高中数学必修三知识点总结-修订编选

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1、第一章 算法初步 一、算法与程序框图一、算法与程序框图 1.算法算法 ： 算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确 和有限的步骤。算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。 2.算法与计算机算法与计算机 ： 计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并 用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。 3.算法的特征算法的特征：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。 确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果

2、。 可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的 前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一个都准确无误才能完成问题。 不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以由不同的算法。 普遍性：一个算法应该适用于求某一类问题的解，而不是只用来解决一个具体的问题。 【注意：有限性、确定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是检验一个算法的主要依据。 】 4.程序框图程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。 5.程序框图的组成程序框图的组成：程序框图由程序框及流程线组成；在程序框图中，一个

3、或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤； 带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序。 6.基本程序框及其功能基本程序框及其功能： 图形符号名 称功 能 终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束 输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息 处理框（执行框）赋值、计算 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处表明“是”或 “Y” ；不成立时表明“否”或“N” 流程线连接程序框 连接点连接程序框图的两部分 【注意 ： 起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束。输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。 算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。一个算法步

4、骤到另一个算法步骤用流程线连接。如果一个 框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。 】 7.程序框图的画法程序框图的画法： 画一个算法的程序框图，应先对问题进行算法分析，必要时可先用自然语言设计该问题的算法，弄清算法的流程， 然后把算法步骤逐个转化为框图表示，最后用流程线依步骤顺序连接成程序框图。 画程序框图的规则：使用标准的框图符号； 框图一般按从上到下、从左到右的方向画； 除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号； 一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种公式多分支判断，有几种不同的结 果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 8.算法的基本逻辑结构算法的基本逻辑结构：顺序结构顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，其特点是步骤与步骤之间，框与 框之间是按从上到下的顺序依次执行，不会引起程序步骤的“跳转” ，它是任何一个算法都离不开的基本结构。 条件结构条件结构：概念：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这 种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构。这是一种依据指定条件选择执行不同指令的指 控结构。 结构形式 否 是 否 是 循环结构循环结构：概念：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执

6、行某些步骤的情况，这就是循 环结构，反复执行的步骤称为循环体。 结构形式 否 是 是 否 .直到型循环的结构特征直到型循环的结构特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条 件满足时终止循环。 .当型循环的结构特征当型循环的结构特征：在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。 二、基本算法语句二、基本算法语句 1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环 语句。 2.输入语句输入语句：输入语句是指程序运行中由用户输入数据的语句。它的一般格式是 INPUT “

7、提示内容” ；变量。 【注意： “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息；输入语句中，提示内容要写在“ ”中，并且与变量 之间要用“；”隔开；一个输入语句可以输入多个变量，中间用“， ”隔开；输入语句不仅能够输入具体的常数， 还可以输入单个或多个字符，但不能是函数、变量或表达式。 】 3.输出语句输出语句：输出语句是将程序运行的信息显示出来的语句。它的一般格式是 PRINT “提示内容” ；表达式。 【注意 ： “提示内容”一般是提示用户输出什么样的信息 ； 输出语句中，提示内容与表达式之间要用“ ； ”隔开 ； 一个输出语句可以输出多个变量的值，中间用“， ”隔开；输出语句中的表达式是指程

8、序要输出的数据，输出语句可 以输出常量、变量或表达式的值，输出语句具有计算功能。 】 4.赋值语句赋值语句：赋值语句是赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是变量=表达式。其中， “=”叫做赋 值号，其作用是先计算“=”右边表达式的值，然后把这个值赋给“=”左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。 【注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；赋值号左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表 达式赋给赋值号左边的变量 ； 不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算 ； 赋值号与数学中的等号的意义不同， 赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后，获得一个值，如果原已有值

9、，则执行该语句后，以赋值号 右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉” 。 】 5.语句中的常用符号语句中的常用符号 运算符号运算符号 循环体 满足条件？ 满足条件？ 循环体 满足条件？ 步骤 A 满足条件？ 步骤 A步骤 B 加减运算：，在程序语句中还是写为，；abababab 乘法运算：在程序语句中写作；a ba b 除法运算：或在程序语句中写作；ab a b /a b 乘方运算：在程序语句中写作，也可用连乘的形式。 b aab 函数符号函数符号 算术平方根：表示； SQR xx 绝对值：表示； ABS x|x 取整：表示不大于的最大整数。 INT xx 6.条件语句条件语句：概念概

10、念：条件语句是处理条件结构的算法语句。 条件语句的格式条件语句的格式： 否 是 否 是 与图一相对应的条件语句的格式是 IFTHENELSE 格式 与图二相对应的条件语句的格式是 IFTHEN 格式 其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条 其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条 件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行 件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行 语句体 1，否则（ELSE）执行语句体 2。 语句体，否则执行 END IF 之后的语句。 两种条件语句的区别与联系两种条件语句的区别与联系 共同点共同点：两种语句都首先对条件

11、进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后退出条件结构。从形式上看， 都以 IF 开始，最后以 END IF 结束。 区别区别：第一种语句包含两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体；而第二种语句只 有一个语句体，是满足条件时执行的语句体。 【注意：利用条件语句编写程序应该：明确该程序解决什么问题，这个问题有几种不同的情况，每一种情况成立的 条件是什么；确定需要使用几个条件语句来设计程序，每一个条件语句能解决问题的哪一种情况，可以先设计解决 问题的算法，画出相应的程序框图，然后把算法步骤及框图内容使用相应语句描述。 】 7.循环语句循环语句： 循环语句的格式与功

12、能循环语句的格式与功能： 1.直到型循环结构对应的直到型循环结构对应的 UNTIL 语句语句 满足条件？满足条件？ 步骤 A步骤 A步骤 B 图一图二 IF 条件 THEN 语句体 END IF IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 满足条件？ 图三图四 否 是 是 否 与直到型循环结构（图三）相对应的程序语句称为 UNTIL 与当型循环结构（图四）相对应的程序语句为 WHILE 语句，它的一般格式是： 语句，它的一般格式是： 功能：当计算机执行上述语句时，先执行一次 DO 和 UNTIL 功能：当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真 之间的循环体，再

13、对 UNTIL 后的条件进行判断。如果条件不 假，如果条件符合，就执行 WHILE 和 WEND 之间的循 符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不 环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执 符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止。这时，计算机 行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合 不再执行循环体，直到跳到 UNTIL 语句后，接着执行 UNTIL 为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句之后的语句。 语句后，接着执行 WEND 之后的语句。 WHILE 语句和语句和 UNTIL 语句的关系语句的关系： UNTILWHILE 先执行循环体，

14、在判断条件，然后再循环体， 再条件，反复执行，直到条件满足 先判断条件，再执行循环体，然后再判断 条件，再循环体，反复执行，直至条件不 满足 计算机的执行顺序 “UNTIL 先循环后判断，WHILE 先判断后循环” 此语句中条件是循环结束的条件， 即满足此条 件时，循环结束，执行循环结构后面的语句； 不满足时，才执行循环体 此语句的条件是执行循环体的条件，即满 足条件时，执行循环体；不满足时，退出 循环，执行循环结构后面的语句 条件的内容 “WHILE 满足就循环，UNTIL 满足就停止” 区 别 对循环体的执行次数 此语句由于先执行循环体， 后判断条件， 因此， 在任何一个这样的语句中， 循

15、环体至少要执行 一次 此语句由于现判断条件，后执行循环体， 因此循环体可以一次也不执行而退出循环 结构 联 系 这两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，一般来说，WHILE 语句与 UNTIL 语句都可以相互转化 几种对应关系几种对应关系： 变量初始值与循环体中变量值的对应。初始值有时会直接影响循环体中的变量值。 变量的初始值与循环条件的对应。一般来讲，初始值可以确定循环条件。 三、算法案例三、算法案例 1.辗转相除法辗转相除法：辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的方法。 2.辗转相除法具体算法辗转相除法具体算法：用两个数中较大的数除以较小的数判断玉树是否为 0，若不为 0，则用较小

16、的数除以余数再判 断余数是否为 0，反复进行上述步骤，直到余数为 0 为止。这时的除数就是最大公约数。 3.更相减损术更相减损术：更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法。 4.更相减损术的内容更相减损术的内容：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，则以较大的数减去较 小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，这个数就是 所求的最大公约数。 5.更相减损术与辗转相除法比较更相减损术与辗转相除法比较：更相减损术是作减法运算，而辗转相除法是作除法运算；更相减损术运算次数较多， 但每一次的计算都较简单。 6.秦九昭算法秦九昭算法：秦九昭算法是能求多项式函数值的一种算法。 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 WHILE 条件 循环体 WEND 循环体 满足条件？ 循环