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1、1 高等数学高等数学 高中公式高中公式 三角函数公式三角函数公式 和差角公式和差角公式 和差化积公式和差化积公式 sin()sincoscossin cos()coscossinsin () 1 1 () tgtg tg tgtg ctgctg ctg ctgctg sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos-2sinsin 22 积化和差公式积化和差公式 倍角公式倍角公式 1 sin cossin() sin() 2 1 cos sinsin() sin() 2 1 cos coscos() cos() 2 1 sin
2、sincos() cos() 2 2 22 2 22 2 2 2 3 3 3 2 2tan sin22sincos 1 tan cos22cos1 1 2sin 1 tan cossin 1 tan 21 2 2 12 sin33sin4sin cos34cos3cos 3 3 1 3 tgctg tgctg tgctg tgtg tg tg 半角公式半角公式 1 cos1 cos sin cos 2222 1 cos1 cossin 21 cossin1 cos 1 cos1 cossin 21 cossin1 cos tg ctg 11 V=SH V=SH V=H(S+S ) 33 SS
3、棱柱棱锥棱台 球的表面积：4R2 球的体积： 3 4 3 R 椭圆面积：ab 椭球的体积：4 3 abc 第第 1 章章 极限与连续极限与连续 1.1 集合、映射、函数集合、映射、函数 空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界， 上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界 确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。 映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量， 因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限数列的极限 性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛
4、于 a，则其任何子列也收敛于 a。 注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数， 仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列xn有两个子列xp,xq均收敛于 a，且这两个子列合起来 就是原数列，则原数列也收敛于 a。 注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列xn收敛于 a，则改变xn中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若lim ,lim nn nn xayb ，且 aN 时，有 xnN 时，xnynzn，且 lim n xn= lim n zn=a, 则
5、lim n yn=a。 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。 注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 3.柯西收敛准则：数列xn收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ，都存 在正整数 N ，使得当 m，nN 时，有|xm-xn|0, 0, x,x 0 (, ) o U x , 有|f(x)-f(x)|0(0)时，x0必为 f(x)的极小 (大)值点。 3.设函数 f(x)在点 x0处有 n 阶导数，且 (1) 000 ()().()0 n f xf xfx ， 但 ( ) 0 ()0 n fx ，则(i)当 n 为偶数时，f(x)在点 x0处取极值，当 ( ) 0 ()0 n fx 时 取极
6、小值，当 ( ) 0 ()0 n fx 时取极大值；(ii)当 n 为奇数时 f(x0)不是极值。 3.4 函数作图函数作图 定理：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在a,b 上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增） 。 2. f(x1)+ (1-)x2) f(x1)+(1-) f(x2), (0,1). 3. f(x0)()0. 若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。 拐点的必要条件：f(x0)=0 或 f(x0)不存在。 拐点的充要条件：f(x)经过时变号。 渐近线：1.垂直渐
7、近线：x=a 是垂直渐近线 0 lim xa 或 0 lim xa . 3 2.斜渐近线：f(x)=ax+b, ( ) lim,lim( ( ) xx f x abf xax x 或 ( ) lim,lim( ( ) xx f x abf xax x （水平渐近线为其特例） 。 函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。 第第 4 章章 积分积分 4.1 不定积分不定积分 4
8、.1.1.基本积分表基本积分表 1 111 ln| 1ln sincoscossin tanln|cos |cotln|sin | secln|sectan | cscln|csccotln|csccotln|tan xx x dxxCdxxCa dxaC xa xdxxCxdxxC xdxxCxdxxC xdxxxC x xdxxxCxxC 22 2 2 | 2 sectancsccot tan secseccsc cotcsc 1 arcsinarccos 1 1 arctanarccot 1 C xdxxCxdxxC xxdxxCxxdxxC dxxCxC x dxxCxC x 或 或
9、22 22 22 22 22 22 22 22 2 2222 2222 111 arctanarcsin 111 ln|ln| 2 111 ln|ln() 2 arcsin 22 2 xx dxCdxC axaaa ax ax dxCdxxxaC axaax xa xa dxCdxxxaC xaaxa xa xax ax dxaxC a x xa dxxa 2 22 2 222222 22 22 ln 2 ln() 22 cos( cossin) sin( sincos) ax ax ax ax a xxaC xa xa dxxaxxaC e ebxdxabxbbxC ab e ebxdxab
10、xbbxC ab 不可积的几个初等函数： 2 22 1sincos sincos ln x xx exx xxx 4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法 换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。 分部积分法： ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx 4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数有理函数 ( ) ( ) ( ) P x R x Q x 的积分可以归结为下列四种简单分式的积分： （1） A dx xa ； （2） A ()n
11、dx xa ； （3） 2 Mx+N dx xpxq ； （4） 2 Mx+N ()n dx xpxq 1 2222212 123 ()2(1) ()2(1) nn nn dxxn II xaa nxaa n 三角函数有理式三角函数有理式的积分一般用万能代换tan 2 x t ，对于如下 形式可以采用更灵活的代换： 对于积分 22 (sin,cos)Rxx dx ，可令 tanx=t； 对于积分 (sin )cosRxxdx ，可令 sinx=t； 对于积分 (cos )sinRxxdx ，可令 cosx=t，等等。 某些可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 1. ( ,) n axb R
12、 xdx cxd 型积分，其中 n1，其中 ad bc。 这里的关键问题是消去根号，可令axb t cxd 。 2. 2 ( ,R xaxbxcdx 型 积 分 , 其 中 2 40bac ， a 0 。 由 于 2 22 2 4 () 24 bacb axbxca x aa ，故此类型积分可以化为以下三种类型： 22 ( ,)R ukudx ，可用三角替换 sinukt ； 22 ( ,)R uukdx ，可用三角替换secukt； 22 ( ,)R uukdx ，可用三角替换tanukt。 1 2 1 tantan 1 nn nn IxdxxI n 倒代换： 2 4 1 1 x dx x
13、， 2 4 1 1 x dx x ， 由此还可以求出 4 1 1 dx x ， 2 4 1 x dx x 22 11 sincos ,(0) sincos axbx dx ab axbx 解：设 11 sincos( sincos )( cossin )axbxA axbxB ax bx ，为此应有 1 1 aA bBa bAaBb ，解得 1111 2222 , aabbabba AB abab ，故 11 sincos( sincos ) sincossincos axbxaxbx dxA dxBdx axbxaxbx 1111 2222 ln|sincos| aabbabba xaxbx
14、C abab 4.2 定积分定积分 4.2.1.可积条件可积条件 可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间a,b上可积，则 f(x)在a,b上有界。 可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算定积分的计算 1.换元积分法 ( )( ( )( ) b a f x dxftt dx 从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类 换元积分法。 2.分部积分法 ( ) ( )( ) ( )|( ) ( ) bb b a aa u x v x dxu x v xu x v x dx 常见的积分和式 1 1 () () ( )lim(
15、) (1)() () ( )lim() n b an i n b an i i baba f x dxf a nn ibaba f x dxf a nn 4 1 0 1 1 lim( )( ) n n i i ff x dx nn 22 00 2 00 2 000 (sin )(cos ) (sin )2(sin ) (sin )(sin )(sin ) 2 fx dxfx dx fx dxfx dx xfx dxfx dxfx dx 22 2 00 1 sincos, nn nnn n Ixdxxdx II n 使用分部积分法的常见题型： 被积函数的形式 所用方法 ( ) ,( )sin ,( )cos x nnn P x e P xx P xx 进 行 n 次 分 部 积 分 ， 每 次 均 取 ,sin,cos x exx 为 ( )vx ( )ln ,( )sin ,( )arct
