高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)--修订编选

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1、一基本原理 1加法原理：做一件事有 n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2乘法原理：做一件事分 n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二排列：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一 .mn m n A有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1. ! ! 121 mn n mnnnnAm n 2. 规定：0! 1 (1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn (2) !(1) 1!(1)!(1)!n nnnnnnnn； (3) 1

2、 11111 (1)!(1)!(1)!(1)!(1)! nnn nnnnnn 三组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同的 m 元素 中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： C A A n nnm m n m nm n mn m m m 11 ! ! ! 1 0 n C规定： 组合数性质： . 2 nn nnn m n m n m n mn n m n CCCCCCCC2 10 1 1 ， ； 111 12111212211 rrrrrrrrrrrrrrr rrrnnrrrnnrrnnn CCCCCCCCCCCCCCC 注： 若 12 m

3、m 1212 m =mm +mn nn CC则或 四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。 2解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：直接法； 间接法 ： 对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类

4、，又要分步。其原则是先分类， 后分步。 （4）两种途径：元素分析法；位置分析法。 3排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其 余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、 全不相邻问题， 插空法 ： 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法. 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的 空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先

5、定后插 解法一 ： 对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排 列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二 ： 在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位 置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有 1 种排法 ； 若不要求，则 有 2 种排法； （6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其 余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，

6、可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。能 被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数； 能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数能被 4 整除的数的特征：末两位是 4 的 倍数。 能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5。 能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。 能被 6 整除的数的特征：各位 数字之和是 3 的倍数的偶数。 4 组合应用题 ： （1）.“至少” “至多” 问题用间接排除法或分类法: （2） “含” 与 “不 含” 用

7、间接排除法或分类法: 3分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配 ： （不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排， 注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告， 其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告， 要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种

8、不同的播放方式（结果用数值表示）. 例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 例.有 4 个男生，3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到 高排列，有多少种排法？ 1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台， 其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不同的 取法共有 2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛（1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人， 有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有 种选法 ； （4）如果 4 人中

9、必须既 有男生又有女生，有 种选法 16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为() A40 B50 C60 D70 2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻 出现，这样的四位数有() A6 个 B9 个 C18 个 D36 个 4男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中 女生有() A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D

10、4 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从 二楼到三楼用 8 步走完，则方法有() A45 种 B36 种 C28 种 D25 种 6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能 分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有 () A24 种 B36 种 C38 种 D108 种 7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与

11、5 相邻的六位偶数的个数是() A72 B96 C108 D144 9 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆， 每天最多只安排一所学校， 要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安 排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答) 11 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_ 种不同的排法(用数字作答) 12将 6 位志愿

12、者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场 馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答) 14. 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其 中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 15. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中 的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A. 504 种

13、 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有种方法 4 4 1 4 2 2 2AAA 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有种方法)(4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA 故共有 1008 种不同的排法 排列组合 二项式定理排列组合 二项式定理 1， 分类计数原理 1， 分类计数原理 完成一件事有几类方法， 各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法 （每 一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列排列 排列定义 ： 从

14、 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素（被取出的元素各不相同） ，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义；从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所有排列的个数 m nA 公式 = 规定 0！=1 m nA ! ()! n nm 3，组合3，组合 组合定义 组合定义 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合 组合数 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所有组合个数 m nC = m nC ! !()! n m nm 性质 = m nC n m nC

15、1 1 mmm nnnCCC 排列组合题型总结 排列组合题型总结 一直接法 1 .特殊元素法 例 1例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数 各有多少个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 EgEg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三 张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2）女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻）

16、（3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 二插空法插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例 3 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序， 有多少中插入方法？ 捆绑法捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种 ,2，某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一 所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法 有（） （注意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成