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1、1 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 一知识网络结构：一知识网络结构： 繁琐）利用两点间距离公式（ 易）利用一般弦长公式（容 弦长问题直线与圆锥曲线相交的 系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有 位置关系主要适用于直线与圆的几何角度 关系直线与圆锥曲线的位置 直线与圆锥曲线 )( . 1 2.直线与圆锥曲线的位置关系： .从几何角度看 ： （特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点 ； 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 .从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。0 2 cbxax . 若
2、=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合；a 当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。 .若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。0aacb4 2 a0 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。00 二常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：二常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 例 1.椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）1 416 22 yx 022yx A.3 B. C. D.112210 例 2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）1 936 22 yx )2 , 4
3、( A. B. C. D.02yx042yx01232 yx082yx 题型二：直线与双曲线的位置关系：题型二：直线与双曲线的位置关系： 例 3.已知直线与双曲线=4。1: kxyL 22 :yxC 若直线与双曲线无公共点，求 k 的范围；若直线与双曲线有两个公共点，求 k 的范围；LCLC 若直线与双曲线有一个公共点，求 k 的范围 ； 若直线与双曲线的右支有两个公共点，求 k 的LCLC 范围；若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求 k 的范围。LC 2 题型三：直线与抛物线的位置关系：题型三：直线与抛物线的位置关系： 例 4.在抛物线上求一点 P，使 P 到焦点 F 与 P 到点的距离之
4、和最小。xy2 2 )2 , 3(A 题型四：弦长问题：题型四：弦长问题： 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数 的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则=k斜率为 11 y,xA 22 y,xBAB = 2 k1 21 xx 2 k1 21 2 21 4xxxx = 2 1 1 k 21 yy 2 1 1 k 21 2 21 4yyyy 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之 和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。 例 5.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于 A、B
5、 两点，求。1 63 22 yx 2 F 0 30AB 3 题型五：中点弦问题：题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： .点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的 方程； .设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于 x（或 y）的一元二次方程，用根与 系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率 k，然后写出弦的方程； .设弦的两个端点分别为，则这两点坐标分别满足曲线方程，又为 2211 ,yxyx 2 , 2 2121 yyxx 弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方
6、程。 例 6.已知双曲线方程=2。求以 A为中点的双曲线的弦所在的直线方程； 22 2yx 1 , 2 过点能否作直线 L，使 L 与双曲线交于，两点，且，两点的中点为？如果存在， 1 , 1 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 , 1 求出直线 L 的方程；如果不存在，说明理由。 题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题： 例 7.在抛物线上求一点，使它到直线 L：的距离最短，并求这个最短距离。xy64 2 04634 yx 4 练 习 题练 习 题 1.（09 上海）1.（09 上海）过点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则)0 , 1 (A 4 2
7、 2yxMN、MN = 。 写出所涉及到的公式：写出所涉及到的公式： 2.（09 海南）2.（09 海南）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点， 若为的中点，则抛物线 C 的方程为 。2,2PAB 3.（08 宁夏海南）3.（08 宁夏海南）过椭圆的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标 22 1 54 xy 原点，则OAB 的面积为 4.（11 全国）4.（11 全国）已知直线 L 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，L 与 C 交于 A，B 两点，| 12AB P 为 C 的准线上一点，则的
8、面积为（ ）ABP A18 B24 C 36 D 48 5.（09 山东）5.（09 山东）设斜率为 2 的直线 过抛物线的焦点 F,且和轴交于点 A,若OAF(O 为坐l 2 (0)yaxay 标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D. 2 4yx 2 8yx 2 4yx 2 8yx 6.（09 山东）6.（09 山东）设双曲线的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率1 2 2 2 2 b y a x 2 为( ).A. B. 5 C. D. 4 5 2 5 5 7.（10 全国）7.（10 全国）设,分别是椭圆 E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线 L 与 E 相交 1 F 2 F 2 x 2 2 y b 1 F 于 A、B 两点，且，成等差数列。求若直线 L 的斜率为 1，求 b 的值。 2 AFAB 2 BFAB 8.（11 江西）8.（11 江西） 已知过抛物线的焦点， 斜率为的直线交抛物线于02 2 ppxy22 12 ,A x y 22 ,B xy （）两点，且求该抛物线的方程；为坐标原点，为抛物线上一点，若 12 xx9ABOC ，求的值OBOAOC
