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1、高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1空间几何体的结构 1、棱柱 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平 行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分
2、为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 EDCBAP 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似 ,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部 分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示:用各顶点字母,如四棱台ABCDABCD 几何特征:上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征:底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半 径垂直;侧
3、面展开图是一个矩形。 5、圆锥 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体 几何特征:底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图 是一个扇形。 6、圆台、圆台 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部 分 几何特征:上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点; 侧面展开图是一个弓形。 球体 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征:球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶点 、轴 1.2空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影
4、中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图:斜二测画法 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变; (3).画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱 (4)成图 1.3空间几何体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高, h
5、为斜高,l为母线) chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V = ; S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线
6、、平面之间的位置关系 平面:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线 在 此平面内。 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 只有一条过改点的公共直线 线线关系:1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a、b、c是三条直线 ab cb 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都 适用。 公理4作用:判断空间两条直线
7、平行的依据 线面位置关系 (1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 来表示 a a=A a 4、面面关系 平行没有公共点; 相交有一条公共直线。b 2.2直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行判定 共面直线 =ac 定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平 面平行,符号表示: 作用:直线与平面的判定定理 2、面面平行 定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平 行, 作用:证面面平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 1、
8、线面垂直 定理:一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。 作用:证线面垂直 线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的 垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂 直性质易得垂线。 2、面面垂直 (1)定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 作用:证面面垂直 (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 (3)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这
9、两条射线所成的角叫二面角的平面角 。 (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直; 反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 (5)求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 3、垂直关系的性质定理 线面垂直性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行。 面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 第
10、三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地 ,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜 角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用k表示。即 tank 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当时,; 当时,; 当时, 90,0 0k 180,90 0k 90k 不存在。 过两点的直线的斜率公式: )( 21 12 12 xx xx yy k 注意:(1)当 21 xx 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为9
11、0; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上 两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2直线的方程 点斜式:直线斜率k,且过点 )( 11 xxkyy 11, y x 注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用 点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1 。 斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b bkxy 两点式:()直线两点, 11 2121 yyxx yyxx 1212 ,xxyy 11, y x 22,y x
12、截矩式: 1 xy ab 其中直线 与 轴交于点,与 轴交于点,即 与 轴、 lx ( ,0)ay(0, )b lx y 轴的截距分别为。 , a b 一般式:(A,B不全为0) 0CByAx 注意:各式的适用范围 特殊的方程如: 1 2 平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线: by ax (a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线( 0 000 CyBxA 00,B A 是不全为0的常数)的直线系:(C为常数) 0 00 CyBxA (二)过定点的直线系 ()斜率为k的直线系:,直线过定点; 00 xxkyy 00, y x (
13、)过两条直线, 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 的交点的直线系方程为 ( 为参数),其中直线 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当,时, 111: bxkyl 222 :bxkyl ; 212121 ,/bbkkll1 2121 kkll 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 3.3直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点 相交 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解。 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 ; 方程组有无
14、数解与重合 21/l l 1 l 2 l 2、两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点, 1122 ( ,),A x yB xy,() 则 22 2121 |()()ABxxyy 3、点到直线距离公式:一点到直线的距离 00, y xP0: 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 第四章 圆与方程 4.1圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点 为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r; 2 22 rbyaxba, (2)一般方程 0 2
15、2 FEyDxyx 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 04 22 FED 2 , 2 ED FEDr4 2 1 22 当时,表示一个点; 当 04 22 FED04 22 FED 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件 ,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来 确定圆心的位置。 4.2直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列 两种方法判断: (1)设直线,圆,圆心 0:CByAxl
16、 2 22 :rbyaxCbaC, 到l的距离为,则有; 22 BA CBbAa d 相离与Clrd相切与Clrd 相交与Clrd (2)设直线,圆 0:CByAxl 2 22 :rbyaxC ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别 式为 ,则有 ; 相离与Cl0相切与Cl0相交与Cl0 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 2 00 ryyxx 去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。 00, y x (3)过圆上一点的切线方程: 圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 圆(x-a)2+(y- b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过