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1、 高考复习之参数方程 高考复习之参数方程 一、考纲要求一、考纲要求 1.理解参数方程的概念， 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义， 掌握参 数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程 化为 直角坐标方程， 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的 参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点 Po(x0,y0)，倾斜角为的直线 l(如图)的参数方程是 (t 为参数) atyy atxx s
2、in cos 0 0 (2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tg=的直线的参数方程是 a b (t 不参数) btyy atxx 0 0 在一般式中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2+b2=1,即为标准式，此 时， t表示直线上动点 P 到定点 P0的距离；若 a2+b21，则动点 P 到定点 P0的距离是 t. 22 ba 直线参数方程的应用 设过点 P0(x0,y0),倾斜角为的直线 l 的参数方程是 （t 为参数） atyy atxx sin cos 0 0 若 P1、P2是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t1,t2，则 (1)P1、P2两点的坐标分
3、别是 (x0+t1cos,y0+t1sin) (x0+t2cos,y0+t2sin)； (2)P1P2=t1-t2; (3)线段 P1P2的中点 P 所对应的参数为 t，则 t= 2 21 tt 中点 P 到定点 P0的距离PP0=t= 2 21 tt (4)若 P0为线段 P1P2的中点，则 t1+t2=0. 2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是(是参数) sin cos rby rax 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角，0,2(见图) (2)椭圆 椭圆(ab0)的参数方程是1 2 2 2 2 b y a x (为参数) sin cos by
4、 ax 椭圆 (ab0)的参数方程是1 2 2 2 2 b y a y (为参数) sin cos ay bx 3.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点 O， 从 O 引一条射线 Ox， 选定一个单位长度以及计算角 度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射 线 Ox 叫 做极轴. 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素， 缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点， 用表示线段 OM 的长度， 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ，那么叫做 M 点的极径，叫做 M 点的极角，有序数对(,)叫做 M 点的极坐 标.(
5、见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； 极轴与 x 轴的正半轴重合 两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 sin cos y x )0( 222 x x y tg yx 三、知识点、能力点提示 (一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例 1 例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别 最短和最长. 解： 将圆的方程化为参数方程： （为参数） sin51 cos52 y x 则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos， 1+5sin)， 它 到
6、 所 给 直 线 之 距 离 d= 22 34 30sin15cos120 故当 cos(-)=1，即=时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为(6，4)； 当 cos(- )=-1, 即=-时，d 最短，这时，点 B 坐标为(-2，2). (二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 说明 说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现. 例 2 例 2 极坐标方程=所确定的图形是（ ） cossin32 1 A.直线 B.椭圆 C.双曲 D.抛物 线 解： = ) 6 sin(1 2 1 1 )cos 2 1 2 3 (1 2 1 (三)综合例题赏析(
7、三)综合例题赏析 例 3 例 3 椭圆 （ ）的两个焦点坐标是是参数)( sin51 cos3 y x A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5) C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1) 解：化为普通方程得1 25 ) 1( 9 )3( 22 yx a2=25,b2=9,得 c2,c=4. F(x-3,y+1)=F(0,4) 在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选 B. 例 4例 4 参数方程 表示)20( )sin1 ( 2 1 2 sin 2 cos y x A.双曲线的一支， 这支过点(1，)B.抛物线的一部分， 这
8、部分过(1，) 2 1 2 1 C.双曲线的一支， 这支过(-1，)D.抛物线的一部分， 这部分过(-1， 2 1 2 1 ) 解：由参数式得 x2=1+sin=2y(x0) 即 y=x2(x0). 2 1 应选 B. 例 5 例 5 在方程(为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( ) cos sin y x A.(2,-7) B.（，） C.(，) D.(1， 0) 3 1 3 2 2 1 2 1 解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2 将 x=代入，得 y= 2 1 2 1 应选 C. 例 6 例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( ) A.
9、 B.C. D. ty tx ty tx 2 cos cos t t y tgtx 2cos1 2cos1 t t y tgtx 2cos1 2cos1 解：普通方程 x2-y 中的 xR，y0，A.中 x=t0，B.中 x=cost-1,1 ，故排 除 A.和 B. C.中 y=ctg2t=，即 x2y=1，故排除 C. t t 2 2 sin2 cos2 22 11 xttg 应选 D. 例 7 例 7 曲线的极坐标方程=sin化 成直角坐标方程为( ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 解 ： 将=，sin=代入
10、=4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4. 22 yx 22 yx y 应选 B. 例 8 例 8 极坐标=cos()表示的曲线是( ) 4 A.双曲线 B.椭圆C.抛物线 D.圆 解：原极坐标方程化为=(cos+sin)=cos+sin， 2 1 2 2 普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.2 应选 D. 例 9 例 9 在极坐标系中，与圆=4sin相切的条直线的方程是( ) A.sin=2 B.cos=2 C.cos=-2 D.cos=-4 例 9 图 解：如图. C 的极坐标方程为=4sin，COOX,OA 为直径，OA=4,l 和圆相切， l 交极轴于 B(2
11、，0)点 P(,)为 l 上任意一点，则有 cos=，得cos=2， 2 OP OB 应选 B. 例 10 例 10 4sin2=5 表示的曲线是( ) 2 A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物 线 解：4sin2=54 2 . 5 cos22 2 1cos 把= cos=x，代入上式，得 22 yx 2=2x-5. 22 yx 平方整理得 y2=-5x+.它表示抛物线. 4 25 应选 D. 例 11 例 11 极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是( ) A.两条射线 B.两条相交直线C.圆 D.抛物 线 解：由 4sin2=3,得 43,即 y2=3 x2，y=,它表示两相交直线.
12、 22 2 yx y x3 应选 B. 四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程cos=表示( ) 3 4 A.一条平行于 x 轴的直线 B.一条垂直于 x 轴的直线 C.一个圆 D.一条抛物线 2.直线：3x-4y-9=0 与圆：的位置关系是( )( ,sin2 cos2 为参数 y x A.相切 B.相离C.直线过圆心 D.相交但直 线不过圆心 3.若(x，y)与(，)(R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列 各组曲 线：=和 sin=；=和 tg=，2-9=0 和= 3； 6 2 1 6 3 3 ty tx ty tx 3 22 2 1 3 2 2 2 和 其中表示
13、相同曲线的组数为( ) A.1 B.2C.3 D.4 4.设 M(1， 1)， N(2， 2)两点的极坐标同时满足下列关系 ： 1+2=0 ， 1+ 2=0， 则 M，N 两点位置关系是( ) A.重合 B.关于极点对称C.关于直线= D.关于极轴 2 对称 5.极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是( ) A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线 6.经过点 M(1， 5)且倾斜角为的直线， 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程 3 是( ) A B.C. D. ty tx 2 3 5 2 1 1 ty tx 2 3 5 2 1 1 ty tx 2 3 5 2 1 1 tx
14、 ty 2 1 5 2 3 1 7.将参数方(m 是参数，ab0)化为普通方程是( ) 22 22 22 2 2 2 2 mm m by mm mm ax A. B.)( 1 2 2 2 2 ax b y a x )( 1 2 2 2 2 ax b y a x C. D.)( 1 2 2 2 2 ax b y a x )( 1 2 2 2 2 ax b y a x 8.已知圆的极坐标方程=2sin(+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( ) 6 A.(1,),r=2 B.(1,),r=1C.(1, ),r=1 D.(1, - 3 6 3 ),r=2 3 9.参数方程 (t 为参数)所表示的曲线是( ) 2 1 y t tx A.一条射线 B.两条射线C.一条直线 D.两条 直线 10.双曲线 (为参数)的渐近线方 程为( ) sec21 2 y tgx A.y-1= B.y=C.y-1= D.y+1=)2( 2 1 xx 2 1 )2(2x )2(2x 11.若直线( (t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切， 则直线的倾斜角为( ) bty atx4 A. B.C. 或 D. 或 3 3 2 3 3 2 3 3 5 12.已知曲线 (t 为参数)上的
