小学数学工程问题及--修订编选

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1、工程问题工程问题 工程问题基本数量关系式： （1）一般公式： 工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量 工作时间工作效率 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般给出工作时间，就 可以知道工作效率为, 工作时间 1 1单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出工作效率是，就 a 1 可以知道工作时间为 a. 一、两个人的问题一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例例 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由 乙继

2、续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ . 例例 2 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做 了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ . 例例 3 某工程先由甲独做 63 天， 再由乙单独做 28 天即可完成 ； 如果由甲、 乙两人合作， 需 48 天完成.现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ . 例例 4 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休 息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 例例 5

3、 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在他们两队一起做，其间 甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？ 例例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完 成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项 工作都完成最少需要多少天？ . 例例 7 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合作，他 要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 例例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效

4、率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 二、多人的工程问题二、多人的工程问题 我们说的多人，至少有 3 个人，当然多人问题要比 2 人问题复杂一些，但是解题的基 本思路还是差不多. 例例 9 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作 要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 例例 10 一件工作， 甲独做要 12 天， 乙独做要 18 天， 丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若 干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是 乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多

5、少天？ 例例 11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成.如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天， 或者由甲、乙两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 例例 12 某项工作，甲组 3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙 组 7 人合作多少时间能完成这项工作？ 例例 13 制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成. 乙车间与丙车间一起做，需要 8 天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙 车间多制作零件 2400 个.问丙车间制作了多少个零件？ . 例例 14 搬运一个仓库的货物，

6、甲需要 10 小时， 乙需要 12 小时， 丙需要 15 小时.有同样的仓 库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向 帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 三、水管问题水管问题 从数学的内容来看， 水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程， 注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又 有排出的问题， 不过是工作量有加有减罢了.因此， 水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例例 15 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙

7、管， 经过 3 分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是 多少立方米？ 例例 16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间 的 1/3， 再把打开的水管增加一倍， 就能按预定时间注满水池， 如果开始时就打开 10 根水管， 中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？ 例例 17 蓄水池有甲、 丙两条进水管， 和乙、 丁两条排水管.要灌满一池水， 单开甲管需 3 小时， 单开丙管需要 5 小时.要排光一池水，单开乙管需要 4 小，丁管需要 6 小时，现在水池内有 六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲

8、、乙的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后 水开始溢出水池？ 例例 18 一个蓄水池， 每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头， 2 小时半就把水池水放空， 如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能 把水放空？ 例例 19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开 A 管，8 小时可 将满池水排空，打开 C 管，12 小时可将满池水排空.如果打开 A，B 两管，4 小时可将水排空. 问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？ . 例例 20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草 ； 21头牛9星期吃

9、完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子. 例例 21 画展 9 点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人 数一样多.如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就 没有人排队.问第一个观众到达时间是 8 点几分？ 例例 22.一件工作， 如果甲单独做， 那么甲按规定时间可提前 2 天完成， 乙则要超过规定时间 3 天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二 人合作，完成工作需多长时间？

10、例例 1 答：乙需要做 4 天可完成全部工作. 解二 ： 9 与 6 的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18 份.甲每天完成 2 份， 乙每天完成 3 份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了 3 天，相当于乙做了 2 天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天） 例例 2 解：共做了 6 天后， 原来，甲做 24 天，乙做 24 天， 现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天. 这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 如果甲独做，所需时

11、间是 答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天 例例 3 解：先对比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天； 甲做 48 天，乙做 48 天. 就知道甲少做 63-48=15（天） ，乙要多做 48-28=20（天） ，由此得出甲的 甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天） ，相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 （天）. 答：乙还需要做 56 天 例例 4 解一：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了 11 天. 解二：设全部工作量为

12、30 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲队单独做 8 天， 乙队单独做 2 天之后，还需两队合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 解三：甲队做 1 天相当于乙队做 3 天. 在甲队单独做 8 天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做 23=6 （天）.乙队单独做 2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中 3 天可由甲队 1 天完成，因此两队只需再合作 1 天. 例例 5 解一：如果 16 天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙

13、队休息了 5 天半. 解二：设全部工作量为 60 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲队做 2 天，相当于乙队做 3 天. 甲队休息 3 天，相当于乙队休息 4.5 天. 如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队 4 天工作量，相当于乙队 6 天工作量，乙休息天 数是 16-6-4.5=5.5（天）. 例例 6 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲， 张先做乙. 设乙的工作量为 60 份（15 与 20 的最小公倍

14、数） ，张每天完成 4 份，李每天完成 3 份. 8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要 12 天解：设这项工程的工作量为 30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份. 两人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在 8 天内完成， 所以两人合作的天数是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 解：乙 6 小时单独工作完成的工作量是 乙每

15、小时完成的工作量是 两人合作 6 小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要 33 小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计 算简便.例 8 就是如此.例 8 也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 解：设这件工作的工作量是 1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要 90 天完成. 例 9 也可以整数化，设全部工作量为 180 份，甲、乙合作每天完成 5 份，乙、丙合作每天 完成 4 份，甲、丙合

16、作每天完成 3 份.请试一试，计算是否会方便些？ 解：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 32=6（天）. 说明甲做了 2 天，乙做了 23=6（天） ，丙做 26=12(天） ，三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了 20 天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72.可 设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了 解：丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍） ， 甲、乙合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙 的工作效率的 3 倍. 他们共同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要 26 天. 事实上， 当我们算出甲、 乙、 丙三人工作效率之比是 321， 就知甲做 1 天， 相当于乙、 丙合作 1 天.三人合作需 13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可