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1、 博士教育 李老师 QQ22139184901 全等三角形知识点总结及复习一、知识网络一、知识网络对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定 角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 H L作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理二、基础知识梳理（一） 、基本概念（一） 、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个
2、三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角
3、的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 博士教育 李老师 QQ22139184902（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，
4、已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例 1. 已知：如图所示，AB=AC，求证：. 例 2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与 DE 交于点 B。求证：。 例 3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。 博士教育 李老师 QQ22139184903 例 4. 如图所示，垂足分别为
5、D、E，BE 与 CD 相交于点 O，且求证：BD=CE。 例例 5：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD、CEAB 于 E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析 ：分析 ： 从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于 AC 是角平分线，所以在 AE 上截AF=AD，连结 FC，可证出ADCAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上截取 AF=AD，连结 FC。在AFC 和ADC 中AFADACAC 已作已知公共边12AFCADC（边角边）AFC=D（全等三角形
6、对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在CEB 和CEF 中 BEFCCEBCEFCECE已证已知公共边90 博士教育 李老师 QQ22139184904CEBCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段 EA 上截 EF=BE，连结 FC（如右图） 。小结：小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 （四） 全等三角形复习练习题一、选择题选择题1如图，给出下列四组条件：；ABDEBCEFACDF，ABDEBEBCEF ，；BEBCEFCF ，ABDE
7、ACDFBE ，其中，能使的条件共有（ ）A1 组B2 组C3 组D4 组ABCDEF2.如图，分别为的，边的中点， 将此三角形沿折叠， 使点落在边上DE，ABCACBCDECAB的点处若，则等于（ ）P48CDEAPD3.3.如图（四） ，点P是AB上任意一点，ABCABD ，还应补充一个条件，才能推出APCAPD从下列条件中补充一个条件，不一定能推出APCAPD的是（ ）ABCBDBACAD CACBADB DCABDAB A B C D42485258 1 题图 2 题图 4.如图，在ABC 与DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是(
8、) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5如图，ABC 中，C = 90，AC = BC，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，若 AC = 10cm，则DBE 的周长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）1 处2 处3 处4 处 CADPB图（四）EDCBA6 题图 博士教育 李老师 QQ22139184905 4 题图 5 题图7某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的
9、玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在RtABC中，90B ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知10BAE，则C的度数为（ ）A30 B40 C50 D609如图，=30，则的度数为（ ）ACBA C B BCBACAA20 B30 C35 D4010如图，ACAD，BCBD，则有（ ）AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB1 题图 CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB 8 题图 10 题图 11尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为
10、半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS 12.如图, C=90,AD 平分BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图，OP 平分，垂足分别为 A，B下列结论中不一定成立的是AOBPAOAPBOB（ ）A B平分C D垂直平分PAPBPOAPBOAOBABOP14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）ABAD，ABCADCA B CDCBCDBACDACBCADCA90BD 11 题图 12 题图
11、二、填空题填空题1.如 图 ， 已 知ADAB ，DACBAE， 要 使 ABCADE， 可 补 充 的 条 件 是 （写出一个即可）_2.如图,在ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于 D,DEAB 于 E,且 AB=5cm,则DEB 的周长为 _ADCEB 8 题图ABCD7 题图ABCDABCD14 题图CABBAO13 题图BAPODPCAB 博士教育 李老师 QQ221391849063.如图，BACABD ，请你添加一个条件： ，使OCOD（只添一个即可） 4.如图，在ABC 中，C=90ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，B
12、C=8 厘米，DC=6 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。 1 题图 2 题图 3 题图 4 题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 6.6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.7如图， C为线段AE上一动点 （不与点A， E重合） ， 在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、 AD与BE交于点O， AD与BC交于点P， BE与CD交于点Q， 连结PQ.以下五个结论 ： AD=BE； PQAE ；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 。8.如图所示，AB
13、 = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_. 6 题图 7 题图 8 题图三、解答题解答题1.如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.第1个第2个第3个ACEBDOABCDEDOCBABABCDEQPOBEDCAAB D E C 博士教育 李老师 QQ221391849072.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形ABC40ABACBAC，ABAC，和，使ABDACE90BADCAE （1）求的度数；（2）求证：DBCBDCE 3.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED
14、； (2) OBOE .4.如图，D 是等边ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由5.如图，在ABC 和DCB 中，AB = DC，AC = DB，AC 与DB 交于点M（1）求证：ABCDCB ；（2）过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN 交于点 N，试判断线段 BN 与 CN 的数量关系，并证明你的结论OCEBDAB CA DMNEDCBA 博士教育 李老师 QQ221391849086.6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12 ，34 求证：（1）ABCADC；（2）B
15、ODO7如图，在和中，现给出如下三个论断：；ABCABDADBCCD 请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题12 （1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明：8.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD21DCBAO1234 博士教育 李老师 QQ221391849099如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE10.10.如图，请你写出图
16、中三,ABAC ADBCDADAEABDAEDEF于点 ，平分交于点对全等三角形，并选取其中一对加以证明11已知：如图，DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与AED 的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：12 如图， E、 F 分别为线段 AC 上的两个动点， 且 DEAC 于 E， BFAC 于 F， 若 AB=CD， AF=CE， BD交 AC 于点 M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明 ；
17、若不成立请说明理由OEDCBABDCFA郜EFEDCBA 博士教育 李老师 QQ221391849010 13 已知：如图 A、D、C、B 在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF求证：（1）DFCE （2）DE=CF A D FE 14.如图，已知在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两条边上的高，在 BE 上截取 BD = AC，在 CF 的延长线上截取 CG = AB，连结 AD、AG，则 AG 与 AD 有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 AB=AC求证：AD平分BACBCE 博士教育 李老师 Q
18、Q22139184901116.如图，B=C=90，M 是 BC 中点，DM 平分ADC，求证：AM 平分DAB17.如图，在ABC 和DBC 中，ACB =DBC = 90，E 是 BC 的中点，EFAB，垂足为 F，且 AB = DE8.如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F，连接 EF，EF 与 AD 交于 G，AD 与 EG 垂直吗？证明你的结论。19如图，在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD，CE 相交于点 O试说明 博士教育 李老师 QQ221391849012AE+CD=AC 如图，在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD，CE 相交于点O试说明 AE+CD=AC20.如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE.求证：AF=AD+CF。ABFCED 已知 ： 在ABC 中， BAC=90， AB=AC,AE 是过点 A 的一条直线， 且 BDAE 于 D， CEAE 于 E,(1)当直线 AE 处于如图的位置时，有 BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线 AE 处于如图的位置时，则 BD,DE,CE 的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1） （2） ，请用简洁的语言表达 BD,DE,CE 之间的关系。BADECBCEAD
