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1、分类计数原理 与 分步计数原理 (一）,甲,问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,乙,3+2=5（种）,分类计数原理,分类计数原理又称“加法原理”,关于分类计数原理的几点注意：,各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；,分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；,完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的不重不漏,问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日
2、从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,火车1汽车1 火车1汽车2 火车2汽车1 火车2汽车2 火车3汽车1 火车3汽车2,分步计数原理,完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完成这件事共有 N种不同的方法,分步计数原理又叫作“乘法原理”,关于分步计数原理的几点注意,各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；,分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；,完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一
3、个步骤,分类计数原理与分步计数原理的区别,分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事,例题,例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m
4、1 = 5 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有m2 = 4 种不同的方法; 所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。,(2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加 座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步,选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。,点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。,例题,例2 书架的第1层放
5、有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?,注意区别“分类”与“分步”,解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有 4+3+2=9 种取法。 答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。,(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有
6、432=24 种取法。 答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。,分类时要做到不重不漏,分步时做到不缺步,例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是,答：有6种不同的选法。,日班 晚班,相应的排法,不同排法如下图所示,甲 乙,甲 丙,乙 甲,乙 丙,丙 甲,丙 乙,日班 晚班,1 一件工作可以用两种方法完成。有5人
7、会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？,4 + 5 = 9,练习2：,1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是( ) A. 12 B.64 C.81 D.7,2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 （ ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对,练习1：,C,A,总结： 分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1 m2 mn 种不同的方法。 分类计数原理和分步计数原理的 共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成； 不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就用分步计数原理。,
