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1、1-4 薄透镜的成像公式和放大率,一、薄透镜（thin lens）成像,薄透镜是最简单的共轴球面系统，它由两个单球面组成。两球面之间的间距 d 比两折射球面的曲率半径 r1、 r2 小很多。,薄透镜分为凸透镜和凹透镜。,凸透镜的中央厚度大于边缘部分，有双凸、平凸、弯凸；凹透镜的边缘厚度大于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。,各 种 薄 透 镜,对第一折射面,对第二折射面,薄透镜成像公式,f为薄透镜的像方焦距,f 为薄透镜的物方焦距,薄透镜的高斯公式：,薄透镜的垂轴放大率和角放大率,若薄透镜处于空气中，则 n = n= 1，设薄透镜材料的折射率为 nL，两球面的曲率半径为 r1 、r2，则可得,薄透
2、镜的高斯公式：,透镜制造者公式（lens-maker，s formula）,二、薄透镜成像作图法,根据焦点和光心的特征，对于一个发光物点可找到三条典型光线。,（1）过物方焦点的入射光，其折射光线平行于主光轴。,（2）平行于主光轴的入射光，其折射光线过像方焦点。,（3）过光心的入射光线，其折射光线不发生偏折。,薄透镜可近似为许多不同顶角的棱镜组成，由薄透镜两边向中心，棱镜顶角越小，中心部分相当于顶角为零，相当于一块平面平行板。,作图法：,（1）求某一入射光线时，首先看是否为三条典型光线中的一条。,（2）若不是典型光线，则添加一条辅助光线,（3）辅助光线应是典型光线，且与入射光线有关。,若入射的平
3、行光线不平行于光轴，则经薄透镜后会会聚于像方焦平面上一点。,从物方焦平面上一点发出的所有光线，经薄透镜后也出射平行光，但它们不平行于光轴，而平行于过焦平面上该点与光心的连线。,F,M,Q,N,F,例题：已知入射光线求出射光线,F,M,F,Q,已知物点求像点,F,F,S,N,S,M,F,N,M,S,S,1-5 共轴球面系统,一、共轴球面系统的逐次成像,由 k 个折射球面组成一共轴球面系统，物体 SQ 经过这个光学系统所成的像为 SKQK,对应 k 个球面，可得 k 个物像距公式,两相邻球面顶点的距离为,垂轴放大率为,系统总的垂轴放大率为各单球面的垂轴放大率之乘积。,拉格朗日亥姆霍兹恒等式,例：惠
4、更斯目镜,由两个凸透镜 L1 L2组成，用逐次成像法求像位置。,已知：,物点 Q 位于L1前a处,解：,- P1= a ，代入第一个透镜的高斯公式,得,同理对于第二个透镜，有,例题：凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距为4厘米，两个透镜相距12厘米。已知物在凸透镜左方20厘米处，计算像的位置和横向放大率并作图。,解：利用高斯公式两次成像,第一次 PQ成像：,得,得,第二次 PQ成像：,二、共轴系统的基点和基面,1841年高斯提出共轴系统的一般理论：在理想共轴系统中，物方的任一点都和像方的一点共轭。同样，相应于物方的每一条直线或每一个平面，在像方都应有一条共轭直线或一个共轭平面。 这样共轴系统就成了
5、点与点、直线与直线以及平面与平面之间的共轭关系的纯几何理论。利用基点与基面，可描述共轴系统的基本光学特性。,基点与基面：主焦点与焦平面；主点与主平面,（1）主焦点与焦平面,与无穷远处的像平面共轭的物平面为物方焦平面。物方焦平面与主光轴的交点为物方主焦点，记为 F。,与无穷远处的物平面共轭的像平面为像方焦平面。像方焦平面与主光轴的交点为像方主焦点，记为 F。,（2）主点（principal point）与主平面,共轴系统中存在一对共轭面，面上任一对共轭点到主光轴的距离相等。（=1）,这对共轭面为系统的主平面（principal plane）。物方主平面记为 H ；像方主平面记为 H,这对共轭点为
6、主点。物方主平面与主光轴的交点为物方主点，记为 H；像方主平面与主光轴的交点为像方主点，记为 H；,单球面的主点与其顶点重合，而薄透镜的主点与其光心重合。,（4）节点（nodal points）,（3）物方焦距与像方焦距,物方主焦点到物方主点的距离为物方焦距，记为 f 。像方主焦点到像方主点的距离为像方焦距，记为 f。,从薄透镜作图法成像可知，置于空气中的薄透镜有一条特殊光线，它通过光心不发生偏折。,对于两边是同一介质的任意组合的理想光学系统来说，一个离轴物点发出的许多光线中，总有一条入射光与其对应的出射光平行。 这对共轭光线与光轴的交点为一对共轭点称为节点。物方节点记为 k；像方节点记为 k
7、。,1、计算法求物像关系：,S,S,共轴系统的高斯公式和牛顿公式与薄透镜和单球面中的公式在形式上完全相同。,2、计算法求组合共轴球面系统的基点,共轴系统的一对焦点，一对主点和一对节点，统称为系统的基点（cardinal points）,对于给定的光学系统，其基点之位置可通过光线追迹逐步成像，作图或计算求得。, 定义：, F1与F有物像关系：,同理，定义,可得：,已知：,物点 Q 位于L1前 a 处,解：,对于物点 Q ，P =HQ= - 4 a 由高斯公式,得,即像点位于第二个透镜后1.4 a,解:,解:, 只要稍稍改变 d , 即可大大改变 xH,例题：空气中双凹厚透镜的两个凹面半径 r1
8、和 r2 分别为-8厘米和7厘米，沿主轴的厚度 d 为2厘米。玻璃的折射率 n 为1.5，求焦点和主平面的位置。,厚透镜可看作两个球形折射界面的组合，它们的焦距分别为,解：,光学间隔：,由于 F是在透镜右表面的左方，故此透镜是发散的。,例题：半径为2厘米，折射率为1.5的玻璃球放在空气中，求： （1）球的焦距和主面、焦点的位置。 （2）若一物置于距球面6厘米处,求从球心到像的距离,并确定垂轴放大率。,解：,（1）,由此可见，H 和 H重合，均在球心 O处。,（2）,横向放大率：,例题：一焦距为20厘米的薄凸透镜与一焦距为20厘米的凹透镜相距6厘米。求： （1）复合光学系统的焦点及主平面的位置 （2）若物放在凸透镜前30厘米处，求像的位置和放大率。,（1）两透镜的焦距分别为：,光学间隔,解一：,解二：（1）两透镜的光焦度分别为,复合光学系统光焦度公式：,主平面位置为：,横向放大率：,（2）利用高斯公式求像距得,
