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1、高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1空间几何体的结构 1、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平 行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分
2、为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似 ，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部 分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半 径垂直；侧
3、面展开图是一个矩形。 5、圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图 是一个扇形。 6、圆台、圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部 分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点 、轴 1.2空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影
4、中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱 （4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， h
5、为斜高，l为母线） chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V = ； S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线
6、、平面之间的位置关系 平面：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 在 此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 只有一条过改点的公共直线 线线关系：1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 ab cb 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都 适用。 公理4作用：判断空间两条直线
7、平行的依据 线面位置关系 （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a=A a 4、面面关系 平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 2.2直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行判定 共面直线 =ac 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行，符号表示： 作用：直线与平面的判定定理 2、面面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平 行， 作用：证面面平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 1、
8、线面垂直 定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 作用：证线面垂直 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的 垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂 直性质易得垂线。 2、面面垂直 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 作用：证面面垂直 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这
9、两条射线所成的角叫二面角的平面角 。 （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直； 反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 （5）求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 3、垂直关系的性质定理 线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 直线平行。 面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 第
10、三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地 ，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜 角的取值范围是0180 （2）直线的斜率 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用k表示。即 tank 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，； 当时，； 当时， 90,0 0k 180,90 0k 90k 不存在。 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx yy k 注意：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为9
11、0； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上 两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2直线的方程 点斜式：直线斜率k，且过点 )( 11 xxkyy 11, y x 注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用 点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1 。 斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b bkxy 两点式：（）直线两点， 11 2121 yyxx yyxx 1212 ,xxyy 11, y x 22,y x
12、截矩式： 1 xy ab 其中直线 与 轴交于点,与 轴交于点,即 与 轴、 lx ( ,0)ay(0, )b lx y 轴的截距分别为。 , a b 一般式：（A，B不全为0） 0CByAx 注意：各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2 平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线： by ax （a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线（ 0 000 CyBxA 00,B A 是不全为0的常数）的直线系：（C为常数） 0 00 CyBxA （二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系：，直线过定点； 00 xxkyy 00, y x （
13、）过两条直线， 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当，时， 111: bxkyl 222 :bxkyl ； 212121 ,/bbkkll1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 3.3直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点 相交 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解。 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 ； 方程组有无
14、数解与重合 21/l l 1 l 2 l 2、两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 1122 ( ,),A x yB xy，（） 则 22 2121 |()()ABxxyy 3、点到直线距离公式：一点到直线的距离 00, y xP0: 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 第四章 圆与方程 4.1圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点 为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程，圆心，半径为r； 2 22 rbyaxba, （2）一般方程 0 2
15、2 FEyDxyx 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 04 22 FED 2 , 2 ED FEDr4 2 1 22 当时，表示一个点； 当 04 22 FED04 22 FED 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件 ，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来 确定圆心的位置。 4.2直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列 两种方法判断： （1）设直线，圆，圆心 0:CByAxl
16、 2 22 :rbyaxCbaC, 到l的距离为，则有； 22 BA CBbAa d 相离与Clrd相切与Clrd 相交与Clrd （2）设直线，圆 0:CByAxl 2 22 :rbyaxC ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别 式为 ，则有 ； 相离与Cl0相切与Cl0相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 2 00 ryyxx 去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。 00, y x (3)过圆上一点的切线方程： 圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 圆(x-a)2+(y- b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过
