陕西省西安市高二（上）期中数学试卷

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1、第 1 页，共 19 页 高二（上）期中数学试卷 高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 1. 在同一坐标系中， 方程22+ 22= 1 与 + 2= 0( 0)的曲线大致是 ( ) A. B. C. D. 2. 影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线 的墙壁 如图是一面影壁的示意图， 该图形是由一个正八边形和一 个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等， 在该 示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是() A. 21 2 B. 2 2 C. 22 3 D. 2+ 1 4 3. 从 1，2，3

2、，9 中任取两数，其中： 恰有一个偶数和两个都是偶数， 至少有一个奇数和两个都是奇数， 至少有一个奇数和两个都是偶数， 第 2 页，共 19 页 至少有一个奇数和至少有一个偶数， 在上述事件中，互斥而不对立事件的是() A. B. C. D. 4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本 的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分 别是( A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53 5. 已知命题 p： ，2 0)的焦点 F 且倾斜角为60的直线 l 与抛物线在第一、 四象限分别交于 A，B 两点，则 | |的值为() A.

3、5B. 4C. 3D. 2 7. 下列说法中正确的是() A. 命题“若2= 1，则 = 1”的否命题为“若2= 1，则 1” B. “ 5”是“方程 2 3 + 2 5 = 1表示焦点在 x 轴上的双曲线”的必要不充分条 件 C. 命题“0 ，使得20+0+1 0” D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题 8. 如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当 时，其离心率为 51 2 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆” ，类 比 “黄金椭圆” ，可推算出 “黄金双曲线”的离心率为() A. 5+ 1 2 B. 51 2 C. 5 +1D. 51 第 3 页，共 19 页 9. 命题 p：平

4、面内到定点(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1 的动点 P；命题 q：动点 (,)满足方程2= 4，则 p 是 q 的() A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10.已知点1，2分别是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的左、右焦点，O 为坐标原 点， 点 P 在双曲线 C 的右支上，|12| = 2|， 12的面积为 4， 且该双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线 C 的方程为( ) A. 2 2 2 2 = 1B. 2 4 2 4 = 1C. 2 8 2 4 = 1D. 2 2 2 4 = 1 11.已知椭圆和双曲线有共同

5、的焦点1,2，P 是它们的一个交点，且12= 3，记椭 圆和双曲线的离心率分别为1，2，则 1 12的最大值是( ) A. 23 3 B. 43 3 C. 2D. 3 12.设 M，N 是抛物线2= 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM 与 ON 的 斜率之积为 1 2，则() A. | + | 4 2B. MN 为直径的圆的面积大于4 C. 直线 MN 过抛物线2= 的焦点D. O 到直线 MN 的距离不大于 2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分） 13.某班有学生 60 人，现将所有学生按 1，2，3，60 随机编号若采用系统抽样 的方法抽取一个容量为 5 的样本

6、(等距抽样)，已知编号为 4，a，28，b，52 号学生 在样本中，则 + = _ 14.某厂在生产甲产品的过程中，产量(吨)与生产能耗(吨)的对应数据如表： x 30 40 50 60 y 25 35 40 45 根据最小二乘法求得回归方程为 = 0.65 + ，当产量为 80 吨时，预计需要生成 能耗为_吨 第 4 页，共 19 页 15.已知 F 是双曲线 2 4 2 12 = 1的左焦点，(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则 | + |的最小值为 16.下面关于曲线 C： 2 3+ 2 3= 1的几何性质，正确的有_(填序号) | 1，| 1； 曲线 C 有且仅有 x，y 轴两条对

7、称轴、一个对称中心； 曲线 C 上所有点在平面区域| + | 1内部(含边界)； 曲线 C 上的点到原点的最近距离为 1 2； 曲线 C 的周长不小于4 2 三、解答题（本大题共 4 小题，共 36.0 分） 17.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查， 测得身高情况的统计图如下： ()估计该校男生的人数； ()估计该校学生身高在170185之间的概率； ()从样本中身高在180190之间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 185190之间的概率 第 5 页，共 19 页 18.动点 P 到直线 l： = 3的距离是它到点(4,0)的距离的

8、3 2 倍； (1)求动点 P 的轨迹 C 方程； (2)过点(2,1)能否作一条直线，与(1)中轨迹交于 E，F 两点，且点 M 为线段 EF 的中点？若存在，求出直线 EF 的方程；若不存在，请说明理由 19.设命题 p：实数 x 满足24 + 32 0 (1)若 = 1，且 为假， 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 20.已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1( 0)的离心率 = 2 2 ，且椭圆过点( 6 3 , 6 3 )为椭圆 C 的下顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 Q 在以 OA 为直径的圆 B

9、 上，P 为椭圆 C 上的任意一点，求|的最大 值； (3)设 D，E 为椭圆 C 上与 A 不重合的两点，若直线 AD 与直线 AE 的斜率之和为 2，试判断是否存在定点 G，使得直线 DE 恒过点 G，若存在，求出点 G 的坐标； 若不存在，请说明理由 第 6 页，共 19 页 第 7 页，共 19 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由 0， 椭圆22+ 22= 1，即 2 1 2 + 2 1 2 = 1，焦点在 y 轴上； 抛物线 + 2= 0，即2= ，焦点在 x 轴的负半轴上； 分析可得，D 符合， 故选：D 根据题意， 0， 可以整理椭圆22+ 22= 1与抛物

10、线 + 2= 0变形为标准 形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案 本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点 等位置 2.【答案】A 【解析】解：设正八边形的边长为 2，则其面积为 = (2 +2) 2 2+2 1 2( 2 + 2 +2) = (4 2 +4)2 中间正方形的面积为22 由测度比为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 22 (42+ 4)2 = 21 2 故选：A 设正八边形的边长为 2，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由测度比是面积 比得答案 本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题 3.【答案】A 【

11、解析】解：根据题意，从 1，2，3，9 中任取两数，有 3 种情况，即两个奇数，两 个偶数，一奇一偶， 恰有一个偶数即“一奇一偶”，和两个都是偶数是互斥而不对立事件， 至少有一个奇数即“两个奇数”或“一奇一偶”，和两个都是奇数不是互斥事件， 至少有一个奇数即“两个奇数”或“一奇一偶”，和两个都是偶数是对立事件， 第 8 页，共 19 页 至少有一个奇数即“两个奇数”或“一奇一偶”，至少有一个偶数即“两个偶数” 或“一奇一偶”，不是互斥事件， 只有是互斥而不对立事件， 故选：A 根据题意，分析从 1，2，3，9 中任取两数的可能情况，依次分析 4 对事件，即可得 答案 本题考查互斥、对立事件的定

12、义，准确理解互斥事件和对立事件的定义以及相互关系， 是解题的关键 4.【答案】A 【解析】解：由题意可知茎叶图共有 30 个数值，所以中位数 为第 15 和 16 个数的平均值： 45 + 47 2 = 46 众数是 45，极差为：6812 = 56 故选：A 直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可 本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力 5.【答案】B 【解析】 解 ： 因为 = 1时，21 31， 所以命题 p： ，2 3为假命题， 则 为真命题 令() = 3+ 21，因为(0) = 1 0.所以函数() = 3+ 21在 (0,1)上存在零点， 即命

13、题 q： ，3= 12为真命题 则 为真命题 故选：B 举反例说明命题 p 为假命题，则为真命题引入辅助函数() = 3+ 21，由函 数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题 q 为真命题，由复合命题的真假 得到答案 本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关 键是熟记复合命题的真值表，是基础题 第 9 页，共 19 页 6.【答案】C 【解析】解：设(1,1)，(2,2)， | =1+2+ = 2 sin2 = 8 3，1+ 2= 5 3， 又12= 2 4，可得1 = 3 2,2= 6， 则 | |= 3 2 + 2 2+ 6 = 3， 故选：C

14、 设出 A、B 坐标，利用焦半径公式求出|，结合12= 2 4，求出 A、B 的坐标，然后求 其比值 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基 础题 7.【答案】D 【解析】解：对于 A，命题“若2= 1，则 = 1”的否命题为“若2 1，则 1”， 故 A 错误； 对于 B，方程 2 3 + 2 5 = 1表示焦点在 x 轴上的双曲线3 0，且5 5， 所以“ 5”是“方程 2 3 + 2 5 = 1表示焦点在 x 轴上的双曲线”的充要条件，故 B 错 误； 对于 C，“0 ，使得20+0+1 ，则 ，即2 2(为 的外接圆的 半径)， 则 ，则该命题的逆

15、否命题为真命题，故 D 正确 故选：D 由命题的否命题的特点：既对条件否定，也对结论否定，可判断 A；由方程表示双曲线 求得 k 的范围，结合充分必要条件的定义可判断 B；由命题的否定形式可判断 C；由三 角形的边角关系和正弦定理，结合充分必要条件的定义，可判断 D 本题考查命题的真假判断和运用，主要是命题的否命题、充分必要条件的判断和命题的 否定、四种命题及关系，考查推理能力，属于基础题 第 10 页，共 19 页 8.【答案】A 【解析】解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，| = ，| = ，| = ， 当 时，|2+|2= |2， 2+ 2+ 2= 2+ 2+2， 2= 22，整理得2

16、= 2+， 21 = 0，解得 = 5+ 1 2 ，或 = 5+ 1 2 (舍去) 故黄金双曲线的离心率 = 5+ 1 2 故选 A 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当 时，|2+|2= |2，由此可知 2+ 2+ 2= 2+ 2+2，整理得2= 2+，即21 = 0，解这个方程就能求出 黄金双曲线的离心率 e 本题主要考查了类比推理、椭圆的简单性质及双曲线的简单性质注意寻找黄金双曲线 中 a，b，c 之间的关系，利用双曲线的性质求解 9.【答案】B 【解析】解：p：平面内到定点(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1 的动点 P， 则动点 P 的轨迹为2= 4或 = 0( 0， 即82+45 0， 不存在直线 EF 满足题意 【解析】(1)设动点 P 坐标为(,)，根据题意建立方程，化简即可得动点 P