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1、1 1：相似三角形模型1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型一：相似三角形判定的基本模型 （一）（一）A 字型、反字型、反 A 字型（斜字型（斜 A 字型）字型） A B C D E CB A D E （平行）（不平行） （二）（二）8 字型、反字型、反 8 字型字型 JO A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型（三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型：（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角 形的底角相等
2、的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 为背景，一个与等腰三角 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 2 （五）一线三直角型：（五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似， 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑
3、通过添加辅助线构造完整的三直角型相似， 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型：（六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由 A 字型旋转得到8 字型拓展 CB ED A G A B C E F 共享性 一线三等角的变形 3 一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形（1）母子型相似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E 求证：OEOAOC 2 例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线
4、 AD 上, ABCDEB 求证：（1）； （2） DADEDB 2 DACDCE AC D E B 例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F 求证：EGEFBE 2 1、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FCFBFD 2 4 2、已知 ： AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延 长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD; (2)ND =NCNB 2 3、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，
5、E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。 求证：EBDF=AEDB 4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中 点。 求证： GBM90 G M F E H D C B A 5 已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PDAB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、 C 都不重合） ， E 是射线 DC 上一点， 且EPD=A 设 A、 P 两点的距离为 x， BEP 的面积为 y （1）求证：AE=2PE； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （
6、3）当BEP 与ABC 相似时，求BEP 的面积 AC B P DE 5 （2）双垂型（2）双垂型 1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED D E A BC 2、 如图， 已知锐角ABC， AD、 CE 分别是 BC、 AB 边上的高， ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3， DE=6 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。2 E D A BC （3）共享型相似三角形（3）共享型相似三角形 1、ABC 是等边三角形，DBCE 在一条直线上,DAE=120,已知 BD=1，CE=3，求等边三
7、角形的边长. A BC D E 2、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=45 求证：（1）ABEACD； （2）CDBEBC 2 2 E D C A B (4)一线三等角型相似三角形(4)一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60 （1）求证：BDECFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE C A DB E F 6 例 2：（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合） ，且ABC5 ACAB8BCPQCBACPCB 保持.ABCAPQ 若点在线段上（如图） ，且，求线段的长；PCB6BPCQ 若，求与之间
8、的函数关系式，并写出函数的定义域；xBP yCQ yx A BC P Q （2）正方形的边长为（如下图） ，点、分别在直线、上（点不与点、点重ABCD5PQCBDCPCB 合） ，且保持.当时，求出线段的长.90APQ1CQBP A BC D 例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2 （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC 求 AP 的长 （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE 交直线 BC 于点 E， 同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在 DC 的延长线上时，
9、设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 当 CE1 时，写出 AP 的长 C B AD C D A B P 例 4： 如图， 在梯形中， 点为边的中点， 以ABCDADBC6ABCDBC3AD MBCM 为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结EMFB MEABEMFCDFEF （1）求证：；MEFBEM （2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；BEMBMEF A BC D A BC 7 （3）若，求的长EFCDBE 1、如图，在ABC 中，是边上的一个动点，点在边上，且8 ACAB10BCDBCEAC CADE (1) 求证：ABDDCE； (2) 如果，求
10、与的函数解析式，并写出自变量的定义域；xBD yAE yxx (3) 当点是的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由DBC A BC D E 2、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE， 并作，射线 EF 交线段 AC 于 FDEFB （1）求证：DBEECF； （2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长 F B A C D E 3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中
11、点 （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F， 同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的xyyx 定义域； 8 当时，求 BP 的长 BEPDMF SS 4 9 E D CB A P 4、 如图， 已知边长为的等边， 点在边上， 点是射线上一动点， 以线段 3ABCFBC1CF EBAEF 为边向右侧作等边，直线交直线于点， EFG ,EG FG AC ,M N （
12、1）写出图中与相似的三角形； BEF （2）证明其中一对三角形相似； （3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ,BEx MNyy xx （4）若，试求的面积 1AE GMN (5)一线三直角型相似三角形(5)一线三直角型相似三角形 例例 1、 已知矩形 ABCD 中， CD=2， AD=3， 点 P 是 AD 上的一个动点， 且和点 A,D 不重合， 过点 P 作，CPPE 交边 AB 于点 E,设，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。yAExPD , E BC AD P 例例 2、在中，是 AB 上的一点，且ABCOBCACC, 3, 4,90 o ，
13、点 P是 AC上的一个动点，交线段 BC于点 Q，（不与 5 2 AB AO OPPQ 点 B,C重合） ， 设， 试求关于 x 的函数关系， 并写出定义yCQxAP ,y 域。 Q C BA O P 9 F A B C D E 1.在直角中，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，ABC 4 3 tan, 5,90BABC o 交射线 AC 于点 FDEDF （1） 、求 AC 和 BC 的长 （2） 、当时，求 BE 的长。BCEF / （3） 、连结 EF,当和相似时，求 BE 的长。DEFABC F D C B A E 2.在直角三角形 ABC 中，是 AB 边上的一点
14、， E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A, CDBCABC,90 o 不重合） ，与射线 BC 相交于点 F.DFDEDF, (1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE (2)、当，求的值m DB AD DF DE （3） 、当，设,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域 2 1 , 6 DB AD BCACyBFxAE , F A B C D E 3.如图，在中，是边的中点，为边上的一个动ABC90C6AC 3 tan 4 B DBCEAB 点，作，交射线于点设，的面积为90DEFEFBCFBExBEDy （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；yxx （2）如果以、为顶点的三角形与相似，求的面积.BEFBEDBED F D C B A E 10 Q P DC B A 4.如图,在梯形中，, ，是腰ABCDCDAB 3 4 tan, 4, 2CADABPDABADC,900BC 上一个动点(不含点、),作交于点.(图 1)BCAPPQ CDQ (1)求的长与梯形的面积；BCABCD (2)当时,求的长；(图 2)DQPQ BP (3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.yCQxBP ,yx Q P DC B A
