苏教版--九年级数学上册知识点整理-修订编选

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1、 1 九年级（上）知识点归纳九年级（上）知识点归纳 第一章第一章 图形与证明（二）图形与证明（二） 1.1 等腰三角形的性质和判定 1.等腰三角形性质定理： 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一” ） 2.等腰三角形判定定理 ： 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ） 1.2 直角三角形全等的判定定理： 1.判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL” ） 。 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的

2、点，在这个角的平分线上。 推论：直角三角形中，30的角所对的直角边事斜边的一半。 1.3：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 1.平行四边形性质定理： 定理 1：平行四边形的对边相等。 定理 2：平行四边形的对角相等。 定理 3：平行四边形的对角线互相平分。 2.平行四边形判定定理： 从边：1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.矩形的性质定理： 定理 1：矩形的 4 个角都是直角。 定理 2：矩形的对角线相等。 定理：直角三角形斜边上的中线等

3、于斜边的一半。 4.矩形的判定定理： 1.有三个角是直角的四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形 5.菱形的性质定理： 定理 1：菱形的 4 边都相等。 定理 2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 6.菱形的判定定理： 1.四条边都相等的四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7.正方形的性质定理： 正方形的 4 个角都是直角，4 条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。 8.正方形的判定定理： 1、有一个角是直角的菱形是正方形。 2、有一组邻边相等的平行四边

4、形是正方形 1.4：等腰梯形的性质和判定 1. 等腰梯形的性质定理： 定理 1：等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理 2：等腰梯形的两条对角线相等。 2 2.等腰梯形的判定定理： 1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 2.对角线相等的梯形是等腰梯形。 1.5 中位线 1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 2.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。 中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边 形） 。 原四边形对角线中点四边形 相等菱形 互相垂直矩形 相等且互相垂直正方形 第二章 数据的离散程度第二章 数据的离散程

5、度 2.1：极差 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。 极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的 波动幅度越小。 2.2：方差与标准差 1.方差：各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作 S2 基本公式：S2=(X1- )2+(X2- )2+(Xn- )2 n 1 X X X 2.标准差: 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作 S。 3. 意义： 1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通 常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较

6、接近的情况。 2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。 3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。 注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。 3 第三章第三章 二次根式二次根式 3.1 二次根式 1.定义：一般地，式子（a0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。 有意义条件：当 a0 时，有意义；当 a0 时，无意义。 2.性质： （1）)0()( 2 aaa )0( aa （2） aa 2 )0( aa 3.2 二次根式的乘除 1.运算法则： （1） （）)0, 0(babaab)0, 0(baabba （2） （

7、)0, 0(ba b a b a )0, 0(ba b a b a 2.最简根式： a.被开方数中不能含能开的尽方的因数或因式 b被开方数中不含分母 c.分母中不含有根号 一般地，二次根式运算的结果中应化为最简二次根式 3.3：二次根式的加减 1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式 2.运算法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式 3.分母有理化：当分母是单个二次根式时，就将分子与分母同乘以这个二次根式本身即可；当分母中含有多 项式如（+1）时，就将分子分母同乘以它的有理化因子(-1) 4 第四章第四章 一元二次方程一元二次方程 4.1 一元二次方程

8、 1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式是 aX2+bX+c=0(a、 b、 c 是常数， a0)， 其中 aX2称为二次项， a 称为二次项系数， bX 称为一次项， b 称为一次项系数，c 称为常数项 4.2：一元二次方程的解法 1、直接开平方 2、配方法 ： 先把一元二次方程变形为（X+h）2=k 的形式（其中 h,k 都是常数） ，如果 k0，再通过直接开平 方法求出方程的解 3、公式法（求根公式）：一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a0） ，当 b2-4ac0 时，它的根是 4.因式分解法：利用分解因式的方法解一元二次方程的方

9、法 5.根的判别式 ： 当 b2-4ac0 时， 方程有两个不相等的实数根 ； 当 b2-4ac=0 时， 方程有两个相等的实数根 X1=X2， 当 b2-4ac0 时，方程没有实数根。反之，也成立。 6.韦达定理：设一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a0）的两根为 X1，X2 那么 X1 + X2 =- ，X1 X2 = a b a c 4.3：用一元二次方程解决实际问题 一元二次方程应用题步骤步骤：“设、找、列、解、验、答” 第五章 中心对称图形（二）第五章 中心对称图形（二） 5.1 圆 定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。 与圆有关的概念： 1

10、、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做 半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 3、定点在圆上的角叫做圆心角。 4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够 互相重合的弧叫做等弧。 点与圆的位置关系： 在平面内，点与圆有 3 中位置关系 ： 点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，那么“点 P 在圆内 dr;点 P 在圆上d=r；点 P 在圆外dr” 5.2 圆的对称性 圆是

11、中心对称图形，圆心是对称中心。 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等。 5 5.3 圆周角 概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 （圆心与圆周角的位置关系分为三 种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部） 推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。 2、90的圆周角对的弦是直径。 5.4 确定圆的条件 条件：不在同一条直线上的三个点确定一

12、个圆。 三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三 角形 5.5 直线与圆的位置关系 1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 （dr） 2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 （d=r） 3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 （dr） 直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区 分，它们的结果是一致的。 切线的性质与判定： 判定：经过半径的外端并且垂直于这

13、条半径的直线式圆的切线。 性质：（圆的切线垂直于过切点的半径） 1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。 2、 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3、切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。 内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 5.6 圆与圆的位置关系 性质与判定： 如果两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdR+r（Rr） 两圆内切d=R-r(Rr) 两圆内含0dR-r（Rr）

14、连心线的性质： 圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿 O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆 相切，直线 O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。 6 5.7 正多边形与圆 正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 性质：正多边形都是对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，没条对称轴都通过正 n 边形的中心。一个正 多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形， 那么它的中心就是对称中心。 1、边数相同的正多边形相似。 2、 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

15、友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。 （2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边 形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。 作正多边形：作半径为 R 的正 n 边形的关键是 n 等分圆。这就要学习两种方法： （1）用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数， 即正 n 边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正 n 边形。 （2）用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说 ： 先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连 接各分点，就做出正方形 ； 用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分 点，就作出正六边形。 友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。 5.8 弧长及扇形的面积 圆的周长公式 C=2R，其中是圆的周长与直径的比值，称为圆周率。 弧长公式：l=，其中，表示 1的圆心角的倍数，它不带单位，R 为圆的半径，l 为 n的圆心角所对 的弧长。 扇形面积公式： 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图