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1、1.如图，直线与轴，轴分别相交于点，点，经过两点的抛物线3yx xyBCBC， 与轴的另一交点为，顶点为，且对称轴是直线 2 yaxbxcxAP2x （1）求点的坐标；A （2）求该抛物线的函数表达式； （3）连结请问在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与ACxQPBQ， ， 相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由ABCQ 解 直线与轴相交于点，当时，3yx xB0y 3x 点的坐标为 又抛物线过轴上的两点，B(3 0)，xAB， 且对称轴为，根据抛物线的对称性，点的坐标为 2x A(10)， （2）过点，易知， 3yx C(0 3)C ，3c 又抛物线过点， 2 yaxbxc
2、(10)(3 0)AB， 解得 30 9330 ab ab ， 1 4 a b ， 2 43yxx （3）连结，由，得，PB 22 43(2)1yxxx(21)P， 设抛物线的对称轴交轴于点，在中，xMRtPBM1PMMB 由点易得，452PBMPB ， (3 0)(0 3)BC，3OBOC 在等腰直角三角形中，由勾股定理，得OBC45ABC 3 2BC 假设在轴上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似xQPBQ， ，ABC 当，时， BQPB BCAB 45PBQABC PBQABC 即，又，点与点重合，的坐标是 2 23 2 BQ 3BQ3BO QO 1 Q(0 0)， 当，时， QBPB
3、ABBC 45QBPABC QBPABC A B C P O x y 2x A B C P O x y 2x 即， 2 23 2 QB 2 3 QB 27 33 33 OBOQOBQB， 的坐标是 2 Q 7 0 3 ， 18045135135PBxBACPBxBAC ， 点不可能在点右侧的轴上QBx 综上所述，在轴上存在两点，能使得以点为顶点的三角x 12 7 (0 0)0 3 QQ ，PBQ， ， 形与相似。ABC 2.（河南卷）二次函数的图象如图所示，过轴上一点的直线与抛物线 2 1 8 yxy0 2M， 交于，两点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，ABAByCD （1）当点的横坐标为
4、时，求点的坐标；A2B （2）在（1）的情况下，分别过点，作轴于，轴于，在ABAExEBFxFEF 上是否存在点，使为直角若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；PAPBP （3）当点在抛物线上运动时（点与点不重合） ，求的值AAOAC BD 解 （1）根据题意，设点的坐标为，其中点的横坐标为，B 2 1 8 xx ，0 x A2 轴，轴， 1 2 2 A ，ACyBDy0 2M，ACBD 3 2 MC 即 2 1 2 8 MDxRtRtBDMACM BDMD ACMC 2 1 2 8 3 2 2 x x 解得（舍去） ， 1 2x 2 8x 88B， （2）存在 连结，APBP 由（1）
5、，设，则 1 2 AE 8BF 10EF EPa10PFa 轴，轴，AExBFx90APB AEPPFB 解得经检验均为原方程的解 AEEP PFBF 1 2 108 a a 521a 521a 点的坐标为或 P 3210， 3210， （3）根据题意，设，不妨设， 2 1 8 A mm ， 2 1 8 B nn ，0m 0n 由（1）知， BDMD ACMC 则或 2 2 1 2 8 1 2 8 n n m m 2 2 1 2 8 1 2 8 n n m m 化简，得160mnmn ，0mn 16mn 16AC BD 3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线与轴相交于点， 2 2yaxbxx 1
6、(0)A x， 2 (0)B x， ，且是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点 12 ()xx 12 xx， 2 230 xxCy （1）求的值ab， （2）分别求出直线和的解析式；ACBC （3） 若动直线与线段分别相交于两点， 则在轴上是(02)ymmACBC，DE，x 否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求PDEP 出点的坐标；P 解 （1）由，得 2 230 xx 12 13xx ， ， 把两 点 的 坐 标 分 别 代 入( 10)(3 0)AB ，AB， 2 1 1 2 3 4 3 2 1 x y 联立求解，得 2 2yaxbx 24 33 ab ， （2）由（1）可得，当时
7、， 2 24 2 33 yxx 0 x 2y (0 2)C， 设，把两点坐标分别代入，联立求得AC ykxb:AC，ykxb 直线的解析式为 22kb，AC22yx 同理可求得直线的解析式是 BC 2 2 3 yx （3）假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为Pymy(0)Fm， 当为腰时，分别过点作轴于，作轴于，如图，则DEDE， 1 DPx 1 P 2 EPx 2 P 和都是等腰直角三角形， 1 PDE 2 P ED ， 12 DEDPFOEPm 21 4ABxx ，DEABCDECAB ，即解得 DECF ABOC 2 42 mm 4 3 m 点的纵坐标是，点在直线上，D 4 3 D
8、AC ，解得， 4 22 3 x 1 3 x 1 4 3 3 D ， ，同理可求 1 1 0 3 P ， 2(10) P ， 当为底边时，DE 过的中点作轴于点，如图，DEG 3 GPx 3 P 则， 3 DGEGGPm 由，CDECAB O x y D (0 2)C ， E F 1 P 2 P(3 0)B ， ( 10)A ， ym O x y D (0 2)C ， E F 2 P(3 0)B ， ( 10)A ， ym G 得，即，解得 DECF ABOC 22 42 mm 1m 同 1 方法求得， 13 11 22 DE ， 3 1DGEGGP ， 3 1 2 OPFGFEEG 3 1
9、0 2 P ， 结合图形可知， 222 33 24PDPEED， ，是，也满足条件 222 33 EDPDPE 3 DEPRt 3 1 0 2 P ， 综上所述，满足条件的点共有 3 个，即P 123 11 0(10)0 22 PPP ， ， 4.在矩形ABCD中，4AB ，2BC ，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建 立直角坐标系 然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转， 使点B落在y轴的E点上， 则C 和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图） （1）求经过BEG， ，三点的二次函数解析式； （2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长 （3）
10、设P为（1）的二次函数图象上的一点，BPEG，求P点的坐标 （1）解：由题意可知，4AEAB，2AGADBC (4 0)B ，(0 4)E ，( 2 0)G ， 设经过BEG， ，三点的二次函数解析式是(2)(4)ya xx 把(0 4)E ，代入之，求得 1 2 a 3 分 所求的二次函数解析式是： 2 11 (2)(4)4 22 yxxxx （2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形 FHGB，且6GB 直线4y 与二次函数图象的交点H的坐标为(2 4)H， 2EH G与BE，与H关于抛物线的对称轴对称， 22 422 5BHEG 四边形EGBH的周长 262 2 5 84 5 （3）设BP交y轴于MBPEG， :AB AGAMAE，即4:2:4AM 8AM ，于是(08)M， 设直线BM的解析式为ykxb 把(4 0)B ，(08)M，代入之， 得 40 8. kb b ， 解得 2 8. k b ， 28yx 组成方程组 2 28 1 4. 2 yx yxx ， 解得 6 20 x y ， 或 4 0. x y ， （此组数为B点坐标） 所求的P点坐标为( 6 20)P ， y x
