2019钢结构稳定理论ppt课件

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1、第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲 (flexural buckling of axial compressed members),2-1 轴压杆的荷载位移曲线,1-小挠度理论欧拉临界力(弹性) 2-大挠度理论屈曲后性能(弹性) 3-有初弯曲时(弹性) 4-有初偏心时(弹性) 3-有初弯曲时(弹塑性) 4-有初偏心时(弹塑性),2-2 理想轴压杆的弹性屈曲(perfect columns),1）理想轴压杆的欧拉临界力Euler critical load 基本假设： 同一材料制成的等截面直杆，两端铰接； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）； 材料为弹性； 构件变形非

2、常微小（小挠度理论 ）。,则力矩平衡方程为：,为二阶齐次常微分方程,该微分方程的通解为：,A,B为待定系数，由边界条件确定,否则方程的解为0，没有意义。,即,由此可得临界力公式为： 与之对应的挠曲线为：,参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。 在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。,2）边界效应与计算长度的概念 (boundary conditions and effective length concept) （求解两端为任意支承情况时的临界力）,任意一截面弯矩(对A点取矩)：,弯矩与曲率的关系,则有二阶常系数微分方程： 其中：

3、,则方程的通解为：,其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。,对通解求导，可得其各阶导数：,各种支承情况的边界条件为： 铰支： 固支： 自由端：,杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程,工况一：两端嵌固轴心压杆 有：,为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。,则： 因此有： 由第一式得： 第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法 在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点即为方程的解。,取最小值得：,结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：,工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆 有：,采用图形曲线法得：,工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压

4、杆 有：,工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆 有：,工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆 有：,注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：,l0有效长度、或计算长度； l实际杆长； 杆件计算长度系数。,临界应力： 其中： 屈曲临界应力与 长细比的关系：,超过屈服点fy时以虚线表示,2-3 轴心受压构件的大挠度理论,1）大挠度方程 基本假设： 同一材料制成的等截面两端铰接直杆； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形； 材料为弹性； 构件曲率与变形的关系： 因此大挠度方程为：,与小挠度理论相同,2）大挠度理论的解 应采用特殊的变换和数值解法才

5、能求解。 （大多数非齐次微分方程都没有解析解） 可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线,3）几点结论 当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳定平衡状态； 当PPE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与挠度关系； 大挠度理论使用了弹性假设，因此屈曲后荷载有所提高，但当挠度达到构件长度3以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段，如上图所示。因此轴心压杆的屈曲后强度提高时没有意义的。,2-4 理想轴心压杆的弹塑性屈曲 (inelasti

6、c buckling),1）理想弹性轴压杆屈曲的适用范围,当cr比例极限p时，欧拉公式不再适用。 因为前面推导时用到了 ，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。,临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点） 若令：,轴心压杆弹塑性失稳的计算理论 切线模量理论，1889，Engesser. F, Et 双模量理论，1895，Engesser. F, EtErE Shanley理论，1946，Shanley. F. R, 广泛用于解决稳 定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。 Shanley证明：切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。实际试验结果更接近

7、于切线模量理论。,2）切线模量理论 Tangent Modulus Theory, 1889年Engesser提出,基本假设 构件是挺直的； 构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用； 构件的弯曲变形很微小； 弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面； 在弯曲时全截面没有出现反号应变。,最后一条假设认为：达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在11截面右侧边缘产生的拉应力。 即：凹面压应力增加为max； 凸面压应力增加量正好为0。 作用于11截面上的压力为：,作用于11截面上的内力矩为：,全截面对形心轴的面积矩为0,任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡

8、方程为： 代入前面推导得到的轴力和弯矩，则 求解微分方程，得： 其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。,3）双模量理论 Double Modulus Theory, 1895年Engesser提出,补充基本假设 上述假设最后一条变为： 弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变； 即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。,加载区变形模量为Et（它与截面平均应力r相对应）； 卸载区变形模量为E 弯曲轴远离形心轴向移动,在加载区距弯曲轴z1处： 在卸载区距弯曲轴z2处：,1-1截面上的压力： 认为 由上式可以求出中性轴的位置,1-1截面上的内力矩：,任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为： 代

9、入前面推导得到的轴力和弯矩，则 求解微分方程，得： 其中 为折算模量。,注： 若求 ,故需反复迭代计算； 对于矩形截面 对于工字形截面腹板很薄时，绕强轴的 Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。 原因是：非理想轴心压杆都存在微小缺陷，屈曲时弯曲凸面不出现反号应变。,4）Shanley理论 1946年,使用由三部分组成的力学模型：两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰； 弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生； 铰的应力应变关系为双折线；,铰模型如图，铰的弹性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距h，每肢面积为A/2； 当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的

10、左右肢杆应变为1和2，两肢变形如图 ； 构件挠度为,铰链处外力矩： 铰链处内力矩： 若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和E2，则 所以内力矩,由内外力矩平衡，即相等得： 讨论如下：,当构件发生弹性屈曲时，E1E2E，则： 当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用切线模量理论时，E1E2Et，则,与切线模量理论结果一致,当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用双模量理论时：E1Et，E2E。因为 则： 其中： 是Shanley模型的折算模量。 经比较可知EtErE，因此PtPrPE；,与双模量理论结果一致,Shanley模型柱屈曲后性能研究。 前提是建立荷载P与挠度d之间的关系。 令： ,并利用前面的 代入(a)

11、式得： (b) 下面想办法消去2。 考虑到模型达到Pt后荷载仍在继续增加，因此 (c),由(b)(c)两式得：,分析如下： d0时，P=Pt，这是分岔屈曲荷载。切线模量屈曲荷载Pt是弹塑性屈曲荷载的下限。 d时， 由于 说明双模量理论屈曲荷载为上限。,当d为有限值时，PtPPr。 说明屈曲后随着变形的增加，荷载与略有增加，处于稳定平衡状态。如图AB曲线所示。,加载过程中，切线模量并非常量，而是随着压缩变形的增加而减小，所以实际的荷载挠度曲线如AC所示。 要精确地确定切线弹性模量，必须考虑残余应力的影响。,2-5 缺陷对临界力的影响,1）初始弯曲的影响（假设在弹性范围内） initially b

12、ent,不同的初弯曲形式如下（虚线为正弦半波）,初始弯曲； 初始偏心； 残余应力。,初弯曲的考虑方法 考虑最不利情况，假定初始弯曲呈正弦半波曲线。 即： 平衡方程为（如图）： 求解方法 由两端铰接杆的失稳变形可 知，增加的变形也为正弦半 波曲线：,二阶导数为： 代入平衡方程得： x为任意值时，中括号外的正弦项不可能均为0，故：,则跨中总挠度为： 上式代表P/PE与f的关系曲线。,讨论 有初始弯曲杆不是分岔失稳问题，考虑弹塑性时为极值点失稳；考虑弹性时f 时，则PPE。 相同压力下，初弯曲f0越大，杆的挠度越大。,因此施工验收规范规定柱的最大初始挠度为H/1000。,考虑弹塑性影响时，初弯曲越大

13、，稳定的承载力越低。原因为： 最大荷载点（弯矩最大点，即跨中）的截面屈服部分加大。亦即附加弯矩加大，提前屈服。 构件的最大挠度为： 跨中最大弯矩为： 其中Am为弯矩放大系数，它体现了一阶弯矩和二阶弯矩的差别，此差别有称为构件本身的二阶效应，即： 效应。,2）边缘纤维屈服准则求临界力的柏利公式,从分析可知，杆件跨中内边缘纤维最大压应力为：,式中： 为初始偏心率，W/A为截面核心距； 为欧拉临界应力； 为平均压应力（边缘纤维屈曲时）,基于Perry公式的轴心压杆稳定系数 令maxs(钢材屈服强度)，由上式可解出 ，称为Perry公式： 其中E和有关，由此建立了 和之间的关系。 我国冷弯薄壁型钢技术

14、规范即采用了Perry公式计算轴压杆的稳定。 轴心压杆的稳定公式均为 ，但稳定系数由下式确定,上式由边缘纤维屈服确定了稳定系数与长细比的关系。 式中： 为相对长细比。 由下图的关系曲线与试验结果对比可见，除少数几何缺陷突出的试件外，试验结果均高于理论曲线。偏于安全,3）初偏心的影响和正割公式eccentrically loaded,平衡方程及求解,跨中 xl/2，代入上式，并整理,把系数k代入，有跨中挠度与轴力的关系式：,讨论 临界承载力与跨中挠度的关系曲线,弹性杆的临界力随挠度的增加逐渐趋近于欧拉临界力； 轴力P相同时，初偏心越大，跨中挠度越大,若考虑杆件中点的边缘纤维最大应力屈服点，有：,

15、或： 称为正割公式,与上小节相同，也可得到 和之间的关系，和稳定系数与长细比之间的关系：,4）残余应力的影响 residual stress,残余应力对杆件平均的应力应变曲线的影响,轴压构件临界应力与的关系,长细比相同时，初始缺陷越大，临界承载力越低。,考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载,残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。,临界应力,其中Ie/I为残余应力降低系数，取决于残余应力的分布，截面形状和弯曲方向。,例：,绕x轴弯曲屈曲时： 绕y轴弯曲屈曲时： 可见对y轴的影响远大于对x轴的影响,k值的求法,短柱试验求k,当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠Ae承担。 由短柱-曲线，其切线模量：,平均应力的增量,应变增量全部由弹性区承担,说明k值是随Et变化的，即k是随平均应力变化的,所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力影响系数k。,近似分析法 （已知残余应力分布模式，如图，残余拉压应力相等）,当平均应力 时， 即发生弹塑性屈曲时，根据比例关系，有： 则,把轴力P用r表示：,则截面平均应力为： 所以： 可见k随A变化，k1。,A由P可求，r的分布模式为预先知道，则可确定k。,5）我国钢结构设计规范对于残余应力的考虑方法,根据残余应力的影响不同，把构件分为a,b,c,d四类。 越靠下方的曲线，残余应力影