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1、1 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：1. 圆的标准方程：以点为圆心， 为半径的圆的标准方程是.),(baCr 222 )()(rbyax 特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是：.r 222 ryx 2. 点与圆的位置关系：2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r： a.点在圆内 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr (2). 给定点及圆.),( 00 yxM 222 )()( :rbyaxC 在圆内 MC 22 0 2 0 )()(rbyax 在圆上 MC 22 0 2 0 )()rby
2、ax （ 在圆外MC 22 0 2 0 )()(rbyax （3）涉及最值： 圆外一点，圆上一动点，讨论的最值BPPB min PBBNBCr max PBBMBCr 圆内一点，圆上一动点，讨论的最值APPA min PAANrAC max PAAMrAC 思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）AAC 3. 圆的一般方程： .3. 圆的一般方程： .0 22 FEyDxyx (1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.04 22 FED 2 , 2 ED C 2 4 22 FED r (2) 当时，方程表示一个点.04 22 FED 2 , 2 ED (3) 当时，方程不表示任何图形.04 2
3、2 FED 2 注：方程表示圆的充要条件是：且且.0 22 FEyDxCyBxyAx0B0 CA04 22 AFED 4. 直线与圆的位置关系： 4. 直线与圆的位置关系： 直线与圆 0CByAx 222 )()(rbyax 圆心到直线的距离 22 BA CBbAa d 1）；无交点直线与圆相离 rd 2）；只有一个交点直线与圆相切 rd 3）；弦长|AB|=2有两个交点直线与圆相交 rd 22 dr d r d=r r d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断： 0 0 22 FEyDxyx CByAx
4、 （1）当时，直线与圆有 2 个交点， ，直线与圆相交；0 （2）当时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切；0 （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；0 5. 两圆的位置关系5. 两圆的位置关系 （1）设两圆与圆， 2 1 2 1 2 11 )()( :rbyaxC 2 2 2 2 2 22 )()( :rbyaxC 圆心距 2 21 2 21 )()(bbaad ；条公切线外离4 21 rrd ；交交交交交交3 21 rrd ； 交交交交交交2 2121 rrdrr ； 交交交交交交1 21 rrd ； 交交交交交交 21 0rrd 外离 外切 相交 内切 3 （2）两圆公共弦所在
5、直线方程 圆：， 1 C 22 111 0 xyD xE yF 圆：， 2 C 22 222 0 xyD xE yF 则为两相交圆公共弦方程. 121212 0DDxEEyFF 补充说明：补充说明： 若与相切，则表示其中一条公切线方程； 1 C 2 C 若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 1 C 2 C （3）圆系问题 过 两 圆：和：交 点 的 圆 系 方 程 为 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF （） 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF1 补充：补充： 上述圆系不包括； 2 C 2）当时，表示过两圆交
6、点的直线方程（公共弦）1 过直线与圆交点的圆系方程为0AxByC 22 0 xyDxEyF 22 0 xyDxEyFAxByC 6. 过一点作圆的切线的方程：6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1，2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4 的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(
7、x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆上一点的切线方程为. 222 ryx),( 00 yxP 2 00 ryyxx 例 2.经过点 P(4，8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程为 。 4 7切点弦7切点弦 (1)过C：外一点作C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直 222 )()(rbyax),( 00 yxPBA、AB 线方程为： 2 00 )()(rbybyaxax 8. 切线长：8. 切线长： 若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d= 22 0 2 0 b)(+)(ryax 9. 圆心的三个重要几何性质：9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1：x2 +y2 2x =0 和圆 C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为 A、B，试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。
