相似三角形的判定方法9583-修订编选

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1、(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相 等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； 相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形对应边的比叫做相似比 全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其 区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例 相似比具有顺序性 例如ABCABC的对应边的比， 即相似比为 k， 则AB

2、C ABC 的相似比，当它们全等时，才有 k=k=1 相似比是一个重要概念， 后继学习时出现的频率较高， 其实质它是将一个图形放大或缩小 的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似 多边形 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的 三角形与原三角形相似 定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： DEBC，ABCADE； （ 双 A 型） 这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理 它不但本身有着广泛的 应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“

3、预备定理”； 有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似” (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：相似三角形的判定： 判定定理判定定理 1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 ： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE 例 2、如图，E、F 分别是ABC 的边 BC 上的点，DEAB,DFAC , 求证：ABCDEF. 判定定理判定定理

4、 2： 如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。 ： 如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。 简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 例1、ABC中，点D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD与ABC相似吗？说说你的理由 例 2、如图， 点 C、 D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形。 （1）当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时，ACPPDB？ （2）当ACPPDB 时，求APB 的度数。 判定定理判定定理 3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两

5、个三角形相似。：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 简单说成：三边对应成比例，两三角形相似简单说成：三边对应成比例，两三角形相似 A B C D EF 第 4 题 不相似，请说明理由。 ，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似 ，和如图在正方形网格上有 222111 ACBACB 强调： 有平行线时，用预备定理； 已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时， 可考虑利用判定定理1或判定定理2 ； 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3但是，在选择利用判定定 理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等 2、直角三角形相似的判定： 斜边和

6、一条直角边对应成比例，两直角三角形相似斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 例 1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证： ADQQCP 例 2、 如 图 ,ABBD,CDBD,P 为 BD 上 一 动 点 ,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当 P 点在 BD 上由 B 点向 D 点运动 时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说 明理由. 例 3、如图 ADAB 于 D，CEAB 于 E 交 AB 于 F，则图中相似三角形的对数有 对。 例 4、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，

7、 EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。 求证：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB 由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一 对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定 理 3 判定两个直角三角形相似； 如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相 似三角形”，其应用较为广泛 （直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形 相似） E D F A BC 如图，可简单记为：在 RtABC 中，CDAB，则ABCCBDACD 补充射影定理。

8、 特殊情况特殊情况： 第一第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五第五 ： 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中 线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型斜三角形直角三角形 全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL 相似三角形 的判定 两边对应成 比例夹角相 等 三边对应成 比例 两角对应相 等 一 条 直 角 边

9、与 斜 边 对 应 成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功 通常有以 下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形 中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所 对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边 ； 对应边所对的角是对应角 ； 对应边所夹的角是对应角 （3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形： 学

10、习三角形相似的判定， 要与三角形全等的判定相比较， 把证明三角形全等的思想方法 迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的 判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如： A BC D E A BC D DA B C A BC D E D A BC E (1)“平行线型”相似三角形， 基本图形见前图 “见平行， 想相似”是解这类题的基本思路 ； (2)“相交线型”相似三角形， 如上图 其中各图中都有一个公共角或对顶角 “见一对等角， 找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； (3)“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B=D(或C=E)

11、，则ADE ABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的 从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法， 能帮助我们尽快地找到添加的 辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型” 识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形 练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示 出来，并简要说明识别的根据。 2、如图 27-2-1-12,在大小为 44 的正方形方格中,ABC 的顶点 A,B,C 在单位正方形的顶点 上,请在图中画一个A1B1C1,使A1B1C1ABC(相似比

12、不为 1),且点 A1,B1,C1都在单位 正方形的顶点上. 图 27-2-1-12 1、寻找相似三角形的个数 例 1、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都 在同一平面内，回答下列问题： (1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来； (2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出 来 如图，ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，连接并延 长 DE 交 BC 的延长线于点 F，连接 DC、 BE，若 BDEBCE 180。写出图中 3 对相似三角形（注意：不得添加字母 和线）请在你所找出的相似三角形中选取 1 对，说明它们

13、相似的理由。 1、 如图， 在正方形网格上有 6 个三角形：， ABC ，其中BCDBDEBFGFGHEFK -中与相似的是 。 2、画符合要求的相似三角形 例 1、 (上海)在大小为 44 的正方形方格中， ABC 的顶点 A、 B、 C 在单位正方形的顶点上， 请在图中画出一个A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似比不为 1)，且点 A1、B1、C1都 在单位正方形的顶点上 3、相似三角形的判定 例 1、 (1)如图， O 是ABC 内任一点， D、 E、 F 分别是 OA、 OB、 OC 的中点， 求证 ： DEF F E D B A C ABC； (2)如图，正方形 ABCD 中，

14、E 是 BC 的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并 证明 例 2、如图，在ABC 中，DF 经过ABC 的重心 G，且 DFAB，DEAC，连接 EF，如 果 BC=5，AC=AB.求证:DEFABC2 4、直角三角形中相似的判定 例 1、如图，ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，DE 为 AC 的中线，延长线交 AB 的延长于 F，求证：ABAF=ACDF。 例 2、 已知 ： 如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D， E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB 5、相似三角形的综合运用 例 1、 如图， CD 是 RtABC 斜边 AB

15、 上的中线， 过点 D 垂直于 AB 的 直线交 BC 于 E， 交 AC 延长线于 F 求证：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF 例 2、 如图， AD 是ABC 的角平分线， BEAD 于 E， CFAD 于 F CB A F E D G 求证 ： 例 3、如图，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 AB、BC 上的点，BM=BN，BPMC 于点 P 求证： PNPD 6、相似三角形中辅助线的添加、相似三角形中辅助线的添加 （1） 、作垂线） 、作垂线 3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF， 垂足分别为 E、 F， 求证 ： 。 2

16、 ACAFADAEAB A B C F D E （2） 、作延长线） 、作延长线 例 1、 如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FGAB 于 G，求证：FG =CFBF 2 （3） 、作中线（3） 、作中线 例 1、 如图，中， ABAC， AEBC 于 E， D 在 AC 边上， 若 BD=DC=EC=1， 求 AC。ABC 练习： 1、中， AC=BC， P 是 AB 上一点， Q 是 PC 上一点 （不是中点） ， MNABC90ACB 过 Q 且 MNCP，交 AC、BC 于 M、N，求证：。CNCMPBPA: 2、 . 理如图，中，那么吗？试说明ABCABACBD ACBCCA CD 2 2 由？ 3.(2009 年湖北武汉)(2009 年湖北武汉)如图 1，在RtABC中，90BAC，ADBC于点D，点O 是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E （1）求证：ABFCOE； （2）当O为A