《数列的极限知识点 方法技巧 例题附和作业题--修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的极限知识点 方法技巧 例题附和作业题--修订编选（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列的极限数列的极限 一、知识要点一、知识要点 1数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于n n a n a 某个常数（即|ana|无限地接近于 0） ，那么就说数列以为极限记作a n aalim n n aa （注：a 不一定是an中的项） 2几个重要极限： （1） （2）（C 是常数）0 1 lim n n CC n lim （3） 1, 1 1, 1 10 lim aa a a an n 或不存在， （4） )( )( )(0 lim 0 0 1 1 10 1 1 10 ts ts b a ts bnbnbnb ananana ss ss tt tt n 不存
2、在 3. 数列极限的运算法则: 如果那么,lim,limBbAa n n n n BAba nn n )(limBAba nn n )(lim BAba nn n .).(lim )0(lim B B A b a n n n 4无穷等比数列的各项和 公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和， 当 n 无限增大时的极限， 叫做这个 无穷等比数列各项的和，记做lim n n SS 1 lim,(0 | 1) 1 n n a SSq q 二、方法与技巧 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算 的数列都有极限，运算法则
3、适应有限个数列情形） 求数列极限最后往往转化为或型的极限.Nm nm 1 1qqn 求极限的常用方法： 分子、分母同时除以或. m n n a 求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. 利用已知数列极限（如等）.0 1 lim,10lim n qq n n n 含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ,00,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 0 0 题型讲解题型讲解 例例 1 求下列式子的极限： ； ； ； ; n n n ) 1( lim n lim 1 123 2 2 n nn n lim 1 12 2 n n n lim 75 72 2 2 n nn （2） （
4、n）;（3）（+） n limnn 2 n lim 2 2 n 2 4 n 2 2 n n 例例 2 的（ ）BAbaBbAa nn n n n n n limlim,lim是 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 例例 3 数列an和bn都是公差不为 0 的等差数列，且=3,求的 n n n b a lim n n n nb aaa 2 21 lim 值为 例例4求 （a0); nn nn n aa aa lim 例例5已知,求实数 a,b 的值;1) 1 1 (lim 2 ban n n n 例6例6已知等比数列an的首项为 a1,公比为 q,
5、且有（qn）=,求 a1的取值范围 n lim q a 1 1 2 1 例例 7 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足 lganlgan1lgc，其中 n 是大 于 1 的整数，c 是正数 （1）求数列an的通项公式及前 n 和 Sn； （2）求的值 n lim 1 1 2 2 n n n n a a 数列极限课后检测 1下列极限正确的个数是（ ） =0（0） qn=0 =1 C=C（C 为常数） n lim n 1 n lim n lim nn nn 32 32 n lim A2B3 C4 D都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ） A若an2A2，则anA B若 an0，anA，
6、则 A0 n lim n lim n lim C若anA，则an2A2 D若（anb）0，则anbn n lim n lim n lim n lim n lim 5若数列an的通项公式是 an=,n=1,2,则 （a1+a2+ 2 )23() 1(23 nnnnn n lim +an）等于（ ） A B C D 24 11 24 17 24 19 24 25 6数列an中,的极限存在，a1=,an+an+1=,nN*,则（a1+a2+an）等于 n a 5 1 1 5 6 n n lim （ ） A B C D 5 2 7 2 4 1 25 4 7=_ =_ n lim n n 21 2 n
7、lim 32 2 2 2 n nn n（1） （1） （1）（1） = n lim 3 1 4 1 5 1 2 1 n 8已知 a、b、c 是实常数，且=2, =3,则的值是（ ） n lim cbn can n lim bcn cbn 2 2 n lim acn can 2 2 9 an中 a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n,点（,）在直线 xy=0 上，则 n a 1n a3 =_ n lim 2 ) 1( n an 10等比数列an公比 q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,则 a1=_ 2 1 n lim 3 8 11已知数列an满足（n1）an+1=（n+1） （an1）且
8、 a2=6,设 bn=an+n（nN*） （1）求bn的通项公式；（2）求（+）的值 n lim 2 1 2 b2 1 3 b2 1 4 b2 1 n b 12已知an、bn都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2是 a2与 a3的等差中项,且 =, n lim n n b a 2 1 求极限 （+）的值 n lim 11 1 ba 22 1 ba nnb a 1 例题解析答案例题解析答案 例例 1 分析：的分子有界，分可以无限增大，因此极限为 0； ( 1)n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； 1 123 2 2 n nn 的分子次数小于于分母次数，极限为
9、 0 n lim 1 12 2 n n 解：； ； ( 1) lim0 n n n 2 2 2 2 21 3 321 limlim3 1 1 1 nn nn nn n n n lim 2 2 2 21 21 limlim0 1 1 1 nn n nn n n 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在； 分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分 子分母同除以 n2后再求极限 ； （5）因与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限 ；nn 2 （6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 解:（1）= n lim 75 72 2 2 n nn n
10、 lim 2 2 7 5 71 2 n nn 5 2 （2） （n）= = n limnn 2 n lim nnn n 2n lim 1 1 1 1 n 2 1 （3）原式=（1+）=1 n lim 2 2642 n n n lim 2 ) 1( n nn n lim n 1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n )75(lim )72(lim 2 2 n nn n n n lim 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限 n lim 对于 （2）要避免出现下面两种错误 ： （n） = n= n limnn 2 n limnn 2 n lim =0;原式=n=不存在 n
11、 limnn 2 n lim 对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0 这样的错误 n lim 2 2 n n lim 2 4 n n lim 2 2 n n 例例 2 B 例例 3 数列an和bn都是公差不为 0 的等差数列，且=3,求的 n n n b a lim n n n nb aaa 2 21 lim 值为 解：由=3d1=3d2 ， n n n b a lim = 点评：化归思想 n n n nb aaa 2 21 lim 2 1 21 11 4) 12( 2 ) 1( lim d d dnbn d nn na n 4 3 例例 4 求 （a0); nn nn n aa aa
12、lim 解：=点评：注意分类讨论 nn nn n aa aa lim ).10(1 1 1 lim ),1(0 ),1(1 1 1 1 1 lim 2 2 2 2 a a a a a a a n n n n n n 例例 5 已知,求实数 a,b 的值;1) 1 1 (lim 2 ban n n n 解：=1， 1 1)()1 ( lim 2 n bnbana n a=1,b=1 1)( 01 ba a 例例 6 已知等比数列an的首项为 a1,公比为 q,且有（qn）=,求 a1的取值范围 n lim q a 1 1 2 1 解: （qn）=, n lim q a 1 1 2 1 qn一定存
13、在0|q|1 或 q=1 n lim 当 q=1 时，1=,a1=3 2 1 a 2 1 当 0|q|1 时，由（qn）=得=,2a11=q n lim q a 1 1 2 1 q a 1 1 2 1 0|2a11|10a11 且 a1 2 1 综上,得 0a11 且 a1或 a1=3 2 1 例例 7 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足 lganlgan1lgc，其中 n 是大 于 1 的整数，c 是正数 （1）求数列an的通项公式及前 n 和 Sn； （2）求的值 n lim 1 1 2 2 n n n n a a 解:（1）由已知得 anan1, an是以 a13，公比为 c
14、 的等比数列，则 an3n1 Sn ).10( 1 )1 (3 ) 1(3 cc c c cn n 且 （2） n lim 1 1 2 2 n n n n a a n lim nn nn c c 32 32 11 当 c=2 时，原式; 4 1 当2 时，原式; n lim c c c n n 3) 2 (2 3) 2 ( 1 1 c 1 当 02 时，原式= n lim 1 1 ) 2 (32 ) 2 (31 n n c c c 2 1 点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B 3解析:排除法，取 an（）n，排除 A； 取 an，排除；取 anbnn，排除 D答案
15、:C n 1 5 解析:an=即 an= ),( 2 2323 ),( 2 )23(23 为偶数 为奇数 n n nnnn nnnn ).3 ),(2 ( 为偶数 为奇数 n n n n a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+） （a1+a2+an）=+=答案:C n lim 4 1 1 2 1 31 3 21 2 2 2 2 1 9 1 1 9 1 . 24 19 6 解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an） +an=+ 5 1 +an原式=+an=（+an） 2 5 6 3 5 6 n 5 6 2 1 5 1 5 1 1 25 6 n lim 2 1 5 1 10 3 n lim an+an+1=,an+an+1=0an=0 答案:C 1 5
