2.2.输出方程的解输出方程的解：把状态方程的解代入输出方程把状态方程的解代入输出方程，得得：( )( )(0 )( )( )( )( )(0 )( )( )( )Y tCt Xt Bf tDf tCt XCt Bf tDf t 引入引入p阶对角阵阶对角阵：)(t( )0( )( )0( )tttt8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解( )( )( )Y tCX tDf t输出方程为输出方程为：则则( )( )( )tf tf t信号

555、与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -494949页页页电子教案电子教案)()()()()()0()()()()()()0()()(tYtYfxtftDBtCXtCtftDtfBTCXtCtY)()()()()()()0()()(tDBtCthtfthtYXtCtYfx零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应冲激响应冲激响应，)(pq111212122212( )ppqqqphhhhhhh thhh)(thij0)(tfj,其余输入为零时其余输入为零时，对应的冲激响应对应的冲激响应。)(tyif8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续

556、系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -505050页页页电子教案电子教案3.3.Atet )(的计算的计算：(1) n阶方阵阶方阵A的特征方程的特征方程、特征根特征根：|)det(IAIA0| IA(2)凯莱凯莱哈密顿定理哈密顿定理：8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解特征多项式特征多项式：特征根特征根：特征方程特征方程：任何方阵任何方阵A，恒满足它的特征方程恒满足它的特征方程。0|)(IAq设设0)(Aq则则,1 , 2 , .iin特征方程的根特征方程的根信号与系统信号与系统信号与系统信号

557、与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -515151页页页电子教案电子教案(3)( )Atte的计算的计算：22012!jtjjiijitet 2202!AtiiiteItAAA 8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解,1 , 2 , .iin设设n阶方阵阶方阵A的特征根为的特征根为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -525252页页页电子教案电子教案根据根据A的特征方程和凯莱的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明哈密顿定理可以证明：12101210jntinijjjnjie 12101

558、210nAtininieAIAAA 由由A的的n个特征根和个特征根和的展开式确定系数的展开式确定系数，代入代入的展开式的展开式，就可求得就可求得。tjeiAteAte8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -535353页页页电子教案电子教案Ate的的计算步骤计算步骤：（1） A的特征根为单根的特征根为单根：第一步第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根，i=1 ,2 , ,n .i第二步第二步：由由n个特征根建立以下个特征根建立以下n个方程个方程：1122101212222

559、1011121211021nnnnntnntnntneee第三步第三步：解上面方程组解上面方程组，求求,0,1,2,1iin8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第四步第四步：Atie把代入下式，求：210121AtnneIAAA 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -545454页页页电子教案电子教案8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解（2） A的特征根有重根的特征根有重根：设设1为为m重根重根，另有另有n- m个单根个单根。第一步第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根12.q ,

560、,第二步第二步：由特征根由特征根i建立以下建立以下n个方程个方程：111121011211 121011211111222101121112211112101121111111()()()()()()tnntnntnnmmtnnmmeddeddddeddddedd 1qnm 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -555555页页页电子教案电子教案8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解23210122212210132313210121qtnntnntnqqnqeee 第三步第三步：解上面方程组解上面方程组，求求,

561、0,1,2,1iin第四步第四步：Atie把代入下式，求：210121AtnneIAAA 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -565656页页页电子教案电子教案例例1:10,12AtAe求。解:2A（）求的特征根：1001012012AI 8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解12| (1)(2)01,2.AI 3ii（）建立求的方程，求：1201 1012ttee102102ttee解方程组解方程组, ,得得: :22012,tttteeee。1AI（）求：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安

562、电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -575757页页页电子教案电子教案4Ate（）求：221010(2)()0112tttteeee220()tttteeee8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解01AteIA信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -585858页页页电子教案电子教案8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解例例2:1,2AtAe-0求。-1解:1001021021AI 1AI（）求：2A（）求的特征根：212| (1)01.AI 3ii（）建立求的方程，

563、求：1101101111()()tteddedd011ttete解方程组解方程组, ,得得: :01,tttetete。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -595959页页页电子教案电子教案8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解4Ate（）求：01AteIA1010()0121tttetete02tttetee信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -606060页页页电子教案电子教案IeeedtdAtAttAt000| )(状态方程求解状态方程求解:

564、Step1: 求求;)(Atet Step2: 求求);0()()(XttXxStep3: 求求);()()(tfBttXfStep4: 求求);()()(tXtXtXfx8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解4.4.:AteA由求信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -616161页页页电子教案电子教案输出方程求解输出方程求解:Step1: 求;)(Atet Step2: 求);0()()(XtCtYxStep3: 求);()()(tDBtCthStep4: 求);()()(tfthtYfStep5: 求);()

565、()(tYtYtYfx三三、状态方程状态方程、输出方程的输出方程的s域解域解:1 1、状态方程的状态方程的S S域解域解: :状态方程状态方程:)()()(tBftAXtX8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -626262页页页电子教案电子教案s s域解域解: :根据单边拉氏变换的时域微分性质根据单边拉氏变换的时域微分性质, ,对状态方程两边对状态方程两边取拉氏变换取拉氏变换, ,得得: :( )(0 )( )( )sX sXAX sBF s( )( )(0 )( )sX s

566、AX sXBF s)()0()()(sBFXsXAsI)()()0()()(11sBFAsIXAsIsX )()()()()0()(sXsXfxsBFsXs)()()(1tLAsIs)()(tXLsXxx)()(tXLsXff)()()()(111sXLsXLsXLtXfx8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -636363页页页电子教案电子教案2.2.输出方程的输出方程的s s域解域解: :输出方程输出方程:)()()(tDftCXtYs域解域解:)()()(sDfsCXsY

567、把把X(s)代入上式代入上式,得得:)()()0()()(sFDBsCXsCsY )()()()()0()(sYsYfxsFsHXsC)()()(thLDBsCsH)()(tYLsYxx)()(tYLsYff)()()()(111sYLsYLsYLtYfx8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -646464页页页电子教案电子教案状态方程状态方程、输出方程的输出方程的s域解步骤域解步骤:状态方程状态方程s域解域解:Step2: 求求);0()()(XssXxStep3: 求求);

568、()()(sBFssXfStep4: 求求);()()(sXsXsXfxStep1: 求求;)()(1AsIsStep5: 求求).()(1sXLtX8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -656565页页页电子教案电子教案状态方程状态方程、输出方程的输出方程的s域解步骤域解步骤:输出方程输出方程s 域解域解:Step1: 求求;)()(1AsIsStep2: 求求);0()()(XsCsYxStep3: 求求;)()(DBsCsH8 8. .3 3连续系统状态方程的解连续系统

569、状态方程的解Step4: 求求)()()(sFsHsYfStep5: 求求11( )( )( )( );xxffY tLY sY tLYsStep6: 求求).()()(tYtYtYfx信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -666666页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解8.48.4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解一一、状态方程状态方程、输出方程的时域解输出方程的时域解:1.1.状态方程的解状态方程的解:n:n阶系统阶系统,P,P个输入个输入. .)()() 1(kBfkAXkX设

570、初始时刻设初始时刻,初始状态初始状态00k).0(,),0(),0()0(21nXXXX用递推法得用递推法得:)0()0() 1 (BfAXX) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(BfBfxABfAXX) 1 ()0()0(2BfABfXA)2()2() 3(BfAXX)2() 1 ()0()0(23BfABfBfAXA状态方程状态方程:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -676767页页页电子教案电子教案12( )(0)(0)(1)(2)(1).kkkX kA XABfABfABf kBf k 101)()0(kiik

571、kiBfAXA)()0(1kfBAXAkk设设则则),(kAk )()()() 1()0()()(kXkXfxkfBkXkkX(零输入分量零输入分量)(零状态分量零状态分量)2.2.输出方程的解输出方程的解: : n阶系统阶系统,P个输入个输入,q 个输出个输出.输出方程输出方程:)()()(kDfkCXkY把把X(k)代入输出方程代入输出方程,得得:8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解( )( )(0)(1)( )( )Y kCk XCkBf kDf k 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -686868页页

572、页电子教案电子教案( ):k引入( )0( )( )0( )p pkkkk)()() 1()0()()(kfkDBkCXkCkY( )( )( ).Df kDkf k则 )()()()()0()(kYkYfxkfkhXkC)() 1()(kDBkCkh冲激响应冲激响应,).(pqpqqpqqphhhhhh2111211)(khij)(kfj单独作用时单独作用时,输出输出的单位脉冲响应的单位脉冲响应.)(kyi8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -696969页页页电子教案电子

573、教案3.3.( )kkA的计算的计算：1,2,iAnAin设为阶方阵，为的特征根，8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解(1)kA 的计算方法：A由的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：210121210121kniiiniknnAIAAA 由由A的的n个特征根和个特征根和的展开式确定系数的展开式确定系数，代入代入的展开式的展开式，就可求得就可求得。kiikAkA信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -707070页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第一步第一步：

574、求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根，i=1 ,2 , ,n .i第二步第二步：由由n个特征根建立以下个特征根建立以下n个方程个方程：21101 1211 12120122212210121knnknnknnnnnn (2)kA 的计算步骤：第三步第三步：解上面方程组解上面方程组，求求,0,1,2,1iin第四步第四步：kiA把代入下式，求：210121knnAIAAA A的特征根为单根的特征根为单根：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -717171页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解

575、A的特征根有重根的特征根有重根：设设1为为m重根重根，另有另有n- m个单根个单根。第一步第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根12.q , ,第二步第二步：由特征根由特征根i建立以下建立以下n个方程个方程：211011211121101 1211 1112221101 1211 122111121101 1211 11111()()()()()()knnknnknnmmknnmmdddddddddddd 1qnm 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -727272页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离

576、散系统状态方程的解21201222122130132313210121knnknnknqqqnq 第三步第三步：解上面方程组解上面方程组，求求,0,1,2,1iin第四步第四步：kiA把代入下式，求：210121knnAIAAA 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -737373页页页电子教案电子教案例例1:01,( )21kAkA求。解:2A（）求的特征根：010121021AI 8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解12| (1)(2)01,2.AI 3ii（）建立求的方程，求：10111012kk

577、0101( 1)22kk解方程组解方程组, ,得得: :011122( 1) ,2( 1) 33kkkk 。1AI（）求：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -747474页页页电子教案电子教案4kA（）求：10011122( 1) 2( 1) 012133kkkk 11122( 1) 2( 1) 33212( 1) 2( 1) 33kkkkkkkk 8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解01kAIA信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -757575

578、页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解例例2:2,( )0kAkA0求。2解:2002002002AI 1AI（）求：2A（）求的特征根：212| (2)02AI 3ii（）建立求的方程，求：1011101111()()kkdddd0111222kkk解方程组解方程组, ,得得: :10122 ,2kkkkk。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -767676页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解4kA（）求：01kAIA11020(22 )

579、20102kkkkk2002kk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -777777页页页电子教案电子教案状态方程时域解步骤状态方程时域解步骤:Step1: 求求( );kkAStep2: 求求( )( )(0);xXkk X Step3: 求求( )( )( );fXkk Bf k Step4: 求求( )( )( );xfX kXkXk8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解输出方程的解输出方程的解:Step1: 求求( );kkAStep2: 求求( )( )(0);xY kCk X Step3: 求求( )(

580、 )( );h kCk BDk Step4: 求求( )( )( );fYkh kf kStep5: 求求( )( )( );xfY kY kYk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -787878页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解二二、状态方程状态方程、输出方程的输出方程的z域解域解:1 1、状态方程的状态方程的z域解域解: :状态方程状态方程:(1)( )( )X kAX kBf k 00k 单边单边z变换的左移性质变换的左移性质:0()( )( )mmm kkf kmz F zf k

581、 z由左移性质由左移性质，对状态方程两边取对状态方程两边取z变换变换，得得:( )(0)( )( )zX zzXAX zBF z()( )(0)( )zIA X zzXBF z11( )()(0)()( )X zzIAzXzIABF z1( )()zzIAz令1( )( )( )( )(0)( )( )xfXzXzX zz Xzz BF z 则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -797979页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解111( )( )( )( )xfX kZX zZXzZXz1

582、( )( ) ,( )( ).zZkkZz 2 2、输出方程的输出方程的z域解域解: :输出方程输出方程:( )( )( )Y kCX kDf k00k 方程两边取单边方程两边取单边z变换变换，得得:( )( )( )Y zCX zDF z把把X(z)代入上式代入上式,得得:1( )( )(0)( ) ( )Y zCz XCzz BD F z ( )( )( )(0)( ) ( )xfYzYzCz XH z F z 1( )( ) ( )H zCzz BDZ h k ( )( )xxXzZ Xk( )( )ffXzZ Xk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中

583、心第第第8 8 8- - -808080页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解1( ) ( )( )( )xfY kZY zY kYk1( )( )xxY kZY z1( )( )ffYkZYz状态方程状态方程、输出方程的输出方程的z域解步骤域解步骤:状态方程状态方程z域解域解:Step2: 求求( )( )(0);xXzz X Step3: 求求1( )( )( );fXzzz BF zStep4: 求求( )( )( );xfX zXzXzStep1: 求求1( )();zzIAzStep5: 求求1( )( ).X kZX z信号与系统信号与系统

584、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -818181页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解输出方程输出方程z域解域解:Step2: 求求( )( )(0);xY zCz X Step3: 求求1( )( );H zCzz BDStep4: 求求( )( ) ( );fYzH z F zStep1: 求求1( )();zzIAzStep5: 求求11( )( )( )( );xxffY kZY zYkZYzStep6: 求求( )( )( ).xfY kY kYk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技

585、大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -828282页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解8.58.5系系统稳定性判别统稳定性判别一一、连续系统稳定性判别连续系统稳定性判别:1、矩阵矩阵H(s)与系统稳定性与系统稳定性：对对n阶系统阶系统1( )( )()H sCs BDC sIABD ( ),H ssIAsn的分母为为的次多项式，可表示为：110nnnnsIAa sasa R- H用准则判断系统的稳定性：Step1:R- HsIA对进行排列；Step2:R- HR- H根据排列和准则判别系统的稳定性。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系

586、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -838383页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解2、矩阵矩阵A的特征方程与系统稳定性的特征方程与系统稳定性：对对n阶系统阶系统0AIA 的特征方程为：0IA 若的根全部在左半复平面，或者根的实部全为负值，则系统为稳定系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -848484页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解二二、离散系统稳定性判别离散系统稳定性判别:1、矩阵矩阵H(z)与系统稳定性与系

587、统稳定性：对对n阶系统阶系统11( )( )()H zCzz BDC zIABD ( ),H zzIAzn的分母为为的次多项式，可表示为：110nnnnzIAa zaza 用朱里准则判断系统的稳定性：Step1:zIA对进行朱里排列；Step2:根据朱里准则判别系统的稳定性。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -858585页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解2、矩阵矩阵A的特征方程与系统稳定性的特征方程与系统稳定性：对对n阶系统阶系统0AIA 的特征方程为：0IA 若的根全部在z平面上单位圆内，则系统为稳定系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第8 8 8- - -868686页页页电子教案电子教案8 8. .4 4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解

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西安电子科技大学 郭宝龙《信号与系统》课件(完整版)-修订编选

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