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1、20132013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编年全国各地高考文科数学试题分类汇编 5 5：数列：数列 一、选择题 1 （2013 年高考大纲卷（文） ）已知数列 4 3aa 0,a ,则a n 的前10项和等于 满足a nn1n2 3 （） -10 A-6 1-3 B 1 1-3-10 9 -10 C3 1-3 -10 D3 1+3 【答案】C 2 （2013 年高考安徽（文） ）设Sn为等差数列a n的前 n项和,S 8 4a 3,a7 2,则a 9 = C2D2 （） A6 【答案】A B4 3 （2013 年高考课标卷（文） ）设首项为1,公比为 2 的等比数列an的前n项和为Sn
2、,则 （） 3 DSn 32anASn 2an1 【答案】D BSn 3an2CSn 43an 4 （2013 年高考辽宁卷（文） ）下面是关于公差d 0的等差数列an的四个命题: p 2 :数列na n 是递增数列；p 1 :数列a n 是递增数列； a p 4 :数列a n 3nd是递增数列；p 3 :数列n是递增数列； n 其中的真命题为 Ap 1, p2 【答案】D 二、填空题 5 （2013 年高考重庆卷（文） ）若 2、a、b、c、9 成等差数列,则ca _. 【答案】 （） Bp3, p4Cp2, p3Dp 1, p4 7 2 6 （2013 年高考北京卷 （文） ）若等比数列a
3、n满足a2a4 20,a3a5 40,则公比q=_;前n项 S n =_. 【答案】2,2n12 7 （2013 年高考广东卷 （文） ）设数列an是首项为1,公比为2的等比数列,则a 1 |a 2 【答案】15 |a 3 |a 4 |_ 8 （2013 年高考江西卷（文） ）某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是 前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(nN*)等于_. 【答案】6 9 （2013 年高考辽宁卷（文）已知等比数列 a n是递增数列 , S n 是an的前n项和,若a 1 ，a 3 是方程 x25x4 0的两个根,则S 6 _. 【答案】
4、63 10 （2013 年高考陕西卷（文） ）观察下列等式: (11) 21 (2 1)(2 2) 2213 (31)(3 2)(33) 23135 照此规律, 第n个等式可为_. 【答案】(n1)(n2)(n3)(nn) 2 11 （2013 年上海高考数学试题（文科） ）在等差数列 【答案】15 三、解答题 12 （2013 年高考福建卷（文） ）已知等差数列an的公差d n135(2n1) a n中,若 a 1 a 2 a 3 a 4 30,则a 2 a 3 _. 1,前n项和为S n . (1)若1,a 1,a3 成等比数列,求a 1 ; (2)若S5 a 1a9 ,求a 1 的取值范
5、围. 【答案】解:(1)因为数列an的公差d 1,且1,a 1,a3 成等比数列, 所以a 1 21(a 1 2), 即a 1 2a 1 2 0,解得a 1 1或a 1 2. (2)因为数列an的公差d 1,且S5 a 1a9 , 所以5a 1 10 a 1 28a 1 ; 即a 1 23a 1 10 0,解得5 a 1 2 13 （2013 年高考大纲卷（文） ）等差数列an中,a7 4,a 19 2a 9 , (I)求an的通项公式; (II)设bn 1 ,求数列b n 的前n项和S n. na n 【答案】()设等差数列an的公差为 d,则an a 1 (n1)d a 1 6d 4 a
6、7 4 1 因为,所以. 解得,a11,d . 2 a19 2a 9 a1 18d 2(a 1 8d) 所以an的通项公式为an ()bn n1 . 2 2222222n1222 ) , 所以Sn ( )()( . 1223nn1n1na n n(n1)nn1 14（2013 年高考湖北卷 （文） ）已知S n 是等比数列a n的前 n项和,S 4 ,S 2 ,S 3 成等差数列,且a 2 a 3 a 4 18. ()求数列a n的通项公式; ()是否存在正整数n,使得S n 2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由. 【答案】()设数列a n的公比为 q,则a 1 0
7、,q 0. 由题意得 232 S 2 S 4 S 3 S 2 , a 1q a1q a1q ,即 2a a a 18,a q(1 q q ) 18, 34 2 1 a 3, 解得 1 故数列a n的通项公式为 a n 3(2)n1. q 2. 31(2)n 1(2)n.()由()有S n 1(2) 若存在n,使得S n 2013,则1(2)n 2013,即(2)n 2012. 当n为偶数时,(2)n 0, 上式不成立; 当n为奇数时,(2)n 2n 2012,即2n 2012,则n 11. 综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n n 2k 1, kN , k 5. 15 （20
8、13 年高考湖南（文） ）设S n 为数列an的前项和,已知a1 0,2a n a 1 S 1 S n ,nN ()求a1,a2,并求数列an的通项公式;()求数列na n 的前n项和. 【答案】解: () S 1 a 1.当n 1时， 2a1 a 1 S 1 S 1 a 1 0,a 1 1. 2a n a 1 2a n1 a 1 2a n 2a n1 a n 2a n1 - S 1 S 1 当n 1时，a n s n s n1 a n 时首项为a 1 1公比为q 2的等比数列，a n 2n1,n N *. ()设Tn1a1 2a23a3 nan qTn1qa1 2qa23qa3 nqan q
9、T n 1a 2 2a 3 3a 4 na n1 上式左右错位相减: (1q)T n a 1 a 2 a 3 a n na n1 T n (n 1)2n1,n N *. 1qn a 1 na n1 2n1n2n 1q 16 （2013 年高考重庆卷（文） ）(本小题满分 13 分,()小问 7 分,()小问 6 分) 设数列an满足:a11,an13an,nN. ()求an的通项公式及前n项和Sn;zhangwlx ()已知bn是等差数列,T n 为前n项和,且b 1 a 2 ,b 3 a 1 a 2 a 3 ,求T 20 . 【答案】 17 （2013 年高考天津卷（文） ）已知首项为 3
10、的等比数列a n 的前n项和为S n (n N N*), 且2S 2 ,S 3 ,4S 4 成等 2 差数列. () 求数列a n 的通项公式; () 证明S n 【答案】 113 (n N N*). S n 6 18 （2013 年高考北京卷（文） ）本小题共 13 分)给定数列a 1 ，a 2， ，an .对i 1,2,n1,该数列前i项的 最大值记为A i ,后ni项ai1 ，a i2， ，an 的最小值记为B i ,di A i B i .来源:学科网 ZXXK ()设数列a n为 3,4,7,1,写出 d 1 ,d2,d3的值; ()设a 1 ，a 2， ，an (n 4)是公比大于
11、 1 的等比数列,且a 1 0.证明: d 1 ,d 2 ,d n1 是等比数列; ()设d 1 ,d 2 ,d n1 是公差大于 0 的等差数列,且d 1 0,证明:a 1 ,a 2 ,a n1 是等差数列 【答案】解:(I)d1 2,d23,d3 6. (II)因为a 1 0,公比q 1,所以a 1 ，a 2， ，an 是递增数列. 因此,对i 1,2,n1,A i a i ,B i a i1 . 于是对i 1,2,n1,d i A i B i a i a i1 a 1(1q)q i1. 因此d i 0且 d i1 q(i 1,2,n2),即d 1 ,d 2 ,d n1 是等比数列. d
12、i (III)设d为d 1 ,d 2 ,d n1 的公差. 对1 i n2,因为B i B i1 ,d 0,所以A i1 B i1 d i1 B i d i d B i d i =A i . 又因为A i1 maxA i ,a i1,所以 a i1 A i1 A i a i . 从而a 1 ，a 2， ，an1 是递增数列,因此A i a i (i 1,2,n2). 又因为B 1 A 1 d 1 a 1 d 1 a 1 ,所以B 1 a 1 a 2 a n1 . 因此an B 1. 所以B 1 B 2 B n1 a n . 所以ai A i =Bidi andi. 因此对i 1,2,n2都有a
13、i1ai di1di d,即a1,a2,an1是等差数列. 19 （2013 年高考山东卷（文） ）设等差数列an的前n项和为S n ,且S 4 4S 2 ,a2n 2an1 ()求数列an的通项公式 ()设数列bn满足 【答案】 bb 1 b 2 1 n1 n ,nN* ,求b n 的前n项和Tn a 1 a 2 a n 2 20 （2013 年高考浙江卷（文） ）在公差为 d 的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. ()求 d,an; () 若 d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an| . 【答案】解:()由已知得到: (2a2 2)2 5a 1a3
14、 4(a 1 d 1)2 50(a 1 2d) (11 d)2 25(5 d) d 4 d 1 ; 121 22d d125 25d d3d 4 0或 an 4n 6 an 11 n 22 ()由(1)知,当d 0时,an 11 n , 当1 n 11时, an0|a 1 |a2|a3| |an| a 1 a2 a3 an 当12 n(1011 n)n(21 n) 22 n时, an 0|a 1 |a2|a3| |an| a 1 a2 a3 a 11 (a 12 a 13 an) 11(2111)n(21 n)n2 21n 220 2(a 1 a2 a3 a 11) (a1 a2 a3 an)
15、 2 222 n(21 n) ,(1 n 11) 2 所以,综上所述:|a1|a2 |a3 | ; |an| 2 n 21n 220 ,(n 12) 2 21 （2013 年高考四川卷（文） ）在等比数列an中,a2a 1 2,且2a 2 为3a 1 和a 3 的等差中项,求数列a n 的 首项、公比及前n项和. 【答案】解:设an的公比为q.由已知可得 a1q a1 2,4a1q 3a1 a1q2, 所以a1(q 1) 2,q2 4q 3 0,解得q 3或q 1, 由于a1(q 1) 2.因此q 1不合题意,应舍去,故公比q 3,首项a11. 3n1 所以,数列的前n项和S n 2 22（2013 年高考广东卷 （文） ）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn an 2 1 4n1,nN, 且a2,a5,a 14 构成等比数列. (1) 证明:a 2 4a 1 5; (2) 求数列an的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有 1111 . a 1a2 a 2a3 a nan1 2 【答案】(1)当n 1时,4a 1 2 22 a 2 5,a 2 4a 1 5,a n 0a 2 4a 1 5 (2)当n 2时,4Sn1 an4n
