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1、1,第35讲 简单递推数列,2,1.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项. 2.掌握简单递推数列的通项公式的求法. 3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.,常见递推数列的通项公式的求法 (1)若an-an-1=f(n),求an可用 法. an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2). (2)若 =f(n),求an可用 法. an= a1(n2). (3)已知a1a2an=f(n),求an,用 法 f(1) (n=1) (n2).,迭加,累乘,an=,作商,(4)若an+1=f(an),求an可用 法. (5)若an+
2、1=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x), 从而an+x是 数列，其中x可以由 求出. (6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系 数法转化为公比为k的等比数列，再求an. (7)若数列an满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan, 则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用 待定系数法求得,从而an+1-xan构成 数列.,迭代,等比,待定系数法,等比,5,(8)若an+1an+pan+qan+1=0,可化成 1+ + =0,令 =bn，从而上式变成bn+1=kbn+b型. (9)已知Sn的递推关系，先求出Sn，再求
3、an，用作差法： S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2).,an=,6,题型一 根据递推公式求通项公式,例1,分析,7,解析,已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an= an-1+ bn-1+1 bn= an-1+ bn-1+1(n2). (1)令cn=an+bn,求数列cn的通项公式； (2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.,题型二 直接转化为等差、等比数列型,例2,9,解析,10,(1)已知数列an，其中a1=10，且当n2时，an= ，求数列an的通项公式an； (2)在正项数列an中，a1=10，an+12=an3，求数列an的通项公式及前5项之和.,题型三 变形、
4、构造转化为等差、等比数列,例3,11,12,已知数列an中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求an的前n项和Sn.,由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)， 即an+1=-2an-3,与原递推式比较得=- ,题型四 待定系数构造法,例4,解析,13,解析,14,设数列an的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)Sn(nN*). (1)证明：当b=2时，数列an-n2n-1是等比数列； (2)求数列an的通项公式.,15,题型一 根据递推公式求通项公式,例1,分析,16,解析,评析,17,解析,18,已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an= an-1+ bn-
5、1+1 bn= an-1+ bn-1+1(n2). (1)令cn=an+bn,求数列cn的通项公式； (2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.,题型二 直接转化为等差、等比数列型,例2,20,(1)由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2), 即cn=cn-1+2(n2). 易知cn是首项为a1+b1=3,公差为2的等差数列, 所以通项公式为cn=2n+1(nN*).,解析,21,22,评析 本题考查等差、等比数列的基础知识考查基本运算能力，解答关键是将原问题转化为熟知的等差、等比数列问题求解,23,解析,24,25,(1)已知数列an，其中a1=10，且当n2时，an= ，
6、求数列an的通项公式an； (2)在正项数列an中，a1=10，an+12=an3，求数列an的通项公式及前5项之和.,题型三 变形、构造转化为等差、等比数列,例3,26,(1)将an= 两边取倒数得 - = (n2)， 即 是以 = 为首项，以 为公差的等差数列， 所以 = +(n-1) = ,即an= . n=1也适合上式.,解析,27,(2)因为an+12=an3，即2lgan+1=3lgan, 所以 = ,即lgan是以lga1=1为首项，以 为公比的等比数列. 所以lgan=1( )n-1,即an=10( )n-1, 所以 a1a2a3a4a5=10( )010( )110( )21
7、0( )310( )4 =10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4 = .,28,形如an+1= ，去分母后变为an+1an+pan+qan+1=0, 再化为 + =0，令 =bn，从而上式可变为bk+1=kbn+b型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提“为正”.,评析,29,30,解析,31,已知数列an中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求an的前n项和Sn.,由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)， 即an+1=-2an-3,与原递推式比较得=- ,题型四 待定系数构造法,例4,解析,32,所以有an+1- =-2(an-
8、), 故数列an- 是以a1- =1为首项，-2为公比的等比数列. 则an- =1(-2)n-1，即an= +(-2)n-1, 所以Sn=a1+a2+an = +(-2)0+ +(-2)1+ +(-2)n-1 = n+ = n- (-2)n+ .,33,待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式如下：(1)an+1=Aan+B(A、B为常数)型，可化为an+1+=A(an+)的形式；(2)an+1=Aan+Bcn型，可化为an+1+cn+1=A(an+cn)的形式；(3)an+2=Aan+1+Ban型，可转化为an+2+an+1=A(an+1+an)的形式；(4)an+1=Aa
9、n+Bn+C型，可化为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的形式（其中A、B、C均为常数).,评析,34,解析,35,设数列an的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)Sn(nN*). (1)证明：当b=2时，数列an-n2n-1是等比数列； (2)求数列an的通项公式.,36,由题设，得a1=2.又ban-2n=(b-1)Sn,则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当b=2时，由(*)式得an+1=2an+2n, 于是有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n
10、-1), 且a1-20=10，所以an-n2n-1是以1为首 项，2为公比的等比数列.,解析,37,(2)当b=2时，由(1)知,an=(n+1)2n-1.当b2时，由(*)式知, = + , 所以 + = ( + )(nN*)， 所以 + 是以 + =1+ = 为首项， 为公比的等比数列. 所以 + = ( )n-1, 即an= (2b-2)bn-1-2n(nN*).,38,1.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手段有： (1)构造an+x,x为常数； (2)构造an+1-xan，x为常数；,3
11、9,(3)构造 ; (4)构造 ; (5)构造an+f(n). 2.不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式.,40,A.14 B.12 C.13 D.15,A,解析,41,C,42,3.数列an中,a1=1，对所有的n2都有a1a2a3an=n2,则a3+a5= .,因为a1a2a3=32,a1a2=22, 所以a3= . 因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42, 所以a5= , 所以a3+a5= + = .,解析,43,4.(2010长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于( ),C,A.(2n-1)2 B. (2n-1) C. (4n-1) D.4n-1,易知a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故an是以2为公比的等比数列，则an2是以1为首项，以4为公比的等比数列，故S= = (4n-1).,解析,44,5.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an= .,由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an= .,解析,45,错解,46,错解分析,47,正解,48,
