初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧-修订编选

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1、初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧 行程问题行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系， 求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、 相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人 （或事物） 的数量和运动方向上。 相遇 （相离） 问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相 离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向

2、运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地 相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是 两人共同走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B 两地的路程两地的路程(甲的速度乙的速度甲的速度乙的速度)相遇时间速度和相遇时间速度和相遇时间相遇时间 基本公式有： 两地距离=速度和相遇时间 相遇时间=两地距离速度和 速度和=两地距离相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在 C 地相遇，相遇后甲继 续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇

3、。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了 迅速解题。 相离问题相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题， 叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和） 。 基本公式有： 两地距离=速度和相离时间 相离时间=两地距离速度和 速度和=两地距离相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系： 相遇（相离）问题的基本数量关系：

4、速度和相遇（相离）时间相遇（相离）路程速度和相遇（相离）时间相遇（相离）路程 在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的， 这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追 上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们 也把它看作追及问题。 解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差， 从而求出追及时间。 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公 式求出第三者来达到解

5、题目的。 基本公式有： 追及（或领先）的路程速度差=追及时间 速度差追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题” ，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、 同向） ，出发的时间（同时、不同时） ，出发的地点（同地、不同地） 、运动的路线（封闭、不封闭） ， 运动的结果（相遇、相距多少、追及） 。 常用公式：常用公式： 行程问题基本恒等关系式：速度时间=路程，即 S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比； 时间一定的情况下，路程和速度成正比； 速度一定的情况下，路程和时间成正比。 相遇追及问题中符

6、号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。 流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。 行程问题常用比例关系式：路程比=速度比时间比，即 S1/S2=v1/v2t1/t2 电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）顺电梯运动所需时间 能看到的电梯级数=（人速电梯速度）逆电梯运动所需时间 2v1v2 往返运动问题核心公式：往返平均速度= - (其中 v1和 v2分别表示往返的速度) v1+v2 3S1+S2 两次相遇问题核心公式：单岸型 S= -； 两岸型 S=3S1-S2 （S 表示两岸的距离） 2 相向而行：相遇时间=距离速度之和 相背而行：相背距离=速度

7、之和时间 注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 环形运动的追击问题和相遇问题 ： 若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈 ； 若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。 解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此 时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。 分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。 理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。 （3）甲的速

8、度是 a，乙的速度是 b，在相同时间内，甲、乙一共行的 At+bt=s t=s/a+b S 甲=a*t=a*s/a+b S 乙=b*t=b*s/a+b 封闭路线中的行程问题封闭路线中的行程问题 解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、 时间三者之间的关系。 封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向 运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。 直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。 每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。 流

9、水行船问题流水行船问题 顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、 路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。 已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几 个数量关系： 船速：在静水中的速度 水速：河流中水流动的速度 顺水船速：船在顺水航行时的速度 逆水速度：船在逆水航行时的速度 船速+水速=顺水船速 船速水速=逆水船速 （顺水船速+逆水船速）2=船速 （顺水船速逆水船速）2=水速 顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速2 过桥问题过桥问题 一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其

10、车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道 的时间等关系的一类应用题。 解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长， 即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。 基本公式有： 桥长+车长=路程 平均速度过桥时间=路程 过桥时间=路程平均速度 奥数行程问题解题方法奥数行程问题解题方法 字体大小：大 - 中 - 小 luoyangxiao 发表于 11-10-27 10:39 阅读(788) 评论(0) 分类： 1、信心不足 有不少孩子往往一拿到行程问题的题目心里就发怵， 没有信心去把题目 解决。究其原因，主要是他们在平时做行程问题时选题的难度不适当，对一 些基本的

11、题目没能做到熟练掌握。 而现在学生们自己从一些参考书上找的练 习题难度不一、类型各异。这样的话，孩子自己很难在短期内把行程问题掌 握。 于是就造成了这样一种现象：感觉学了很长时间，也还是有很多题目不 会做。时间一长，自然孩子们就很难建立起足够的自信心。因此，同学们在 做行程问题时一定不要盲目的做那些难度很大的题目， 从简单的常规题目开 始， 一步一脚一印， 逐步建立自己的信心， 相信自己一定能够攻克行程问题。 作为家长，在指导孩子学习的时候要多鼓励他们，千万不能急于求成， 要谨慎的给孩子安排一些难度大的题目。 不要急于给孩子安排做一些竞赛题 或导引上的题目。一定要根据自己孩子的程度循序渐进的增

12、加难度。 2、耐心不够 行程问题很多题目的文字叙述比较其他题目要普遍的长一些， 这样对于 小学生来讲，去理解题意也就增加了难度。因而多数孩子都不愿读长题，这 样首先从心理上就对题目产生了厌倦感和恐惧感。 那么势必造成对题目理解 的不够，分析的不透彻。这就是因为孩子在做题时缺乏足够的耐心，急于求 成。 而做行程问题最重要的前提恰恰是要把题意理解透彻， 把过程分析清楚， 把这前期工作做好了后，后面解题的过程也就会变得简单了。 我们发现往往是老师把题目读完，把相应的过程给孩子分析完之后，他 们自己很快就能找到解题的思路和方法。希望同学们在做题时一定要有耐 心，一步一步安心思考，逐步把已知条件和所要求

13、的未知条件建立联系。经 过这么逐步分析，你一定会找到解题的方法的。家长在这时也可以慢慢提示 着帮孩子理解题意，逐步培养他们分析题目的能力。 3、习惯不良 有一些孩子做题时不喜欢写步骤和过程，往往是只写答案。有的是写了 几个简单的算式而没有相应的文字提示。 例如这样一道题：甲乙二人分别从 AB 两地同时出发，相向而行，他们 第一次相遇时距离 A 地 60 千米，然后两人继续前行，分别到达 BA 后调头 继续前行。 当他们第二次相遇时距离B地30千米。 问AB两地的距离是多少？ 一道非常典型的迎面相遇问题。我们发现很多孩子都会解这道题，他们 能够很快的列出算式。60330150（千米）但如果你要是

14、问这个算式的 含义，就有很多同学回答不上来了。他们往往只是记住了这个解题算式。原 因还在于在平时的学习过程中过分重视算式和结果， 而忽视了解题思路和方 法的掌握。 对老师在解题过程中做的分析和讲解没有理解充分， 对一些关键的字眼 没能做好记录。 因而同学们在听课的过程中要注意记录老师对题目所做的文 字分析，不明白的要及时询问老师，只有真正把老师所讲题目的解题思路搞 懂了才能逐步掌握这类题目的解题方法。如果自己有新的想法，有更好的思 路也一定要积极的和老师探讨，以确认方法的正确性。家长们在对孩子的学 习进行监督时也不能只看孩子的解题结果， 而是要问明白孩子所列算式的来 龙去脉，鼓励孩子讲题给你听

15、。相信这样对孩子的学习帮助会更大。 4、做题时不喜欢画图 其实，如果能把题目所叙述的过程表现出来，题目的难度自然就会大大 降低。因为如果单纯凭空想象一些相遇或追及过程不仅很困难，也很容易出 错，尤其是那些多人相遇或追及，多次相遇或追及那就更不可想象了。所以 同学们平时做题时一定要养成画图的好习惯， 这对你分析解题会起到很大的 作用的。所以老师讲题过程中画的图大家一定要记录好。 解行程问题的方法解行程问题的方法 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫 做行程问题 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫 做行程问题。 解答行程问题的关键是，首

16、先要确定运动的方向，然后根据速度、时间 和路程的关系进行计算。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间 和路程的关系进行计算。 行程问题的基本数量关系是：行程问题的基本数量关系是： 速度速度时间时间=路程路程 路程路程速度速度=时间时间 路程路程时间时间=速度速度 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相 离问题（即相背运动问题）。 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相 离问题（即相背运动问题）。 （一）相遇问题（一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对 面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问